华杯赛赛前教程

“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（简称华杯赛）是以华罗庚名字命名的数学竞赛，始于1986年，是为了纪念我国著名数学家华罗庚，由中国优选法统筹法和经济数学研究会、中国少年报社、中国数学会和中央电视台青少中心等单位发起和组织的一项全国少年学生数学竞赛，至2008年，“华杯赛”共举行了十三届，已经成为一项重要的、有影响的和全国性的少年科技教育和普及活动.为了配合第十四届“华杯赛”，帮助学生提高数学的水平和素质，在“华杯赛”中取得优秀成绩，华杯赛主试委员会组织编写了第十四届“华罗庚金杯少年数学邀请赛”赛前教程（小学册），简称为“赛前教程”.“赛前教程”共有五章，第一章是数的运算，由卢振虎主笔；第二章是整除和带余除法，由王世坤、卢振虎、赵小峰和陈平等编写，王世坤和陶小勇主编.“赛前教程”每一章有三节和一套练习题，每一节大致包含三部分 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ：第一部分简要地介绍一些基本概念和知识；第二部分是“说明”，主要介绍一些扩展的知识、与该节有关的数学的思想和应当注意的问题，个别内容较深，仅供辅导老师和家长参考；第三部分是“例题讲解”，是该节的核心部分，含有本书作者精心选择和编制的十个例题，其中多数是“华杯赛”常见和典型的问题，并且做了细致的解答，有的例题附有“说明和评注”，更深入地介绍了解题的方法和思想.“赛前教程”每一章均有30道练习题，它们选自“华杯赛”的试题、其它数学竞赛的试题和辅导材料，其中有一些是本书作者编制的新题.“赛前教程”附有三套初赛测试题和三套决赛测试题，由“华杯赛”主试委员会卢振虎、朱华伟、那吉生、余其煌、连四请、周春荔和闫桂英编制，由闫桂英统编，是本书非常重要的内容.全书由主编王世坤做了适当的修改和编辑.“华杯赛”主试委员会主试委员秉承“华杯赛”普及性、趣味性和新颖性命题的原则，编排了六套测试题，它们连同精心选择的各节的例题以及各章练习题，基本上覆盖了“华杯赛”命题的思想和试题的类型，是第十四届“华杯赛”命题重要的参考.一般而言，多做练习题是学好数学和在数学竞赛中取得优异成绩必须做的努力.但是，“题海训练，”过多的赛前“冲刺”等既，消耗了学生过多的时间和精力，效果也未必令人满意.而且，有的“模拟试题”或者“练习题”粗制滥造偏，离学习数学基本的规律，会误导学生，对学生没有太多的益处.我们相信，只要细致阅读本书，认真完成“赛前教程”中的练习题和测试题，读者会加深对课堂知识的理解，会增长应用数学知识去解决实际问题的能力和提高数学的素质，会在“华杯赛”中取得优秀成绩.这本“赛前教程”虽然是为了配合第十四届“华杯赛，”但是，其内容基本上覆盖了小学数学的主要知识，可以作为一本小学数学的复习教程.一般而言，一本优秀的数学的复习教程，应当以更高的角度来归纳和 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 数学的知识，就像登山，途中，只能看到局部的风景，登至山顶，从高处浏览周围的风景，就会更深地了解，你走过的路和周围“景致”的关系，就会有“一览众山小”的感觉.复习就要做到登高望远，能够梳理出原来学过的数学知识之间的内在的联系，发现这些知识原来很“简单”.这本教程遵循这个原则，对小学数学知识做了深入的归纳和总结，提供了许多典型的例题和练习题.所以，即使不参加“华杯赛，”如果能认真阅读本书，细细体会其中的精髓，定有收获.学习数学，既要学习数学的知识，同时，也要特别注意数学的思想和方法对人的智力的巨大的影响.这本教程无论是从小学数学知识的总结和归纳，例题的认真选择和讲解，还是练习题的安排，都特别注重启迪同学们的数学兴趣和开发他们的智力，都非常强调帮助学生建立和提高应用数学知识去解决实际问题的能力，增强他们数学的能力.所以，将这本教程作为一册数学课外的读物，细致地钻研，初步理解一些数学的思想和方法，就能提高数学的素质和水平，为进一步的学习奠定扎实的基础.第十四届“赛前教程”和十三届“赛前教程”比较，书中不仅提供了全新的测试题，而且，修改了十三届“赛前教程”部分内容、大多数的例题和练习题，焕然一新了.虽然“赛前教程”的编写者是“华杯赛”主试委员和华杯赛教练员，他们具有扎实的数学的修养和造诣，又有从事数学教育和数学竞赛丰富的经历、经验和成就，他们编写的这本教程会受到读者的欢迎.但是，限于他们的水平和时间，书中仍然有许多不完善和考虑欠周的地方，也难免有错误.十三届“赛前教程”出版后，受到广大读者的欢迎，一些热心的读者也指出了一些错误和疏漏漏，“赛前教程”编著者向他们 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示感谢，同时，诚挚地希望和欢迎读者一如既往，指出本书的不足和错误，提供修改的宝贵意见.本书由包善贤老师做了二校，他非常细心和认真的工作使本书增益不少，“赛前教程”编著者表示忠心的感谢.“华罗庚金杯”少年数学邀请赛的宗旨和目的是弘扬华罗庚教授的爱国主义精神，引导少年学生学习华罗庚教授勤奋学习、献身科学的优秀品质，激发他们学习数学的兴趣、开发他们的智力，提高他们的数学素质.我们希望本书，即“第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛赛前教程”能体现这个宗旨，对读者有所帮助.第十三届“华杯赛”主试委员会，2008年7月目录第一章数的运算第1节整数、分数和小数第2节四则运算第3节数字谜和数阵图第一章练习题第二章整除和带余除法第1节整数和整除第2节带余数除法（1）第3节带余数除法（2）第二章练习题第三章应用问题第1节应用问题（1）第2节从算术到代数第3节方程的概念和解法第4节应用问题（2）第三章练习题第四章图形知识第1节简单平面图形第2节平面几何图形第3节简单立体图形第四章练习题第五章综合问题选讲第1节最大和最小第2节分类和计数第3节整数综合问题第五章练习题模拟测试题初赛测试题（1）初赛测试题（2）初赛测试题（3）决赛测试题（1）决赛测试题（2）决赛测试题（3）附录1练习题参考答案和提示附录2模拟测试题答案和提示第一章数的运算数是人类长期实践活动中产生和发展的，整数、小数和分数及其四则混合运算是小学数学的重要内容，这些知识及相应的扩展是“华杯赛”和一些数学竞赛必考的部分这一章将复习这些知识，举例说明一些运算的技巧、相关思维的方法，并且渗透一些简单的数学思想.