等差数列一、知识归纳：等差数列的定义用递推公式表示为：ani-a.=d(n?N)或an-an丄=d(n亠2,n:二N)，其中d为常数，叫这个数列的公差2.等差数列的分类:等差数列的通项公式：an二6?(n-1)d,当d=0时，｛an｝是常数列。当d0时，｛an｝是递增数列；当d<0时，｛an｝是递减数列；4.等差中项:如果在a,b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,且A42等差数列的前n项和公式:”n(aA)，或$“和，此式还可变形为&話n222⑻-d)n6.等差数列的主要性质:an=ak-(n-k)d若m+n=2p(m,n,pwNA),则am+an=2ap⑶若m?nApq,则am■aAa■a(反之也成立)(其中m,n,p,q?N')女口：a1'an=a2'an4Aa3'anA-、学习要点：a1与公差d两个基本量解决冋题。1?学习等差数列要正确理解与运用基本公式，要抓住首项注意:(1)证明一个数列为等差数列的常用方法①(定义法)证明：an1-an二常数；②(等差中项法)证明：an「an4=2an(n-2)⑵公差d=0的等差数列的通项是n的一次函数an=an，其中a即为公差。?解决等差数列问题应注意性质的灵活运用?巧设公差是解决问题的一种重要方法。三数成等差数列，可设为：a,ad,a2d或a-d,a,a，d；三、例题分析：例1.已知等差数列的前三项依次为(1)求a及k的值；⑵并求其前n项和Tna,4,3a，前n项和为Sn，且Sk=110,S设数列｛bn｝的通项bn-,证明数列n｛bn｝是等差数列，例2?已知数列｛an｝中，a2=9,aA21，且a..2-2a“1?a*二0(n?N*)例3.已知数列｛an｝中印=?,an=2—丄5》2,nAn*),数列5nan丄｛bn｝,满足b=1na「1(1)求证数列｛bn｝是等差数列；(2)求数列｛an｝中的最大项与最小项，(n?N*)并说明理由；(1)求｛an｝的通项an；(2)令bn=2%，求数列｛g｝的前n项和Sn(3)求Sn1二bi戈Vbn1?例4?设｛an｝是等差数列(〔)右a7+ao=16,aA—1，贝Ua12=若'印+a2+a3=1,an+an」+an<=3,Sn=18，贝yn=1若a8——aA=6，贝USo=2四、练习题：11?等差数列｛an｝中，已知a1,a2aA4,a.=33，则n二3A?48B.49C.50D?51C?-8D.-10A?-4B?-63.等差数列A.1604.设{an}｛an｝中，aia2aA-24,盹'aA'a?。=78，则此数列前20项和为B.180C.200D.220是等差数列，且a2=-6,as=6,Sn是数列｛a.｝的前n项和，贝yA.S4■：S5B.S4=S5C.S6：：：S5D.S6=S55.a3S设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，贝V的值为S56.7.B.-1C.21D.-2在等差数列｛an｝中，前n项和是Sn，若a7=5,S7=21，则Si。A.40B.55C.35D.70命题甲：1（一）x21_x2x成等比数列，命题乙:2lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列，则甲是乙的A.充分非心要条件B.心要非充分条件下C.充要条件D.既非充分又非心要条件&等差数列｛an｝的公差为1,且a1a2A'：（i'a98ay99，则a3■a^aA■a96■agg-A.16B.33C.48D.669.在等差数列｛an｝中，ai3a8'ai5=120,则3a9-an的值为B.12C.24D.4810.已知等差数列｛an｝的前n项和是Sn，若m?1,且am丄？smi-a:=0,S2mAA38，则mA.38B.20C.10D.911.在等差数列｛an｝中，a5=3,a6=—2，贝Uao+a§+…+ag=.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若a4=18-a5，贝Usa=.