高中数学第3章概率3_3几何概型(2)
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苏教版必修31高中数学第3章概率3_3几何概型(2)教案苏教版必修31PAGE/NUMPAGES高中数学第3章概率3_3几何概型(2)教案苏教版必修31.而保留等可能性，这就是几何3.3几何概型第2课时导入新课设计思路一：（问题导入）下图是卧室和书房地砖的示意图，图中每一块地砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧室（书房）设计思路二：（情境导入）在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全相同，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留的可能性相同，对于这样一个随机事件的概率，有如下的结论：对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件的概率模型，它的特点是：（1）试验中所有可能出现的结果，也就是基本事件有无限多个（2）基本事件出现的可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中的有限性推广到无限性，概型.几何概型的概率计算方法如下：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为d的测度P(A)=.的测度这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.对于导入思路二：1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.2）几何概型的概率公式：构成事件A的区域长度(面积或体积)P（A）=.试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（3）几何概型的特点：1°试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.2°每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如图所示），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，豆子落入圆中的概率应该等于圆面积与正方形面积的比.解：记“豆子落入圆内”为事件A，则圆的面积a2.P(A)=4a2正方形面积4答：豆子落入圆内的概率为.4点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件的概率类型虽然每一个事件的发生都是等可能的，但是几何概型是有无数个基本事件的情形，古典概型是有有限个基本事件的情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：1）在Excel软件中，选定A1，键入“=（rand（）-0.5）*2”.2）选定A1，按“ctrl+C”.选定A2～A1000，B1～B1000，按“ctrl+V”.此时，A1～A1000，B1～B1000均为［-1，1］区间上的均匀随机数.3）选定D1，键入“=power（A1，2）+power（B1，2）”；再选定D1，按“ctrl+C”；22选定D2～D1000，按“ctrl+V”，则D列
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示A+B.（4）选定F1，键入“=IF（D1＞1，1，0）”；再选定F1，按“ctrl+C”；选定F2～F1000，按“ctrl+V”，则如果D列中A2+B2＞1，F列中的值为1，否则F列中的值为0.5）选定H1，键入“FREQUENCY（F1：F10，0.5）”，表示F1～F10中小于或等于0.5的个数，即前10次试验中落到圆内的豆子数；类似的，选定H2，键入“FREQUENCY（F1：F20，0.5）”，表示前20次试验中落到圆内的豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY（F1：F50，0.5）”，表示前50次试验中落到圆内的豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY（F1：F100，0.5）”，表示前100次试验中落到圆内的豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY（F1：F500，0.5）”，表示前500次试验中落到圆内的豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY（F1：F1000，0.5）”，表示前1000次试验中落到圆内的豆子数.2（6）选定I1，键入“H1*4/10”，表示根据前10次试验得到圆周率π的估计值；选定I2，键入“H2*4/10”，则I2为根据前20次试验得到圆周率π的估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π的估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π的估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π的估计值，I6为根据前1000次试验得到圆周率π的估计值.如图：例2如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC的长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′的概率.所以，当点M位于下图中的线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d的测度就是线段AC′的长度，区域D的测度就是线段AB的长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM
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文件，在A1的位置输入：=RAND(，产生一个0到60的随机数x；（2）将A1位置处的表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60的随机数y；3）在C1的位置处输入：=IF（A1-B1<=-20，0，IF（A1-B1<20，1，0），判断两人能否碰面（即是否满足|x－y|<20），如果是，就返回数值1，否则返回数值0；7（4）将第一行的三个表达式复制100行，产生100组这样的数据，也就是模拟了100次这样的试验，并统计每次的结果；5）在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面的频率，即事件“两人能碰面”发生的概率的近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机的，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型的条件，区域d的测度是60，区域D的测度是360，根据几何概型的概率计算公式，得P(A)=601.36065.运用计算机模拟的结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题的背景，判断是否符合几何概型的特点，如是则选择符合题意的“测度”，运用求几何概型概率的方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题的模拟方法来模拟得到问题的近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题的概率，以及运用模拟的方法求某一个事件的概率的近似值.结合上节课的内容可以知道，几何概型的概率问题仍然是随机事件的概率，与古典概型的区别是古典概型所含的基本事件的个数是有限个，而几何概型所包含的基本事件的个数是无限的.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：（1）与长度有关的几何概型；（2）与面积有关的几何概型；（3）与体积有关的几何概型；(4)与角度有关的几何概型.其中我们对与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.34、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型的又一随机事件的概率模型，在解决实际问题时首先根据问题的背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者的区别在于构成该事件的基本事件的个数是有限个还是无限个.在使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用的方法.习题详解习题3.3记A={灯与两端距离都大于2m}.因为把一盏灯挂在绳子上的位置是随机的，也就是说灯挂在绳子上的位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型的条件，l的长度21根据P=，得P(A)=.L的长度63答：灯与两端距离都大于2m的概率为13.8记A={所投的点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入大正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入小正方形内的概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积的比，即小正方形面积224P(A)=32.大正方形面积9答：所投的点落入小正方形内的概率为4.9记A={所投的点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投的点落入矩形内的任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入梯形内部的概率应该等于梯形面积与矩形面积的比，即11a1b梯形面积(a)5.232P(A)=a矩形面积b12答：所投的点落在梯形内部的概率为5.124.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机的，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型的条件，根据几何概型的求概率计算公式，得(1)21.P(A)=212221答：乘客到达站台立即乘上车的概率为1.2分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点”的概率比较困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，再求“硬币落下后与格线有公共点的概率”.解：因为直径等于2cm的硬币投掷到正方形网格上是随机的，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型的条件.要求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，根据几何概型的求概率计算公式：P(A)=d的测度6cm，硬币的直径为2cm，设有n，因为每个小正方形的边长都等于的测度22个小正方形，则区域d的测度为n·π·1，区域D的测度n·6，故“硬币落下后与格线无公共点”的概率为n12，而事件“硬币落下后与格线有公共点”是“硬币落下后n6236与格线无公共点”的对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点”的概率为1－.36答：硬币落下后与格线有公共点的概率为1－.366.贝特朗算出了三种不同的答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.9贝特朗的解法如下：解法一：任取一弦AB，过点A作圆的内接等边三角形（如图1）.因为三角形内角A所对的弧，占整个圆周的1.显然，只有点B落在这段弧上时，AB弦的长度才能超过正三角形3的边长a，故所求概率是1.3解法二：任取一弦AB，作垂直于AB的直径PQ.过点P作圆的内接等边三角形，交直径于N，并取OP的中点M（如图2）.容易证明QN=NO=OM=MP我们.知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ垂直的弦，如果通过MN线段的，其弦心距均小于QN，则该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是1.2解法三：任取一弦AB.作圆的内接等边三角形的内切圆（如图3），这个圆是大圆的同心圆，而且它的半径是大圆的1，它的面积是大圆的1，设M是弦AB的中点，显然，只有中241.点落在小圆内时，AB弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是4图1图2图3细细推敲一下，三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格的理论基础，这样，对同一问题可以有不同的看法，以致产生一些奇谈怪论.10
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