选修4-4复习与练习

高中数学同步辅导：选修4-4PAGEPAGE7极坐标方程、参数方程（1）（B.H）知识点：（1）直角坐标、极坐标的互化；参数方程和普通方程互化；（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ；（3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题.1.极坐标和直角坐标的互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式(在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.)2.常见曲线的极坐标方程：曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线3．参数方程和普通方程的互化：(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：参数方程的形式不一定唯一.4．几种常见参数方程：普通方程参数方程圆，的几何意义是旋转角.圆焦点在轴上的椭圆：，其中参数称为离心角焦点在轴上的椭圆：，其中参数称为离心角焦点在轴上的双曲线：，其中焦点在轴上的双曲线：开口向右的抛物线直线极坐标方程、参数方程（1）（B.H）知识点：（1）直角坐标、极坐标的互化；参数方程和普通方程互化；（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题；（3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题.1.已知圆的参数方程为参数方程（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标为.2.在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为.[来源:Z.xx.k.Com]3.在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为.4.直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A、B分别在曲线和曲线上，则的最小值为.5.已知两曲线参数方程分别为和(t)，它们的交点坐标为.6.在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值.7.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点P的坐标为，求.8.已知为半圆(为参数，)上的点，点的坐标为,为坐标原点，点在射线上，线段与的弧的长度均为.（Ⅰ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点的极坐标；（Ⅱ）直线的参数方程.9.在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程.10.已知直线（t为参数），圆(为参数)，（Ⅰ）当时，求与的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点做的垂线，垂足为为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.11.在直角坐标系 中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足,点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程;（Ⅱ）在以为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.12.在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为.（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；（Ⅱ）设点Q是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.13．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与、各有一个交点．当时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明，是什么曲线，并求出a与b的值；（Ⅱ）设当时，与、的交点分别为、，当时，与、的交点为、，求四边形的面积．巩固与拓展：1．把方程化为以参数的参数方程是（）A．B．C．D．2．曲线与坐标轴的交点是（）A．B．C．D．3．直线被圆截得的弦长为（）A．B．C．D．4．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）A．B．C．D．5．极坐标方程表示的曲线为（）A．极点B．极轴C．一条直线D．两条相交直线6．在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）A．B．C．D．7．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么=_______________。8．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______。9．圆的参数方程为，则此圆的半径为_______________。10．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________。11．直线与圆相切，则_______________。12．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；13．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。14．从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12.(1)求点P的轨迹方程;(2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.15．在极坐标系中，已知圆C的圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，半径r＝3，(1)求圆C的极坐标方程；(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．16．设点A的极坐标为(ρ1，θ1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ1≠0，0＜θ1＜\f(π,2)))，直线l经过A点，且倾斜角为α.(1)证明l的极坐标方程是ρsin(θ－α)＝ρ1sin(θ1－α)；(2)若O点到l的最短距离d＝ρ1，求θ1与α间的关系．17．在极坐标系中，已知圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，半径r＝1，Q点在圆C上运动．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P点在线段OQ上，且OP∶PQ＝2∶3，求点P的轨迹方程.数学选修4-4坐标系与参数方程[提高训练C组]一、选择题1．D，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制2．B当时，，而，即，得与轴的交点为；当时，，而，即，得与轴的交点为3．B，把直线代入得，弦长为4．C抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为5．D，为两条相交直线6．A的普通方程为，的普通方程为圆与直线显然相切二、填空题7．显然线段垂直于抛物线的对称轴。即轴，8．,或9．由得10．圆心分别为和11．，或直线为，圆为，作出图形，相切时，易知倾斜角为，或三、解答题12．解：（1）当时，，即；当时，而，即（2）当时，，，即；当时，，，即；当时，得，即得即。13．解：设直线为，代入曲线并整理得则所以当时，即，的最小值为，此时。14.解:(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),M的极坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.(2)将ρ=3cosθ化为直角坐标方程是x2+y2=3x,即(x-)2+y2=()2,知P的轨迹是以(,0)为圆心,半径为的圆.直线l的直角坐标方程是x=4.结合图形易得|RP|的最小值为1.15.解析：(1)设M(ρ，θ)为圆C上任一点，OM的中点为N，∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形．由垂径定理可得|ON|＝|OC|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))，∴|OM|＝2×3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).即ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))为所求圆C的极坐标方程．(2)设点P的极坐标为(ρ，θ)，因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所以点Q的坐标为(eq\f(3,5)ρ，θ)，由于点Q在圆上，所以eq\f(3,5)ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).故点P的轨迹方程为ρ＝10coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).16.解析：(1)如图，设P(ρ，θ)为直线上的任一点，直线与极轴相交于Q点，则∠OPQ＝α－θ，∠OAP＝π－∠OAQ＝π＋(θ1－α)，在△OAP中，由正弦定理得eq\f(ρ,sinπ＋θ1－α)＝eq\f(ρ1,sinα－θ)，得直线的极坐标方程是ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)，即ρsin(θ－α)＝ρ1sin(θ1－α)．(2)依题意OA⊥l，所以α－θ1＝eq\f(π,2).解析：(1)如图，设Q(ρ，θ)，则|OQ|＝ρ，∠QOC＝|θ－eq\f(π,6)|.在△QOC中，由余弦定理得：|QC|2＝|OQ|2＋|OC|2－2|OQ|·|OC|·cos∠QOC，代入得ρ2－6ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＋8＝0，为所求的圆C的极坐标方程．设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，由P在线段OQ上，且OP∶PQ＝2∶3知，ρ0＝eq\f(2,5)ρ，θ0＝θ，而ρ02－6ρ0coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ0－\f(π,6)))＋8＝0，代入并整理得ρ2－15ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＋50＝0，即为点P的轨迹方程.