【精选】九年级数学上册小专题五相似三角形的基本模型教材变式型测试题新版湘教版小专题(五)相似三角形的基本模型(教材变式型)模型1X字型及其变形模型展示：(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.教材母题(教材P102T5)：如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6.求证：AB∥DE.AC51BC31证明：∵＝＝，＝＝，EC102DC62ACBC∴＝.ECDC又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC.∴∠A＝∠E.∴AB∥DE.变式训练：1．(恩施中考)如图，在?ABCD中，AC与BD交于...
小专题(五)相似三角形的基本模型(教材变式型)模型1X字型及其变形模型展示：(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.教材母题(教材P102T5)：如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6.求证：AB∥DE.AC51BC31证明：∵＝＝，＝＝，EC102DC62ACBC∴＝.ECDC又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC.∴∠A＝∠E.∴AB∥DE.变式训练：1．(恩施中考)如图，在?ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(D)A．1∶4B．1∶3C．2∶3D．1∶22．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF.BDDF8DF∴＝，即＝.ECCF42∴DF＝4.模型2A字型及其变形模型展示：(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；(2)如图2、图3，公共角的对边不平行，且有一对角相等，则△ADE∽△ACB.教材母题(教材P82T2)：如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝6，AB＝5，EC＝4，DB＝7.求证：△ABC∽△AED.AC1AB1证明：∵＝，＝，AD2AE2ACAB∴＝.ADAE又∵∠CAB＝∠DAE，∴△ABC∽△AED.变式训练：ABAE3．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝AC.AD证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB.ABAE∴＝.ACABABAC∴＝.AEABABAC∴＝.AEAD1114．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.ABCDEF证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB.EFDF∴＝.ABDB又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.EFBF∴＝.CDBDEFEFDFBFBD∴＋＝＋＝＝1.AB11CD1DBBDBD∴＋＝.ABCDEF模型3旋转型模型展示：如图，若∠BAD＝∠CAE，则△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABC构成A字型的相似三角形．教材母题(教材P89T3)：如图，∠1＝∠2，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED.证明：∵∠1＝∠2，∠1＋∠EAC＝∠BAC，∠2＋∠EAC＝∠EAD，∴∠BAC＝∠EAD.又∵AB·AD＝AC·AE，ABAC即＝，AEAD∴△ABC∽△AED.变式训练：5．如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AD＝2AB＝6，求AE的长．解：∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE.ACAB∴＝.AEAD∵AC＝AD＝2AB＝6，∴AB＝3.63∴＝.AE6∴AE＝12.模型4双垂型模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.教材母题(教材P104T12)：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：(1)AC2＝AD·AB；(2)CD2＝BD·AD.证明：(1)∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°.∴∠CDA＝∠BCA.又∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACB∽△ADC.ABAC2∴＝，即AC＝AD·AB.ACAD(2)∵∠ACD＋∠A＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A.又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD.ADCD2∴＝，即CD＝BD·AD.CDBD变式训练：6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为(B)A．36B．15C．95D．3＋35模型5M字型模型展示：如图，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.教材母题(教材P80T2)：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的长．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.ABBC∴＝.CDDE又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，∴AB＝4.变式训练：8．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4.∵CF＝3FD，∴DF＝1，CF＝3.∵E是AD的中点，∴DE＝2.又∵ED∥CG，∴△EDF∽△GCF，DEDF21＝∴＝，即CG.CFCG3∴CG＝6.∴BG＝BC＋CG＝10.
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