近世代数自考2002下

二OO年下半年广东省高等教育自学考试近世代数试卷(考试时间：150分钟)( 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 号：3764)一、单项选择题(在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。每小题1分，共25分).设A,B是两个集合，则AMB的意义是(C)对于-aA,a'BB.对于aB,a"AC.存在a，A使a汨D.存在aB，使a-'A设R是实数集，R上的运算是普通实数乘法，以下映射(A)是R到R的同态映射。:Xr|x|B.:Xr2xC.:x-xD.;::x+2设R是实数集，定义R到R的映射，「：Xrx2则有结论(D)。A.:是单射B.:是满射C.「是一一映射D.「不是单射，也不是满射设z是整数集，在z上定义运算O,xCy=2x+y-1，满足(D)中的运算规律。A.结合律B.对加法的分配律C.交换律D.消去律设P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q={0,1,2,3},对于nP,n=4q+r，其中r是4除n的余数，定义：(n)=r，则：是P到Q上的映射，P的子集P1={1,2,4,5,6,8}在：下的象是(A)。A.{0,1,2}B.{4,5,8}C.{1,2,4,5,6,8}D.{2,5,8}四次对称群S4的元素(1234)的逆元是(D)。A.(1324)B.(1234)C.(1423)D.(1432)假定群的元a的阶是15,则a6的阶是(A)。A.5B.10C.15D.20&对于4次置换群S4,下列说法正确的是(B)。A.S4只有两个子群B.S4的所有偶置换作成子群C.S4是交换群D.S4是循环群9.模6的剩余类加群G中有(B)个元可以生成G本身。A.1B.2C.3D.410.设G是一个群，a,b,cG,方程xaxba=xbc的解是(A)。Ax=abcabB.x=bcabC.x=a^bcbaD.x=bcba11.设：是环R到环R的同态，贝U(A)。A.:的同态核是R的理想B.的同态核是R中的零兀素C.•的冋态核是R中的零兀素D.的同态核是R中的单位元12.一个有单位元1的没零因子的交换环称作(A)。A.整环B.除环C.域D.整数环13.在下面各情形中，R为一个环，N是R的子环，(B)中的N是R的主理想。14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.R=R（实数环），N=Q（有理数环）2R=F[x],（F为一域）,N={xf（x）|f（x）F[x]}R=Q（有理数环）,N=Z（整数环）R=Z[x],（Z为整数）,N={2ao+a1X+…+anxn|a^Z}设R是整环，则（A）。A.R上的多项式环R[x]一定是整环B.R上的多项式环R[x]不一定是整环C.R上的多项式环R[x]有零因子D.R上的多项式环R[x]一定不是整环设Z12是模12的剩余类环，则（C）中集合是Z12的子环。A.{[2],[4],[6],[8],[10]}C.{[0],[4],[8]}{[3],[6],[9]}D.{[0],[2],[3],[4],[6]}设环R到R有一个环同态满射「，则下面论断（C）是正确的。R与R若都是整环，则特征相等。若R为无限集，则R也为无限集R的元a的负元v的象）为®（a）在R中的负元—9（a）D.若R是域，则R也是域在通常的加法、乘法下，不构成环的集合是A.{3k+1|kZ},Z为整数集C.所有偶整数集(A)。B.复数集CD.{a+bi7|a,bQ},Q为有理数集设R是一个整环，R的特征为p（素数），则有结论（B）A.R的同态像R1的特征也是pB.R的子环的特征也是pC.R的零元的阶数是pD.R的商域的特征是：：设；和p分别是整环I中的单位和素元，则p是I的（B）A.单位B.素元c.有真因子p的元D.有真因子:的元设Z6[x]是模4的剩余类环上的多项式环，则（D）是Z6[x]中的单位。