第1节整数、分数和小数（一）基本知识1•整数整数的认识我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2,3,4,5……都是自然数.一个物体也没有，可以用0表示，0也是自然数.自然数可以用来表示事物的多少，也可以用来编号，表示事物的次序•当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，叫做自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，叫做自然数的序数意义.引入负数后，“1，2,3,4,5……”叫做正整数，“-1，-2,-3,-4,-5”叫做负整数.非负整数是0和正整数的统称，也就是自然数.整数是正整数，负整数和零的统称.在这本书中，整数特指是正整数和零.整数的大小位数越多的整数越大；如果两个整数位数相同，就从最高位依次比起.2.分数分数的概念把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数.把单位“1”等分后，表示其中一份的数，叫做这个分数的分数单位.两个整数相除，它们的商可以用分数表示，即：a*b=a（b=0）.也可以直接把符号m（m、n都是整数，且n^0）定义bn为分数，其中符号“一”称为分数线.当n=1时，m=m=m,即任何整数m都可以用分n1数m表示.i百分数表示一个数是另一个数百分之几的数，叫做百分数，也叫百分率或百分比.百分数通常不写成分数形式，而用百分号“％”来表示•如百分之九十六写作96%，百分之零点6写为0.6%.由于百分数便于比较，所以在生产和日常生活中有着广泛的应用.分数的分类分子小于分母的分数叫做真分数，真分数比1小.分子大于或等于分母的分数，叫做假分数，假分数大于或者等于1.一个整数和一个真分数合成的数，叫做带分数，带分数只是假分数的另一种形式.严格的说，分数只能分为真分数、假分数两类.一个分数，如果分子和分母除了1之外，没有其他公共的约数（见37页约数），则称为最简分数.分数的运算一个分数，总是可以约分为最简分数；一个带分数可以转化为假分数，假分数也可化为带分数或整数；两个分数，通过通分做加法，通过转化为假分数做乘法.分数的性质和大小分数的分子和分母同时乘以或除以相同的不为0的数，分数的大小不变.分母相同，分子越小的分数值越小；分子相同，分母越小的分数值越大.任何假分数都大于真分数.3.小数小数的概念分母是10、100、1000……的分数，改写成不带分母形式的数就是小数，女口，把-10改写成0.3.符号“.”称为小数点，小数点左端的数是整数部分，右端是小数部分.整数部分为0的小数叫做纯小数，纯小数比1小.小数的分类及性质小数部分的位数有限时，称为有限小数.另外还有一些小数的小数部分位数是无限多的，叫做无限小数.无限小数又可分为循环小数和非循环小数.在一个数的小数部分中，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数.例如，0.888……、3.15353••…都是循环小数.其中，0.888……的循环节是“8”，可以记作0.8，它是纯循环小数.3.15353的循环节是“53”，可以记作3.153，它是混循环小数.一个无限小数，从小数部分起各位数字的排列没有一定的规律，这样的无限小数叫做非循环小数•例如圆周率二就是非循环小数•在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变.整数部分越大的小数越大•如果整数部分相同，则从十分位依次比起•4•小数和分数的互化分数化小数：直接用分子除以分母，除不尽时，可以化为循环小数，或者根据需要用四舍五入法取近似值•小数化分数：有限小数化为分数•原来有几位小数，就在1后面写几个零作为分母，原来的小数371465293去掉小数点作分子，能约分的要约分•例如：0.37=也，1.46^^^=^93.1001000200纯循环小数化为分数.分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是TOC\o"1-5"\h\z1•・4739，9的个数与循环节的数字的个数相同.例如：0.3，0.473=93999混循环小数化为分数.分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节末端的数字所组成的数减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位上的数字是9，末几位上的数字是0，9的个数与循环节中的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字的个13-1122・・1759-11758293数相同.例如：0.13二亠二上二？，0.1759=出・=竺8二皀3.由此可知，任909015999099901665何一个循环小数都可化为分数.非循环小数无法化为分数.说明1负数在小学阶段所说的整数、小数及分数主要指正数和0,在以后的学习中数的范围会扩大到负数.因为人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量.比如，记帐时，有余有亏;在计算粮仓库存米时，有时要记进库粮食，有时要记出库粮食.为了方便，人们就考虑了用相反意义的数来表示.于是人们引入了负数这个概念，把余钱、进库粮食记为正，把亏钱、出库粮食记为负.为了使“数”能蕴涵相反的含义，就在前面添加一个符号“-”，称为负数，符号“-”称为负号.如果原来的“数”是整数，但不是零，添加负号之后，称为负整数，原来的整数则称为正整数.如果原来的“数”是分数，添加负号之后，则称为负分数，原来的分数则称为正分数•正整数和正分数统称为正数，用符号“+”来表示正数，例如：+5、+16,符号“+”称为正号，有时候省略正号“+”不写.