等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：anan1d（d为公差）（n2，nN*）注：下面所有涉及n，nN*省略，你懂的。2、等差数列通项公式：an冃（n1）d，耳为首项，d为公差推广公式：anam（nm）d变形推广：danamnm3、等差中项（1）如果a，A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:A口或2Aab2（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1（n2）2a.1a4、等差数列的前n项和公式：3d2门⑻a.）Sn2dn2（a11d）n22（其中A、B是常数，所以当dz0时，S是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数中间项An2Bn2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的S2n12n1a1a2n12和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法2n1an1（项数为奇数的等差数列的各项定义法：若anan1d或an1and(常数nN)a.是等差数列.等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2(3)数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。(4)数列an是等差数列qAn2Bn,(其中AB是常数)。6、等差数列的证明方法定义法：若anan1d或an1and(常数nN)a.是等差数列.7、等差数列相关技巧：(1)等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及S.，其中d、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)设项技巧：一般可设通项ana1(n1)d奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…(注意；公差为2d)8等差数列的性质：(1)当公差d0时，等差数列的通项公式ana,(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d;前n和Snna1葺①d£n2佝|)n是关于n的二次函数且常数项为0。若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap。(注：qana?an1爲an2,)当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。(4)an、bn为等差数列，则anb,1兔2bn都为等差数列若｛an｝是等差数列，则Sn,S2nSn,…也成等差数列数列｛an｝为等差数列，每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列an、｛bn｝的前n和分别为A、Bn，则誥春口bnB2n1等差数列｛an｝的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn，当然也有anm,amn，则amn0(9)求Sn的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。法二：(1)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当a10,d0,由an0可得Sn达到最大值时的n值.an10(2)“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。即当a10,d0,由an0可得Sn达到最小值时的n值.an10或求an中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值(或最小值)。若Sp=Sq则其对称轴为n丄72注意：SnSn1an(n2),对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当n1的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于ai和d的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：西qqOn2，q为公比an12、通项公式：anaen1,a1为首项，q为公比推广公式：anamqnm,从而得qnm%am3、等比中项（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:Aab或A一ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列an是等比数列an2aniani（1）用定义：对任意的n,都有an1an1qan或—anq（q为常数，an0){an}4、等比数列的前n项和sn公式：(1)当q1时，sn⑵当q1时，Snna11q41q1qa1JnAABnA'BnA'(A,B,A',B'为常数)1q1q5、等比数列的判定方法为等比数列等比中项：an2anian1(anian10)｛an｝为等比数列通项公式：anABnAB0何｝为等比数列前n项和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数佝｝为等比数列6、等比数列的证明方法依据定义：若玉qq0n2,且nN*或a.iqa.&｝为等比数列an17、等比数列相关技巧：等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：耳、q、n、an及S.，其中q、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：n1anaq如奇数个数成等比，可设为…，-a2ia,a1aq,aq2…(公比为q，中间项qq用a表示)；注意隐含条件公比q的正负8等比数列的性质：(1)当q1时等比数列通项公式anagn1a1qnABnAB0是关于n的带有系q数的类指数函数，底数为公比qa1qnn前n项和Sn—卫丄卫——qnaABnA'BnA'，系1q1q1q1q数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q⑵对任何m,nN*，在等比数列佝｝中，有a.amqnm，特别的，当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性⑶若mnst(m,n,s,tN*)，则a.ama$at。