A.xB.[5]x,[1]xC.[5]x+[1]D.[5],[1]在Z5[x]中，（C）中的元素是f（x）=x以+[3]的根。A.[0]B.[1]C.[2]D.[3]设R是一个有单位元的环，则（C）。A.R的每一个元素a对乘法有逆元a，B.R的元素a的对乘法的逆元有无限多个C.R的元素a对乘法如有逆元，必是唯一的D.R的每个元素对乘法都没有逆元设R是实数环，则（A）是多项式环R[x]中的素元。232A.2x+4B.x-7C.x-6D.4x+8x+4令Q为有理数域，问（[Q（i）2:Q（i）]=（B）。C.3D.4A.x+12B.x+x+12C.x—x+1填空题(每小题2分，共20分)26.27.设映射匚为A到B的单射，为B到c的单射，那么.；「是设A={a,b,c},A上的代数运算C由运算表给出A到C的单映射。28.29.30.则(aCb)CC=_a_。设「是A的一个——变换，则;：J[(a)]=设G是群，a,bG，则(ab)」=b'a°。包含n个元的集合的全体置换作成的群叫a_，其中a是A的一个元。n次对称群。31.设有限群G与有限群G同态，它们的元素个数分别为m、n,贝Um、n的大小关系为__n_。32.33.34.35.设R是实数域上的2阶方阵环，则R不满足交换律。OQ(i)。无零因子环R的特征是指非零元对加法的相同的阶设C是复数域，则含于C中且含有i的最小子域是在唯一分解环R中，deR,a1,a2,...,a^R,d称为元a1,a2,...,an的最大公因子，如果(1)d是a1,a2,...,an的公因子；(2)若c是a1,a2an的公因子，则c是d的公因子。三、计算题(一)(9分)设Z8是模8的剩余类加群，求出Z8的所有子群，[3],[2]生成的子群分别是什么?解：Z8的所有子群是：([0])={[0]}；([1])=([3])=([5])=([7])={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]}([2])=([6])={[0],[2],[4],[6]}([4])={[0],[4]}三、计算题(一)(9分)2设Q是有理数域，f(x)=x+x+1，在环Q[x]/(f(x))中计算：22二(2xx-3)(3x-4x1),(x1)。解：(2x2x-3)(3x2-4x1)(x1)=(2x2x-3)(3x2-4x1)--x。=30x3；五、应用题(10分)令R为由全体整数作成的集合，问：R对于运算a^b=a+b-1，aOb=a+b-ab是否作成环？为什么？解：是。R对二作成加群，零元为1,-aR的负元是2-a;R对O作成半群；二与O满足分配律。六、证明题(一)(每小题5分，共10分)设Z是整数集，在Z上定义关系“〜”：-a,bZ,a〜b当且仅当-7|(a-b),证明：“〜”是Z上的等价关系。证：1对-a^Z,■/-7|(a「a)a〜a;对-a,b^Z,a〜b,-7|(a-b),从而-7|(b-a),/•b〜a;对—a,b,c^Z,若a〜b,b〜c,贝U—7|(a—b),—7|(b—c),•••-7|(a-c),即a〜c;由1,2,3可知，“〜”是Z上的等价关系。设G是一个群，u是G中取定的元。在G中规定运算“O',aCb=au'b，其中右边是G中的运算，u，是u在G中的逆元。证明：G在“O下是群。证：1对-a,bG,aO)G;对-a,b,c：=Z,(aCb)Cc=(au'2b)u~2c=au'2(bu~2c)=aObOc)；G对O有单位元u2;4对-a-G,a有逆元u2a」u2。七、证明题(二)(每小题8分，共16分)设Q是有理数域，Q[x]中多项式x2-1,x2+2x+1生成的理想是22(x「1,x+2x+1)=I。证明：I=(x+1)。证：x-1和x+2x+1的最大公因式是x+1o设Z为整数环，Zm是模m的剩余类环。(m)是Z中由m生成的理想。证明：Z/(m)=Zm。证：对一a,b^Z,a—bw(m)：=m|a-b,Z/(m)=Zm。