用字母表示数用字母表示数，是对数的认识的一个飞跃，既可以表示一些不好写出和表达的数（例如圆周率兀），也可以表示一类数或具有某种相同性质的数（例如字母v代表速度，N表示自然数等），为计算和解决问题带来了极大的方便.繁分数本书将分子和分母中还含有分数、小数或四则混合运算的“分数”叫做繁分数.繁分数是分数形式的数，但不是分数.前面在介绍分数的概念时提到可以直接把符号mn（m、n都是整数，且n^O）定义为分数，显然繁分数并不满足这一定义，所以说繁分数不是分数.在一个繁分数里，最长的分数线叫做繁分数的主分数线，主分数线上下不管有多少个数或运算，都把它们分别看作是繁分数的分子和分母.把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简.繁分数的化简一般采用以下两种方法.（1）先找出主分数线，确定分子部分和分母部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果能约分的要约分，最后形成“分子部分"母部分”的形式，再求出结果.（2）根据分数的基本性质，将繁分数的分子部分和分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数可以是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数.4•取整运算当只关心某数的整数部分时，规定[x]表示不超过x的最大整数，称为高斯符号，或称为取整运算.又记{x}二x-[x]，即2为x的小数或真分数部分，如[3.14]=3，{3.14}=0.14.显然有0S「x九1，当x为整数时，等号成立.5.数的表示形式和转化可以将分数、带分数、假分数、小数、百分数甚至繁分数和字母代表数等等，理解为数的各种不同的表达“形式”，例如：1可以表达为循环小数0.9，2可以表达为假分数4，等等.至于整数是否是特殊的分数和小数，并不太重要，重要的是深入理解数2的各种表达“形式”蕴涵的数学意义和掌握它们相互转化的方法，例如：2和2.0,在科学和技术中，它们是有重大区别的.因为科学和技术的测量总是有误差的，2.0可能是2.03要求精确到小数点后1位，舍弃了0.03后,这样，2.0就蕴涵了精确度，所以2和2.0是不同的.但是，在小学数学中，它们是相同的数，依照数学表达简洁化的原则，2最好不要写成2.0,0.3一般不要表达为0.30.尽管小学阶段遇到数学概念比较少，但是，准确理解数学概念和相近数学概念细小的差别还是比较重要的.唯有如此，养成良好的数学习惯，现在和将来，才能学好数学.（二）例题讲解选择题例1下面是6个等式:0.30.123=0.423,;0.625二-^25=5;10008533581③14214216210.2,1.314,―,2.235,3.23,4.54中有2个纯循环小数；61.99?=1991；9993341=12?;TOC\o"1-5"\h\z7535其中正确的命题是().(A)①与②(B［②、④与⑤(C)①与④(D［②、⑤和⑥答案：B.理由：①不正确，因为0.30.^2^0.4231；②正确；③不正确，因为215"211361石=厂丐；④正确，因为6口6，是混循环小数；⑤正确；⑥不正确,因为3色比空琵型十上75753535例2下面是6个命题:两个真分数之间至少有1个真分数；两个分数之间至少有1个真分数；两个分数之间有无穷多个分数；圆周率二可以化为一个分数；总可以将一个分数化为有限小数；无限循环小数不能化为分数；其中正确的命题是（）.（A）①与③（B）②与③（C）①与④（D）⑤与⑥答案：A.理由：①正确，理由是：设a和C是真分数，并且a:-，则有；②bdbdbb+dd35不正确，因为真分数小于1,例如：-和5之间没有真分数；③正确，理由是：如①所2述理由，两个不同的分数之间有1个分数，则可以推出有无穷多个分数；④不正确，因为圆周率二是无限不循环小数，不能化为分数；⑤不正确，例如1化为小数时，是无限1循环小数；⑥不正确，无限循环小数能化为分数，例如：0.3=-.32.填空题例3在混循环小数9.617472的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大.这个新的循环小数是（）.答案：9.617472.理由：要求新产生的循环小数尽可能大，实际上是要求组成循环节的前几位数字尽可能大.首先，要选择好循环节的首位数，一定要是小数点以后最大的一个数字.在这道题里，最大的数是7,表示循环的圆点应该点在7上.可是，题目里有两个7,点在哪个7上呢？哪个7后面的数字大，就点在哪个7上，所以，新的循环小数是9.617472.例4分母为2009的所有最简真分数之和为（）.答案：740.理由：因为2009=7741，所以分母是2009的最简真分数，分子不能是7、41和它们的倍数.因此，分母为2009的所有最简真分数之和为TOC\o"1-5"\h\z1741S=122008122861248200920092009翳12川62009因为12||(2008=1200822007川10041005=20091004,12|||286=287143,12川48=4924,12|||6=73,所以_20091004728724341492474173-2009-2009-20092009=1004—243—243=7401TOC\o"1-5"\h\z—---—2021223839答案：1.理由：先估算分母的大小，因为丄•丄丄:::丄20=1，且20213920丄丄…丄丄20二20，所以1：：原式：:39=1.95,IS1=1.202139393920说明和评注：解决这种估算类题目的关键是放缩，即找到所求值的范围，这一方法在比较分数大小时也经常会用到3.解答题例6计算：123_123(137)45(13373)3123=10.例7有红、蓝、黄、绿4种卡片，每种3张，相同颜色的卡片上写有相同的整数,3=1451421=?汉4汉5+3汉12:<15+7汉28汉3533解答：原式」2333(123)[(123)1工4工5+3疋(1工4工5)+7乂(仆4疋5)不同颜色卡片上的整数互不相同，由小到大依次为红、蓝、黄、绿•现在把这些卡片分给6名同学，每人得到颜色不同的两张，六名同学分别求和，得到6个和数：88,121,129,143,154,187.