PAGEPAGE8广东省仲元中学高二数学上学期期末考试试题理一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则（）2．命题“”的否定是（）A．B．D．3．实数是上的随机数，则关于的方程有实根的概率为（）A．B．C．D．4、已知，，与的夹角为，那么等于（）A．B．C．D．5.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A．y=cosxB．y=sinxC．y=lnxD．y=x2+16.已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（）A．B．C．D．不存在7.设，，，则的大小关系是（）8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）第8题9.已知实数满足，若可行域内存在点使得成立，则的最大值为（）A．B．C．D．10．已知条件p：x2-2x-3＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（）A．a＞3B．a≥3C．a＜－1D．a≤－111.若函数则（）A.B.C.D.12.为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点,则的值为________.14.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________.15．已知直线与圆相交于A,B两点，且为等腰直角三角形，则实数a的值为________.16．三棱柱中，，所有顶点在同一个球面上，，则该球的
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面积为________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分)在等比数列中，公比，，前三项和．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)记，，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：0000（I）请直接写出上表的、、，并直接写出函数的解析式；（II）将的图象沿X轴向右平移个单位得到函数的图象，、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小.19．（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（I）求直方图中的值；（II）求月平均用电量的众数和中位数；（III）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？20.（本小题满分12分）如图，四棱锥，底面是的菱形，侧面是边长为的正三角形，且与底面ABCD垂直，为的中点．（I）求证：；（II）求直线与平面所成的角的正弦值．21.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点为F1，F2，抛物线C：y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），点M在x轴上方，直线F1M与抛物线C相切．（I）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；（II）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数上是减函数，求实数a的最小值；广东仲元中学2015学年第一学期期末考试高二年级数学（理科）试卷参考答案一、CCBCAABCDDDB二、13.14.215.16.三、17．(Ⅰ)由；………………2分得………………3分所以………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)中,,…………6分∴………………8分∴…10分18、解：（I），，，………6分（II）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数……………7分因为、分别为该图像的最高点和最低点，所以……………8分所以……………………………………………10分，所以……………………12分法2：法3：利用数量积公式，。19.解：（I）由得：所以直方图中的值.………………3分（II）月平均用电量的众数是；………………6分因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是.………………9分（III）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户.………………12分20．解：（I）取中点，连接，，，由题意可知，均为正三角形．所以，．又，平面，平面，所以平面，又平面，所以．………………4分（II）方法1：由（1）可知，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．即为三棱锥的高．在中，，，在中，，，边上的高，所以的面积．设点到平面的距离为，由得，，又，所以，解得．故点到平面的距离为．…………10分设直线与平面所成的角为则，所以直线与平面所成的角的正弦值为．…………12分方法2：用空间向量来计算。21.解：（1）由椭圆方程得半焦距．……………1分∴椭圆焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．又抛物线C的焦点为，∴，解得p=2．∴抛物线C的方程：y2=4x．……………3分∵点M（x1，y1）在抛物线C上，∴．直线F1M的方程为．代入抛物线C得，即．∴∵F1M与抛物线C相切，∴△=，∴x1=1．∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，﹣2）．……………6分（2）直线AB的斜率为定值﹣1．……………7分证明如下：设,．则，同理，∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴kMA=﹣kMB．即……………10分∴kAB=所以直线AB的斜率为定值﹣1．……………12分22.解：（I）由已知得函数的定义域为,……1分函数,………………2分当时,，所以函数的增区间是;………………4分当且时,，所以函数的单调减区间是,…6分（II）因f(x)在上为减函数，且.故在上恒成立．………………8分所以当时，．又，故当，即时，．………………10分所以于是，故a的最小值为．……………………12分
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