中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题

------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx中考数学中考最后压轴题训练---折叠旋转问题【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】一．折叠类1.（13江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边，边，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点是点A落在边DC上的对应点．（图1）（1）当矩形ABCD沿直线折叠时（如图1），求点的坐标和b的值；（2）当矩形ABCD沿直线折叠时，①求点的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 直接填在每种情形下的横线上）（——当如图1、2折叠时，求D的取值范围？）（图4）（图2）（图3）k的取值范围是；k的取值范围是；k的取值范围是；[解]（1）如图答5，设直线与OD交于点E，与OB交于点F，连结，则OE=b，OF=2b，设点的坐标为（a，1）因为，，所以，所以△∽△OFE．所以，即，所以．所以点的坐标为（，1）．连结，则．在Rt△中，根据勾股定理有，即，解得．（2）如图答6，设直线与OD交于点E，与OB交于点F，连结，则OE=b，，设点的坐标为（a，1）．因为，．所以，所以△∽△OFE．所以，即，所以．所以点的坐标为（，1）．连结，在Rt△中，，，．因为，所以．所以．在图答6和图答7中求解参照给分．（3）图13﹣2中：；图13﹣3中：≤≤；图13﹣4中：（图答5）（图答7）（图答6）[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。2.（13广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，为上一点，把沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点的坐标分别为和．（1）求点的坐标；（2）求所在直线的解析式；5DＯEAxyCMB（3）设过点的抛物线与直线的另一个交点为，问在该抛物线上是否存在点，使得为等边三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．[解]（1）根据题意，得，，．点的坐标是；（2），设，则，，在中，．．5DHＯGEAxyCFMB解之，得，即点的坐标是．设所在直线的解析式为，解之，得所在直线的解析式为；（3）点在抛物线上，．即抛物线为．假设在抛物线上存在点，使得为等边三角形，根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点一定在该抛物线的顶点上．设点的坐标为，，，即点的坐标为．设对称轴与直线交于点，与轴交于点．则点的坐标为．，点在轴的右侧，，．，在中，，．解之，得．，．点的坐标为．在抛物线上存在点，使得为等边三角形．[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。3（13湖北咸宁卷）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，．（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（4）35若（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式．4..(14台州市)Oxy（第24题）CBED24．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．（1）判断与是否相似？请说明理由；（2）求直线与轴交点的坐标；（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．解：（1）与相似．理由如下：由折叠知，，（第24题图2）OxyCBEDPMGlNAF，又，．（2），设，则．由勾股定理得．．由（1），得，，．在中，，，解得．，点的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，解得，则点的坐标为．（3）满足条件的直线有2条：，．如图2：准确画出两条直线．5.(14宁德市)26.已知：矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）（1）无论点在边上任何位置，都有（填“”、“”、“”号）；（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点在点时，与交于点点的坐标是（，）；②当厘米时，与交于点点的坐标是（，）；③当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；（3）点在运动过程，与形成一系列的交点观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．APBCMD(P)EBC图10(A)BCDE6121824xy61218图3ANPBCMDEQT图2解:（1）．（2）①；②．③画图，如图所示．解：方法一：设与交于点．0(A)BCDE6121824xy61218FMGP在中，，．，，．又，．．．．方法二：过点作，垂足为，则四边形是矩形．，．设，则．在中，．．．．．（3）这些点形成的图象是一段抛物线．函数关系式：．6.(14日照市)24.如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x．(Ⅰ)求证：AF=EC；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C.（1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x︰b的值；（2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？解:(Ⅰ)证明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S梯形ABEF=S梯形CDFE．∴a(x+AF)=a(EC+b-AF)，∴2AF=EC+(b-x)．又∵EC＝b-x，∴2AF=2EC，即AF=EC；(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一），∵EC∥E′B′，∴=.由EC＝b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，得，∴x︰b=；当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二），在梯形AE′B′D中，∵EC∥E′B′,点C是DB′的中点，∴CE=(AD+E′B′)，即b-x＝（b＋x），∴x︰b=．(2)如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF．证明：连接BF．∵FD∥BE,FD=BE，∴四边形FBED是平行四边形，∴FB∥DE，FB=DE,又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，∴DE=EE′，∴FB∥EE′,FB=EE′，∴四边形BE′EF是平行四边形∴BE′∥EF．