其中一个错了，则这4个整数分别是多少？解答：设这四个整数分别为a::b::^：：d，因为6个和数分别为88,121,129,143,154,187,显然a+b=88,a+c=121,b+d=154,c+d=187而a+b+c+d=88+187=121+154工129+143,所以错误的和数为129或143,a+b+c+d=275.又因为c-b=187-154=33,所以b+c为奇数.若错误的和数为129,则实际应为275-143=132,即b+c=143,a+d=132,解得a=33,b=55,c=88,d=99;若错误的和数为143,则实际应为275-129=146,即卩b+c==129,a+d=146,解得12009，2010化成小数，共有多少个有限小a=40,b=48,c=81,d=106.例8将2009个分数1,1,丄,234数？解答：一个有限小数化为最简分数时，其分母只含质因数2或5.反之，也成立.210:::2010:::211,528：：2010：：528,5226:::2010:::5227,5324：：2010：：5’25,542::2010<5422,54：：2010：：55,上面的六个不等式意味着：小于2011的整数中,只含质因数2的整数有10个；只含质因数2和仅有1个质因数5的整数有8个;只含质因数2和仅有2个质因数5的整数有6个;只含质因数2和仅有3个质因数5的整数有4个;只含质因数2和仅有4个质因数5的整数有1个;只含质因数5的整数有4个，所以，共有10+8+6+4+1+4=33个有限小数.241例9A,B,C为正整数，满足算式—二A——，则A2B3C的值是多515B——C1少.解答：将24表示为连分数形式:TOC\o"1-5"\h\z24411—二4—二444■555115511-31则有：a=4,B=1,C=3，所以，A2B3C=42133=15.例10求冒詈”罟罟的和.解答：已知：对k=1,2,川,1004,33，)1J14"99—k)]」I33J，14k14k14k331499-k1499-k所以,42_14k1499-k_14k-3333-_3333331499-k1499-k33:33:，并且上式中,詈吋的和TOC\o"1-5"\h\z14k1499-k|(3333的和是整数，所以,应当是整数.并且，既然对于任何整数n,:n八：1，就有14k1499-k3333-所以,心上业=41IL33.IL3314114214971498_33_33_33_33你^J8心^7_33_33_33_33"_33_33=4149-2009.第2节四则运算（一）基本知识1．四则混合运算运算法则在一个算式里，如果含有两种或两种以上的运算，通常就称为混合运算.加、减、乘、除的混合运算也叫四则混合运算.在数的运算中，加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算，乘方和开方叫做第三级运算.第三级运算是第二级运算的高级运算，第二级运算是第一级运算的高级运算；反之，第一级运算是第二级运算的低级运算，第二级运算是第三级运算的低级运算.如果一个算式里含有不同级的运算，那么就先做高级运算，后做低级运算.在有括号的情况下，要按照从里到外的顺序，先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的，最后算括号外面的.运算定律加法交换律.两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.即a+b=b+a.加法结合律.三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变.即（a+b）+c=a+（b+c）.加法交换律和结合律的推广：几个数相加，任意交换加数的位置，或者先把其中几个数结合成一组相加，它们的和不变.乘法交换律.两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变.即axb=bxa.乘法结合律.三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变.即（axb）xc=ax（bxc）.乘法交换律和结合律的推广：几个数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个数结合成一组相乘，它们的积不变.乘法分配律.两个数的和与某个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变.即（a+b）xm=axm+bxm.2．速算法在进行数的运算时，根据数的特点，结合和、差、积、商的变化，运用运算定律、性质，进行简便、迅速的运算，叫做速算，常用的速算法有：（1）分组法.把算式中能凑成整十、整百、整千的数先算，以便于后面的计算.例如：869+27+131+73=（869+131）+（27+73）=1000+100=1100;167-（89+67）=167-67-89=100-89=11.（2）补数法.对接近整百、整千的数，可以补上一个数使它成为整百、整千数，使计算简便.例如：1453-397=1453-（400-3）=1453-400+3=1056.（3）分解法.有些乘除计算，可把已知数适当进行分解，然后应用运算性质，使计算简便.例如：25X32=25X4X8=100X8=800.此外还有基准数加法、公式法等，其本质都是对数的特征和运算定律的灵活运用.（二）说明1数列按照一定顺序排列的一列数叫做数列，通常记作a1,a2，…an，…，简记为｛an｝.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中an表示数列｛an｝的通项.如果一个数列｛an｝的第n项an与项数n之间的关系可以用一个关于n的公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.如数列1，4，9，16，…，通项公式为an=n2.如果数列只有有限个项，将第一项称为首项，最后一项称为末项（an），项的总数叫做项数，求数列中所有的项的和，称为数列求和.“华杯赛”和其他一些重要的小学数学竞赛中常常出现两类数列：等差和等比数列.