定义“等和数列”:在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛an｝是等和数列，且aA2,公和为5,则a18的值为?这个数列的前n项和Sn的计算公式为..已知等差数列｛an｝中，a3a7=T6,a4a6=0,求｛an｝前n项和Sn..已知数列｛an｝是等差数列，其前n项和为Sn,a3=7,S4=24.1（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设p,q是正整数，且p=q,证明：Sp.q（S2p-S2q）.证明：aAd；(2)求公差d的值和数列｛an｝的通项公式。2n，…项，按c的值；N*).17.已知差数列乳/中，a2=8,Oo=185(1)求数列忌1的通项公式；(2)若从数列‘玄？中依次取出第2,4,8，…，原来的顺序排成一个新数列｛bn｝，试求｛bn｝的前n项和An?18.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,公差d0,且a2aA45,a1a4=14(1)求公差d的值；(2)令二邑，若数列｛bn｝也是等差数列，求非零常数n+c19.已知数列玄［中，印=2,a2=3，其前n项和Sn满足Sn,-Snj=2Sn-1(n_2,(1)求数列3n1的通项公式；设bn=4n?Q1)n」「2an「为非零整数，N*),试确定■的值，使得对任意n?N*，都有bn.1-bn成立.(二)等差数列参考答案例1.解：(1)设该等差数列为｛an｝，则aAi=a,a2=4,a3=3a,由已知有a■3a=8，得=a=2，公差d=4-2=2ntt则丄k(k—1)22=kk丄k(k—1)Sk=ka1d=2k22由Sk-110，得k2k-11ao,解得k=10或k=-11(舍去)故a=2,k=10(2)由(1)&=n(22n)=n(n1)，贝Ubn=色二n12n故bni-bn=(n2)-(n1)=1，即数列｛bn｝是首项为2，公差为1的等差数列例2解：(D:I｝5*a*2「2ani-an=0(n?N),.｛an｝是等差数列，设d为an的公差，贝Ud=-竺=_二4n(2n1)n(n3)25-23故an=a2(n-2)d=9(n-2)4=4n1故Sn25(24n-1)24-14n32(2-1)15例3?解析：(1)u1，而bnJbnan-1一1anJ-1(2)由an=4n?1,得bn=24n1，贝U｛bn｝是首项b,=25，公比q=24的等比数列。anXb"厂乙=出=1-5N)5，公差为1的等差数列.121｛bn｝是首项为b1aan1当n_3时，a1a2?a3=-1；当n_4时，3=a4a5■aA5故｛an｝中的最小值为a3=-1,最大值为a4=3(n1)(n-5)(n1)(-|(3)Sn1二例4?设｛an｝是等差数列(1)a12=_15.(2)n=_27.(3)S9=_108.9(a+a)解：(3)由2as-—H则So9aA=12及2as=a5H，得a5=12,四、练习题：（一）选择题1~10CBBBAABDDC解析:aa—a26+64?解：d822,an=2n-10，由an=0，得n=5,又d8-26则｛an｝是递增数列，故S4=S5选B3Sg9(3ja9)9■2a59a5*:——====1S55(aia5)52a35a3解：由ai■a2'•••■a98・a99=(ai■a均7)■2#a5a98)'(a3'a6“£99—3(a3■aA”£99-33;2d-33;d可得3(a3a6亠亠a99)=9999由已知有5a8—120,aA—24，则3a9-a”=3(a8d)-(a8'3d)2解：由已知有2am-am=0,am=0(舍)或aA2对-m?N成立。2a8则(2m-1)2=38，故m=10，选C(二)填空题◎(n为偶数)13.35n—(n为奇数)11._—52—.12.__72.(三)解答题：=5n」[1_(_1)打14.已知等差数列an｝中，玄3玄7--16,a4*6=0,求｛an｝前n项和s*.