如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G.过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a.．∵x︰b=，∴EM=BC=b．若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，∴∠GBE=∠ME′E.在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE==．在Rt△EME′中，tan∠ME′E==，∴＝．又∵a＞0，b＞0，，∴当时，BE′与EF垂直.7.(14荆门市)28.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．图1图2解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴．即．∴y=(0＜x＜4)．且当x=2时，y有最大值．(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴y=．(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，∴该直线为y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．8.(14湖北省孝感市)25.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.（图1）（图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线为，当=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？（图3）解：（1）△BMP是等边三角形.证明：连结AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折叠知AB=BN∴AN=AB=BN∴△ABN为等边三角形∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP为等边三角形.（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°∴BP=∴b≥∴a≤b.∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.（3）∵∠M′BC=60°∴∠ABM′=90°－60°=30°在Rt△ABM′中，tan∠ABM′=∴tan30°=∴AM′=∴M′(，2).代入y=kx中，得k==设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为过作HBC交BC于H.∵△BM′≌△ABM′∴==30°,B=AB=2∴－=30°.在Rt△BH中，H=B=1，BH=∴∴落在EF上.(图2)(图3)9.(14广东省茂名市)25.如图，已知平面直角坐标系中，有一矩形纸片OABC，O为坐标原点，轴，B（3，），现将纸片按如图折叠，AD，DE为折痕，．折叠后，点O落在点，点C落在点，并且与在同一直线上．（1）求折痕AD所在直线的解析式；(第25题图)CDOABEO1C1xy（2）求经过三点O，，C的抛物线的解析式；（3）若⊙的半径为，圆心在（2）的抛物线上运动，⊙与两坐标轴都相切时，求⊙半径的值．解：(第25题图)CDOABEO1C1xyF（1）由已知得．∴，∴．设直线AD的解析式为．把A，D坐标代入上式得：，解得：，折痕AD所在的直线的解析式是．（2）过作于点F，由已知得，∴．又DC＝3－1＝2，∴．∴在中，．，∴，而已知．法一：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是点在抛物线上，∴，∴∴为所求法二：设经过三点O，C1，C的抛物线的解析式是．把O，C1，C的坐标代入上式得:，　解得，∴为所求．（3）设圆心，则当⊙P与两坐标轴都相切时，有．由，得，解得（舍去），．由，得解得（舍去），．∴所求⊙P的半径或．10.(14重庆市)28．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为解:（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2∴OB＝4，OA＝由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3∴C点坐标为（，3）（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点∴解得：∴此抛物线的解析式为：（3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点CMP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝∴P（，）作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E把代入得：∴M（，），E（，）同理：Q（，），D（，1）要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD即，解得：，（舍）∴P点坐标为（，）∴存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）11.（15山东青岛）24．（本小题满分12分）已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；AQCPB图=1\*GB3①AQCPB图=2\*GB3②（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．12.（15浙江湖州）24．（本小题12分）已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（15浙江湖州24题解析）24．（本小题12分）（1）证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．，．，即与的面积相等．（2）由题意知：两点坐标分别为，，，．当时，有最大值．．（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．由题意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合条件的点，它的坐标为．13（15浙江衢州）24、(本题14分)已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。yBCyTACBOxOTAx（15浙江衢州24题解析）24、(本题14分)解：(1)∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，∴，∴当点A´在线段AB上时，∵，TA=TA´，∴△A´TA是等边三角形，且，∴，，A´yE∴，xOCTPBA当A´与B重合时，AT=AB=，所以此时。(2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，A´yx当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)PBE所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。