等差数列是从第二项起，每一项减去它的前一项，所得的差为定值的数列，这个差叫做公差，记作d，即a2-厲=爲-a=丨H=an-=d.由公差的定义，可以推出等差数列｛an｝的通项公式：an=印+（n-1）Xd，^或an=am+（n-mi）xd.用两种方法求等差数列｛an｝前n项的和：Si-a1a2HIa*4a*&=anan4^1a2印，将上面两个式子相加，因为a1an=a2=an'a^■a2，得等差数列｛an｝前n项求和公式：Sn=(ai+an)xn*2.这种求和方法叫做倒序相加法•等比数列是后一项与前一项的商(后一项除以前一项)为一个固定的数的数列，这个商叫做公比，记作q,即a2*a1=a3*a2=a4*a3==an*an」=q.由公比的定义，可以推出等比数列｛an｝的通项公式：an二a"」.等比数列的前n项和：Sn=ai(17n)-q等比数列｛an｝的前n项和：Sn=ai+a2++an①等号两边同时乘以公比q,得到qSn=qai+qa2+…+qan,即卩qSn=a2+a3++an+an+i②①一②得(1-q)Sn=ai「an+i，而an+i=qnai,得到等比数列｛an｝前n项求和公式：(i-q)Sn=(i-qn)ai,即卩Sn=ai(^q).i-q这种求和方法叫做错位相减法.数列求和除了前面介绍的倒序相加法和错位相减法外，在求数列和时，经常应用“裂项法”.“裂项法”的基本思想是an=an-an4〕亠ianj-a^Va2-qai.这个方法可以简化计算过程，其最基本的形式是丄丄-丄，例如:n(n+i)nnT•丄」J.丄334899iO910i2iO门)L3)异)川(打(兀)2•新的运算以四则运算为基础，可以定义新的运算，例如：用符号&表示一个二元运算：a&b=3abb5,对于这个&运算，3&7=3377*5=446.可以验证，当a=b时,a&b=b&a，即没有交换律.•运算能力做有理数四则运算题目，当运算式子中有带分数、假分数、小数甚至百分数、大小括号和繁分数，即式子比较复杂时，有些同学很难给出正确解答.做这种题目，需要多练习，细心严谨，才能正确和快速给出答案.除此之外，如何避免出错呢？这里介绍几个注意要点，供读者参考.先乘（除）后加（减），是指运算式子中，只有一个“加”和一个“乘”时应当遵守的规则，例如:护煜芽11-2"0.当算式同时有括号、多个乘先做乘运算和多个加时，在同级运算中，如何确定运算次序呢？建议的原则是：第一，使运算和随后的运算尽量“整数化”，遇到分数，尽量转化为分母更小一些的分数；第二，使运算式子尽量“简洁化”，如将有的除法转换为乘法，或者将带分数、小数等转化为既约分数等，但是注意不要增加后面运算的难度；第三，建立你自已的原则来确定运算的顺序，例如：你的原则是先将所有的带分数都化为假分数，哪怕实际运算时要复杂一些，也没有关系.因为运算时“心中有序”了，习惯了，就不易出现错误，这点很重要.计算的每一步骤，即每个等号后为一个步骤，所做运算不易太多，确保每个步骤的运算都是比较简单的运算，步步为营，稳答稳扎.计算一道较为复杂的四则计算题时，要大致浏览一下，看看题目有何特点，以便确定计算的顺序和策略做计算题，难免出现错误，重要的是需要掌握一些查错法，例如“估值”和“消9”查错法等，很简单，多数情况很起作用.但需要注意，它们仅仅是查错法，不是查对法.四则运算是小学数学重要内容，是其他复杂运算的基础，计算要准确和快速，是小学学好数学和在“华杯赛”中取得好成绩的要求.小学高年级学生要善于根据数的特征，灵活运用运算定律和性质，选择恰当的方法进行计算.长此以往，可以全面提高学生的计算能力.计算能力不仅是学生学好数学的基础，更是学好数学的保证（三）例题讲解1.选择题例1用符号二7和：7定义a和b两个新的运算：（1）a二7b=a和b的和被7除的余数；（2）a：7b=a和b的乘积被7除的余数，例如：2009二714=0;2008—9=5则（）不正确•（A）a二7b等于a和b分别被7除的余数的和，至多相差7的倍数；（B）a：7b等于a和b分别被7除的余数的积，至多相差7的倍数；（C）a_7b不满足交换律；（D）c：7a二7b=a二7b：7c=a：7c-7b：7c.答案：C理由：记a=7m•sb=7n•g，这里的m,n都是整数，则a和b分别被7除的余数的和等于ra-rb，记rar^7ir，则a7mnrar^7mn•i产丁，并且a二7b=r，所以（A）正确；记爲％=7lq，则ab=49mn7mrbnra飢.=77mnmr.nr;lq，并且，a：7b=q，所以（B）正确；因为ab二ba，所以a：7b二b：7a二q，所以（C）不正确；（D）正确，请读者说明1234例2已知数列-,3h…，那么0.98,0.96,0.94中有（）个属于这个数列345（指和数列中的某一项的值相同）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个答案：C.理由：观察数列的前几项可得此数列的通项公式为假设0.98,0.96,0.94均为这个数列中的数，那么它们就都应可以写成—的形式.n+1令0.98二丄,解得n=49,所以0.98是这个数列的第49项；令0.96=丄,解得n=24,n+1n+1所以0.96是这个数列的第24项；令0.94=』，解得门二47不是整数，所以0.94不是n+13这个数列中的项.说明和评注：如果一个数列能够概括出通项公式，那么该数列中的每一项都可以用对应项数写成通项公式的形式.反之，如果一个数能够表示成某个数列通项公式的形式，只要数列中的项足够多，这个数就一定在该数列中•要注意的是通项公式中的n表示项数，因此必须是正整数.在这道题中运用了反证法，即先假设一个结论成立，再经过推理发现矛盾，说明假设不成立•反证法经常被用于证明一些否定命题2.填空题例3.计算：200920092008-200820082009=().答案：40174000.理由：原式=2009(20092009-1)-2008(200820081)=200920092009-2009-200820082008-2008=2009210001-2008210001-2009-200822=(2009-2008)10001-4017=(20092008)(2009-2008)10001-4017=40170000.