特别的，当mn2k时,2彳得anamak注：a1ana2an1a3an2⑷列⑷翻｝为等比数列，则数列±｝，｛kan｝,｛ank｝,｛kan(k为非零常数)均为等比数列。数列｛an｝为等比数列，每隔k(kN*)项取出一项(am，amk，am2k，am3k，)仍为等比数列如果｛an｝是各项均为正数的等比数列，则数列｛logaan｝是等差数列⑺若｛an｝为等比数列，则数列S.，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列(8)若｛an｝为等比数列，则数列a1a2a.,an1an2a?n,a2n1a2n283.成等比数列(9)①当q1时，②当0
总结
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：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q1或q1讨论。2、错位相减法求和例2•已知数列1,3a,5a2,,(2n1)an1(a0)，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列积，可用错位相减法求和。解2n1Sn13a5a2(2n1)a1aSn2312:(1a)Sn12a2a2a当a1时,(1a)Sn2a(1an1)(1a)2(2n1)飞1a(2n1)an(2n1)an1(1a)2当a1时,Snn23、裂项相消法求和例3.求和Sn242(2n)21335(2n1)(2n1)思路分析：分式求和可用裂项相消法求和解ak(2k)2(2k)211111〕2(2k112k11)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)(2k1)Sna1a2an11n[(1)23(11)(12n112n单n1(11)22n12n(n1)2n1n(n1)(a1)上(a练习:求Sn12aa23na3an答案:Sn2a(an1)an(an(a1)21)4、倒序相加法求和例4求证：c03cn5C：(2n1)Cnn(n1)2n思路分析：由cmCnm可用倒序相加法求和。证：令SnC03cn5Cn(2n1)C：(1)则Sn(2n1)C：(2nDC：15C23cnc：⑵cnmnmcn(1)⑵有：2Sn(2n2)C：(2n2)cn(2n2)C：(2n2)C；Sn(n1)[C：C1Cnc；c：](n1)2等式成立5、其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5•已知数列an,an2[n(1)n],求Sn。思路分析：an2n2(1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。2m解：an2n2(1)n，若n2m,则SnS2m2(1232m)2(1)kk152(1232m)(2m1)2mn(n1)若n2m1,则SnS2m1S2ma2m(2m1)2m2[2m(1)2m](2m1)2m2(2m1)2224m2m2(n1)(n1)2nn2n(n1)(n为正偶数)Sn2n2(n为正奇数)预备：已知f(x)2aixa2xanxn,且ai,a2,a3,an成等差数列,n为正偶数,又f(1)n2,f(1)n,试比较f(-)与3的大小。2解：f(i)f(1)aiaia?a3a2a3annanian(aian)naidan2n2aiai(nd2i)d2naiian2nf(x)x3x25x3(2ni)xnfG)3(2)2i(2ni忖可求得f(!)32(2nii)(2)n，•••n为正偶数,(四)巩固练习:i.求下列数列的前n项和(i)5,55,555,Sn:5555,…，5(i0ni)，…;9i(2)-i3in(n2)'(3)an(5)sin2i.n、nii3,2.2sin24,35,…,n(n2),…sin23Sn55555・2sin89.n个、55…59(9•-Sn59[(i055[i091n(n2)11[(1)23i)i02(2(3)•an•-Sn2d(.2i)(4)Sna(4)a,2a2,3a3,…,nan,…99999…99…9)(i02i03n4)4七)i)(i03ni0i)…(i0ni)]n]詈(i0ni)in.土)]n2、、ni(.n.ni)(、.ni、、n)i.32(3'•2)2a23a3…i%ni、n…(ni■n)nii.nna,当ai时，Sni23n(ni)2，厂、当a1时，Sna2a23a3…nnaaS)a22a33a4…nan1两式相减得(1a)Sna23aa-•-ann1na二Snnna2(nn11)aa(1a)2(5)Tn(n2)n22n,•原式(122232…n2)2(123…n)(6)设2-Ssin1sin22sin3…■亠・・sin289,2-又•••Ssin892sin882sin87•2sin12S89,s89.2ad^nan1,1an(n1)(2n7)62.已知数列｛an｝的通项an6n5（n为奇数），求其前n项和&.2n（n为偶数）A16n5)4(14刍214n(3n2)4(2n1)23解：奇数项组成以q1为首项，公差为12的等差数列,偶数项组成以a24为首项，公比为4的等比数列；当n为奇数时，奇数项有n1项，偶数项有n1丁百项，22n1一小、n1(16n5):〈224(14^)(n1)(3n2)4(2n11)1423当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有-项,2(n1)(3n2)型」(n为奇数)所以，S.2n3n(3n2)42—(n为偶数)23四、小结：1、掌握各种求和基本方法；2、利用等比数列求和公式时注意分q1或q1讨论。基本上能其实学习数列并不难，只要能熟练掌握以上基本性质和公式灵活运用，多加练习,解决高中所有数列问题了。
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