FC(3)S存在最大值ATOeq\o\ac(○,1)当时，，在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是。eq\o\ac(○,2)当时，由图eq\o\ac(○,1)，重叠部分的面积∵△A´EB的高是，∴当t=2时，S的值最大是；eq\o\ac(○,3)当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图eq\o\ac(○,2)，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴综上所述，S的最大值是，此时t的值是。1415浙江绍兴）24．将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．（1）用含的代数式表示；（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．图1OPAxBDCQy（第24题图）图2OPAxBCQyE（15浙江绍兴24题解析）24．（本题满分14分）解：（1），．图1OPAxBDCQy图2OPAxBCQy图3OFAxBCyEQP（2）当时，过点作，交于，如图1，则，，，．（3）①能与平行．若，如图2，则，即，，而，．②不能与垂直．若，延长交于，如图3，则．．．又，，，，而，不存在．15.（15浙江宿迁24题解析）24．如图，在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为．（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）①求与之间的函数关系式；②当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？DQCBPRA（第24题）BADC（备用图1）BADC（备用图2）二．旋转类1.（15湖南常德26题）如图9，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题：（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形△A1B1C，并求出AB1的长度；（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；（3）平移：将△A2B1C1沿直线向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为ｘ，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC面积的一半时,ｘ的值是多少？ABCDEFG图9（15湖南常德26题解析）解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，∴AB1=AC+CB1=AC+CB=.……………………………………2分(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下：∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4分（3）由题意可知：S△ABC=，当或时，ｙ＝0此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分②当时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，则ｙ＝,当ｙ=S△ABC=时，即，解得（舍）或.∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.③当时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即……………7分④当时,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-则ｙ＝,当ｙ=S△ABC=时，即，解得,或(舍去).∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分由以上讨论知,当或时,重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分2.（广西玉林卷）在矩形中，，，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系．然后将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的点上，则和点依次落在第二象限的点上和轴的点上（如图）．（1）求经过三点的二次函数解析式；（2）设直线与（1）的二次函数图象相交于另一点，试求四边形的周长．（3）设为（1）的二次函数图象上的一点，，求点的坐标．ＣＢＤＥＦＧＡ[解]（1）解：由题意可知，，．　　　　　　　，，．设经过三点的二次函数解析式是．　　　　　　　　把代入之，求得．3分　　　　　　　　所求的二次函数解析式是：．（2）解：由题意可知，四边形为矩形．　　　，且．　　　直线与二次函数图象的交点的坐标为，　　　．　　　与与关于抛物线的对称轴对称，　　　．　　　四边形的周长　　　　　　　　．ＣＢＤＥＦＧＡＭＨ（3）解法1：设交轴于．　　　，　　　，　　　即．　　　　　　　，于是．　　　　　　　设直线的解析式为．　　　　　　　把，代入之，得解得　　　　　　　．　　　　　　　联合一次，二次函数解析式组成方程组　　　　　　　解得或（此组数为点坐标）　　　　　　　所求的点坐标为．　　解法2：过作轴于．由，得．　　　　　　设所求点的横坐标为，则纵坐标为．　　　　　　，，　　　　　　．　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　．　　　　　　解之，得或．　　　　　　经检验可知，是原方程的根；是原方程的增根，故应舍去．　　　　　　当时，．　　　　　　所求的点坐标为．[点评]此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使试题的切入点也较多，很容易入题。3.(14南京市)27．在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（，）；②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；ＣＡBDE图1ＡBＣDE图2ＥＤＢＦＧＣＨＡＩ图3（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．解：（1）①，；②；（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段．，，，．4.（15湖北恩施）六、(本大题满分12分)24.如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.（3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.Gyx图12OFEDCBAG图11FEDCBA（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.（15湖北恩施24题解析）六、(本大题满分12分)24.解:(1)∆ABE∽∆DAE,∆ABE∽∆DCA1分∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA3分(2)∵∆ABE∽∆DCA∴由依题意可知CA=BA=∴∴m=5分自变量n的取值范围为1