号分别填入图1-1的四个方框中，1则图1-1□2中算式的值最大是().4答案：14.5理由：当11111負时，算式的值最大.23456例4将+、—、x、十四个运算符13图1-1例5若在等差数列2,5,8,…的每相邻两项中间插入三项，使它构成一个新的等差数列，则原数列的第10项，是新数列的第（）项；新数列的第29项，是原数列的第（）项.答案：37;8.理由：原数列的通项公式为an=3n-1，在每相邻两项中间插入三项后，通项公式变为an=3n+5,因此原来的第10项为3X10-1=29,在新数列中的项数应为（29-总）TOC\o"1-5"\h\z44435十—=37;新数列中的第29项为—X29+-=23,在原数列中的项数应为（23+1）-3=8.44说明和评注:如果给出一个数列的通项公式，那么就可以由项数求出每一项对应的值，也可以由某一项的值求出它所对应的项数3.解答题TOC\o"1-5"\h\z120例6.计算：①17625—8.075=232231223—1.9195：4—3.5422亠315=？6210.160.5(14.1)7520解答：①原式17-322206.250.758-说明1=4078-=551.2②原式=311.9195：4丄3.541232?32亠31562-0.160.5(1丄4.1)20—说明101939971432——x—+—m——+——+—=31022一一2315-6241〔21丄41)、、75252\2010』Y说明3,注意分数乘法规则TOC\o"1-5"\h\z1019392丄辺411913141102922010_3322010了624丫71432)-<624丫71432、\7525k2315丿」7525丿.2315丿先做括号内乘的运算说明4751913|'：：12141|'：：10251913-2141(33丿2(2010丿_*)212丿75里丄Z14310辽525人2315丿1406462-1235-、33丿」做括号内加法（3）用“简洁化”11111111例7计算：13-5-7—9-11一13—15—17—612203042567290解答：11111111原式=1+3+5+7+9+11+13+15+17+(」612203042567290189rz11、八1、屮八1、八1、■.=+[()()()()]223348991011=81+-210=812.5说明和评注:这道题的解答体现了分离的思想，将假分数的整数部分和分数部分分别求和,由于整数部分恰好是等差数列，而分数部分能够用“裂项法”求和，使得问题大大的简化了.例8把27分成两个或两个以上连续正整数之和，若不考虑加数的顺序，共有多少种不同的拆法？把27换成2009呢？解答：27有3种不同的拆法；2009有5种不同的拆法•27=13+14=8+9+10=2+3+4+5+6+7,共三种；2009=1004+1005=284+285+286+287+288+289+290=137+138+139+…+143+144+…+149+150=29+30+…+49+…+67+68+69=17+18+…+41+…+63+64+65.2009=17741二mn,设2009可以拆成以a为首项的k(k>1)个连续正整数之和，[a+(a+k—1沪k则末项为a+k-1，由等差数列求和公式，得到mn.2当k=2n，aa2k-1=m,2a二m-2k1_2，即当m_2k1时，2009可以化表示为2n个连续正整数之和；当k=n，aak-1=2m,2a=2m-k1-2，即当2m_k1时，2009可以化表示为k个连续正整数之和.所以，2009可以分别表示为2个、7个、14个、41个和49个连续正整数之和.11111例9求和：(1)1=?392781243(2)3=?解答：（1）本题可以直接用等比数列求和公式计算:=3642431-（1）6原式=——3（2）注意到本题所给的数列既不是等差数列，也不是等比数列，但是分子和分母恰好分别是等差和等比数列，这种情况下也可用错位相减法来解决TOC\o"1-5"\h\z1351911351719设S=222•尹.川川•尹，所以2S=2^2.歹.川川‘尹.刃，C1C1C1222屮心219S_2S=2S=2歹2歹川川尹-畀11119尹戸川山歹_刃2199198197102101100=3049=2048说明和评注：错位相减法不仅可用于证明等比数列的求和公式，还可以解决一部分复合数列的求和问题，但是通常都是在该数列中含有等比数列的成分的情况下例10下面这个表中有100行，求这个表中所有数的和1TOC\o"1-5"\h\z32436549876510099197196解答：这道题目可以直接计算，比如可以先算出每一行的所有数之和，依次为1,5,12,22,35……这些数的差恰好是等差数列，但是这样做显然比较麻烦.我们注意到1+199=3+197=・・=2+198=4+196=—=3+197=…=99+10仁200,即在这个三角形数表中,共有99组等差数列，参考等差数列求和时采用的倒序相加法，将这个三角形数表翻折成如下情况：199TOC\o"1-5"\h\z19719819519619719319419519619119219319419534…………100101123……9899100将这两个三角形重叠放置,易看出同一位置上的两个数之和均为200,而这个数表共有1+2+……+100=5050个位置，因此所有数之和为5050X200-2=505000.说明和评注：倒序相加法的实质是对于等差数列性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2……的把握，在实际应用中可以加以扩展,只要有类似性质的数列或数表都可以用倒序相加法来求和.第3节数字谜和数阵图*（一）基本知识1．数字谜在竖式或横式中，有一些待定的数字，如何根据运算法则和式子的结构特征，通过正确的推理判断，把待定的数字确定出来，使原式成立，这类问题叫做数字谜.数字谜中的待定数字可能是分数中的数字，也可能是整数中的数字.解决数字谜问题的关键是选好突破口，这就要求我们能够灵活地运用运算法则和整数的性质，仔细观察算式的特点，学会发现问题、分析问题.从这个意义上讲，研究和解决这类问题，有利于培养我们观察、归纳、分析、推理等能力.2．