『甘+8血T6I[a.=_4d一&或阡8=2,d=一2解：设'anf的公差为d，则=nn-9，或Sn8n-nna12da16八-16因此Sn二一8nnn-1a13da15d=0a1-2d=7，依题意得,15.(1):'I'■云r-■H4ainn-9解得严1=3,d=2.?'?数列d的通项公式为an=aA亠(n_1)d=2n1.(2)证明：？？？an=2nSn^严血二n2?2n.2???2Spq_(S2pS2q)=2[(pq)22(pq)]_(4p2?4p)_(4q2?4q)二_2(P-q)2,■p=q'-2Spq-(S2p■S2q):::0.?-Spq：：：f?p…s2q).216.解：(1)因ai,a2,a4成等比数列，故a2=aia4，又｛an｝是等差数列，则(&?d)2二ad33d)化简得d2二，因d=0,所以aAd10汉9(2)S0=104dA10a145d，又S。=110，且aAd,2a1，公差为d,17.解：（1）设等差数列的首项为贝严+d=8aA—5、0印+45d=185解得［=3,所以an?+2则55d=110.d=2故an=2n(2)依题设bAa2A32n2,则代?d川…川bn=(3212)(3222)川…川(32n-2)=3(222心一A2n)2n=32(1一2)2n=62n2n-61-2£—f小a?=5a?=9则」或丿忙*3=9卫3=518.解：(1)等差数列｛an｝中，a2aAayA14,又a?a3=45,因d0,所以a2::a3，故a?二5,aA9,d二a3-a?二4所以b1bA2b2，即」但=2—解得c—或c=0（舍去）(2)由(1)知a1=1,Sn=n■一一-4)4=2n2-n,21615则有b-i,b2,b3，由于数列｛bn｝是等差数列1+c2+c3+c2+c1+c3+c则bn=——=2n,易知｛bn｝是等差数列，故c--一212n—19.解：(1)由已知，&sn-&—八J=1(n_2,n?N*),即an卅一an=1(—兰2,n^N*)，且az—a—l.???数列'G—［是以印=2为首项，公差为1的等差数列.？？？an^n?1.(2)???a—=n十1,?b—=4—+(—1)心九2曲，要使b—卅〉b—恒成立，?-b—舟一b—=4—舟一4—+(—1门2—-(-12—>0恒成立，—、d—~一一—-一一—r—八一一???34——3?…(―1)2—>0恒成立，？？？:一1)人c2恒成立.当一为奇数时，即■:::2—二恒成立，当且仅当—=1时，2—4有最小值为1,?■<1.当—为偶数时，即先勺-24恒成立，当且仅当—=2时，-2—」有最大值-2，—-2.即-2:::「：：1，又■为非零整数，则冬=—1.综上所述，存在■--1，使得对任意一N*，都有b—一?b—.20.设订—？是公差不为零的等差数列，S-为其前一项和，满足a22-a32二a42?asAS?=7。(1)求数列订鳥的通项公式及前—项和S—；(2)试求所有的正整数m，使得amamA为数列fa-?中的项.由性质得20.(“设公差为d，贝ya；_a；=a:-af-3d(比+a3)=d(a4+a3)，因为7x6d=0,所以a4aA0,即2ai5d0，又由S7=7得7耳？一6d=7,解得ai=-5,2d=2所以花讣的通项公式为an=ln-l,前灯项和a二孑一6肌⑵方法（一）d=（2m—7）（2m—5）,设2m-3",am电2m-3则gmjm±=（t—4t—2）“卫_6,所以t为8的约数am2tt因为t是奇数，所以t可聪的值为土1,当Um=2时，t+--6=3-25-7=3,是数列也｝中的项?t5*当a=-1,m=l时，f+丁一6n数列仇｝中的最小项是一5,不符合.所以满足条件的正整数即=2.（方法二）因为色也=（卡一4」卡二2）=am2-6旦为数列laj中的项，am2am2am-28故——为整数，又由（1）知：am2为奇数，所以am2=2m-3二1,即m=1,2am+2经检验，符合题意的正整数只有m=2
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