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相似三角形中的辅助线专题-教师版

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相似三角形中的辅助线专题-教师版相似三角形中的辅助线专题-教师版相似三角形中的辅助线在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、作平行线例1.如图,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:例2.如图,△ABC中,AB

相似三角形中的辅助线专题-教师版
相似三角形中的辅助线专题-教师版相似三角形中的辅助线在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、作平行线例1.如图,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:例2.如图,△ABC中,AB 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一:过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMC∽△ABC(两角对应相等,两三角形相似)。方法二:如图,过D作DN//EC交BC于N,二、作垂线3.如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证:。证明:过B作BM⊥AC于M,过D作DN⊥AC于N∴∽∴∴(1)又∽∴∴(2)(1)+(2)又∴AN=CM∴三、作延长线例5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积。分析:因为问题涉及四边形AHCD,所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解:延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB,CD平分∠BCD∴CB=CP,且BH=PH∵BH=3AH∴PA:AB=1:2∴PA:PB=1:3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴例6.如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FGAB于G,求证:FG=CFBF解析:欲证式即由“三点定形”,ΔBFG与ΔCFG会相似吗?显然不可能。(因为ΔBFG为RtΔ),但由E为CD的中点,∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H,则∴又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF四、作中线例7如图,中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。解:取BC的中点M,连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∴∴∽∴又DC=1MC=BC∴(1)又∽又∵EC=1∴(2)由(1)(2)得,∴小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造与相似是解题关键五、综合练习题1、在△ABC中,D为AC上的一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。求证:EF×BC=AC×DF题一图题二图2、中,,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MN⊥CP,交AC、BC于M、N,求证:。3、.理由?(用三种解法)图(1)图(2)图(3)参考答案:1、过D作DG∥BC交AB于G,则△DFG和△EFB相似,∴∵BE=AD,∴ ①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似,∴  ∴ ②由①②得,∴EF×BC=AC×DF2、过P作PE⊥AC于E,PF⊥CB于F,则CEPF为矩形∴PFEC∵∴∽∴∵EC=PF∴(1)在和中:CP⊥MN于Q∴又∵∴∴∽∴即(2)由(1)(2)得3、方法一:如图(1),设BC中点为E,连接AE。方法二:如图(2),在DA上截取DE=DC。在△BED与△BCD中,方法三:如图(3),过B作BE⊥BC于B,交CA的延长线于E。
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