数阵图从1开始（其实可以从任一整数开始）把若干个连续的自然数适当的排列起来，形成各种形式的几何阵列，使几何阵列中的特定图形上的数之和都是一个固定的值，这就是幻方的变形一一数阵图•数阵图问题属于组合数学领域，往往从下面几个方面去研究:构造问题一一确定满足条件的数阵图是否存在，也就是说给定一个数阵图,要求通过填图，使数阵图中连线上圆圈中的所有数之和相等.优化问题一一确定满足条件的数阵图中可能存在的最优解计数问题一一确定满足条件的数阵图的所有可能形式•数阵图大体可分为三类：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图.解决数阵图问题，基本思路如下：确定数阵图中公共部分的可能值；确定数阵图中每条边上的和的可能值；尝试填图.(二)例题讲解1.选择题数学K数学2学□08勤奋好苧图1-2例1在图1-2乘法竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学”字代表的数字是().(A)0(B)1(C)5(D)6答案：D.X“数”的个位数字是理由：依题意，“学”只能是0，1,5,6中的一个，又因为“学”8,所以“学”只能是1或6.若“学”为1,则“数”为8,8r□arv□□□图1-3X81=648,后两位不是08,所以不行.若“学”为6,则“数”为3或8,经试验可知36X36=1296满足条件，所以“学”字代表的数字是6.例2如图1-3，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列以及两条对角线上的三个整数的和相等，那么x=().ab22cXd26ef图1-3a(A)30(B)18(C)24(D)25答案：C.理由：如图1-3所设，则有：ab2226ef=axfbxe,所以，解得x=24.填空题wei一Ian■■JI图1-4例3在图1-4的竖式中，不同的字母代表不同的数字.记被减数的数字和为A，减数的数字和为B，差的数字和为C,而且要求A>B，那么A-B与C的差是().(用大数减小数)答案：9理由：可以将题目所给的减法算式改写为加法算式，即Ian-ji二wei，显然有n=0.因为不同字母代表不同数字，所以十位的a+j要向百位进位，即lan与ji的数字之和比wei的数字和大9，所以BC_A=C_(A_B)=9.例4在图1-5算式中，汉字“第、十、四、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得加法算式成立.则“第、十、四、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于().答案：29.理由：根据加法规则，“第”=1,“届”+“赛”=9,“十”+“华”=9.所以，“第”+“十”+“四”+“届”+“华”+“杯”+“赛”=1+9+10+9=29.图1-6是一个解答的例子.例5在图1-7的8个小圆中，分别填上数字1，2，3，4，5,第十四届+华杯赛2009图1-5“四”+“杯”=10,1423+5862009图1-6图1-76,7,8,然后在12条线段的中点，写上每条线段连接的两个小圆中的数字和，最少有()条数值不同线段.答案：5.图1-8理由：设与填数为1相邻的三个小圆填的数字是a、b、c,满足avbvc,则连接这4个小圆的三条线段上的数为1+a,1+b和1+c,满足1+av1+bv1+c.再设与填数为8相邻的三个小圆填的数字是为x、y、z,满足xvyvz,贝U连接这4个小圆的三条线段上的数为8+x,8+y,8+z,满足8+xv8+yv8+乙既然1_x,c_8，则有1，c_8，x，并且,I+av1+bv1+c<8xv8+yv8+乙所以，各条线段的中点处所写的数有不少于5种不同的数值，图1-8是有5种不同的数值的填法.解答题例6ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，a,b,c,d,e,f,g,代表1至9的不同的数字.已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCDEFG的最大值与最小值差多少？解答：ABCDXEFC=(1000+BCD)X(993-BCD)2—993000—7XBCD—BCD.由此看出：当BCD取最大值时，乘积ABCDXEFG有最小值，BCD取最小值时，乘积ABCDXEFG有最大值.由算式ABCD+EFG1993可以看出A—1.因为不同字母表示不同的数，所以D+Gm3,(否则D、G中就要有1),只能是D+G—13①C+Fm18,C+F+1的个位是9,所以C+F=8②B+E=9③因为BCD尽可能小，取B=2,C=3,D=4,相应的E=7,F=5,G=9满足③、、①•所以，ABCDXEFC的最大值就是993000—7X234-2342=936606.类似的讨论，ABCDXEFC的最小值是993000-7X759—759s—411606.最大值与最小值的差是936606-411606=525000.例7一个三位数和一个两位数相乘，其算式如图1-9所示.每个小格内要填入一个数字，且只能填入数字2、3、5或7,请写出一个完整的算式.□LU□nr—「匚匚」□口图1-91□[11rX□□—1匚~a7国□图1-10母a处只能是2或7,否则最终乘积的十位数字将不是2或7.由此可知竖式中的三位数25的倍数，或者三位数与两位数都是5的倍数.如果a是7,则由10位向百位进1.但是，1、2、3、5、7国□国匚口□□国图1-11所以图1-12中,中仅有1+5+7=13,并且2、3、5、7任何两个数或任何一个数的平方，积的十位都小于5.所以图1-11的b处只可能是5,c和d处只可能都是7.77=49,为了使e处是5或7,m和d的积的十位必须是6或8,这是不可能的.a处只能是2.并且算式中百位的和不能大于□LZa5国nn图1-1210.解答：依题意可知乘积的个位只能是5,如图1-10,且字在图1-12算式中，如果两位数的个位是5,为使a处为2,算式中的三位数的个位只能是5,十位只能是2.此时,e处是5c■1的个位，不可能是2、3、5、7.所以，两位数的个位不可能是5,三位数的个位和十位不能是25.X回国@17*13_y[2■■2既然已得到两位数的个位不是5,三位数就必须是25的倍数，但后两位数，即个位和十位不能是25.所以，三位数的后两位数是75.依次代入2,3,5,7计算，得到图1-13显示的解答.综上可知有唯一解，即775X33=25575.说明和评注：数字迷是“华杯赛”和其他小学数学竞赛常考的题目常常能结合新闻、警句等，有趣新颖•更有意义的是：虽然解答数字迷的题目只是做简单的加减和乘除，但是推理时要尽量使思维全面，条理清晰，培养如图1-14所示的树形思维：做做这种ABiC,（结束）厂ABlC.Di问题AIIBi情况]ADl）1ABtC;I1iiAD（C；D.l•-•«•图1-14i1AB.C]AB：C5（结束〕：练习，可以提高严谨和全面的推理能力例8有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为0，且两位数ab能被2整除，三位数abc能被3整除，四位数abcd能被4整除，…，依此类推，九位数abcdefghi能被9整除.请求出这个九位数abcdefghi.解答：依题意可知a、b、c、d、e、f、g、h、i恰好分别是1~9中的一个数字，且abcde能被5整除，所以e=5.因为赢能被3整除，abcdef能被6整除，所以鬲能被6整除,则d和f是2和8或4和6.又由条件可知b，d，f，h为偶数，所以a，c，e，g，i为1,3，5，7，9,而abcd能被4整除，所以d=2或6,即荷=258或654.同理可知h=2或6.当def=654时，h=2,b=8,g=3或7•若g=3,则a，c，i分别为1,7,9中的一个，且i=1或7,经检验可知均无法满足abcdefg能被7整除的条件；若g=7，则a,c,i分别为1,3,9中的一个，且i=3或9,经检验可知381654729满足条件.当def=258时，h=6,b=4,g=9,i=3,a和c为1和7,经检验可知也均无法满足abcdefg能被7整除的条件.1-15综上可知abcdefghi=381654729例9将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入图的十个圆圈内(每个数只填一次)，使得各个阴影三角形的三个顶点处的圆圈内所填数之和都相等•问A处的圆圈内应填入什么数？请将相应的填法用示意图表示出来•解答：将十个圆圈按图1-16方式标记，依题意有：A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=0+1+2+…+9=45,且B+C+D=E+F+G=H+I+J,45是3的倍数，所以A一定也是3的倍数.即A=0,3,6,或9.若A=0,贝UB+C+D+E+F+G+H+I+J=45,即图1-16B+C+D=E+F+G=H+I+J=15,而A+C+E=A+G+I=A+H+D=15，所以C+E=G+I=H+D=15,图1-17这显然是不可能的，因为把15表示成0到9中的两个数之和只有9+6和7+8这两种情况，因此A=0不成立；若A=3,则B+C+D=E+F+G=H+I+J=A+C+E=A+G+I=A+H+D=14,C+E=G+I=H+D=11，经试验可知这种情况是可以达到的，例如图1-17:若A=6,用9减图1-17中每个圆圈中的数，可以得到图1-18;当A=9时，没有满足要求的填法.否则，如同得到图1-18的做法，A=0就有满足要求的填法.图1-19综上可知，A处应填数字3或6.例10图1-19中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形•现在先把1,2,3,4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1,2,3,4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1,2,3,4分别填在小正方形的4个项点上.(1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由(2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由解答：(1)无论怎样填法，都不可能使八个三角形顶点上数字之和相等•事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k.在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次•因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为：8k=(1+2+3+4)+3X(1+2+3+4)+2X(1+2+3+4)，即8k=60,解得k不为整数，矛盾，所以假设不成立•图1-20图1-21(2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1+1+2=4,最大为3+4+4=11.而4〜11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，并且填法不惟一•图1-20和图1-21是两种填法.第一章练习题、选择题(四个选项中，仅有一个正确，将正确答案的英文字母写在每题的圆括号内有如下4个命题：圆周率二是一个小数；分数可以化为一个有限小数；无限小数可以化为一个分数；无限循环小数可以化为一个分数；其中正确的命题有()个.(A)1(B)2(C)3(D)4◎n=，即a3b2m、k和n是整数，用符号◎表示求m和n最大公约数的“运算”，即mm,n；a、b和c是整数或分数，用符号“#”表示求a和b平均值的“运算'a#b=…；用符号表示求a和“b权”为3的平均值的“运算”，即aLb二2有下列结论：◎有交换率，即m◎n=n◎m；#有交换率，即a#b=b#a；。有交换率，即aLb二bLa；◎有结合率，即(m◎n)◎k=m◎(n◎k)；#有结合率，即a#b#c=b#a#c；。有结合率，即aLb_c二b_a」c；TOC\o"1-5"\h\z其中正确的结论有()个.(A)5(B)2(C)3(D)4LL」_a=0.56,b=0.565,c=0.56，贝9有()(A)abc(B)bca(C