圆的常用辅助线及作法尝试练习一尝试练习二数学歌诀作法及应用弦心距直径圆周角切线径两圆相切公切线中点圆心线两圆相交公共弦尝试练习圆的常用辅助线及作法常用思想圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。?一、添设圆的辅助线的常用思想?添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。弦与弦心距，亲密紧相连。中点与圆心，连线要领先。两个相交圆，不离公共弦。两个相切圆，常作公切线。圆与圆之间，注意连心线。遇直径想直角，遇切点作半径。?圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”二、常用辅助线作法的应用?在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。?2.1、弦心距----有弦，可作弦心距。例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD。由垂径定理得：AE=EB，CE=DE证明：过O作OE⊥AB，垂足为E。E即：AC=BD∴AE-CE=BE-DE在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。2.2、直径圆周角----有直径，可作直径上的圆周角.例2、已知：MN切⊙O于A点，PC是直径，PB⊥MN于B点，求证：分析：证明：连结AC、AP∵PC是⊙O的直径∴∠CAP=90°∵PB⊥MN∴∠PBA=90°∴∠CAP=∠PBA∵MN是⊙0的切线∴∠BAP=∠ACP在解决有关切线问题时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。2.3、切线径----有切点，可作过切点的半径。例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点，∠A=50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC的度数。∴∠BOC=360°-∠A-∠ABO-∠ACO=360°-50°-90°-90°=130°解：连结OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线∴AB⊥OB，AC⊥OC，在四边形ABOC中，∠A=50°∴∠BPC==65°∴∠ABO=∠ACO=90°在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。2.4、两圆相交公共弦----两圆相交，可作公共弦。例4、如图，已知：⊙O和⊙O相交于A、B两点，过A点的直线CD分别交⊙O和⊙O于C、D；过B点的直线EF分别交⊙O和⊙O于E、F。求证：CE∥DF。∴CE∥DF12221121证明：连结AB四边形ACEB是⊙O的内接四边形∴∠DAB=∠E四边形ABFD是⊙O的内接四边形∴∠DAB+∠F=180°∴∠E+∠F=180°在解决两圆相切的问题时，常作两圆的公切线。若两圆外切，常作内公切线；若两圆内切，常作外公切线。通过公切线构造弦切角，利用弦切角便把两圆的圆周角联系起来。2.5、两圆相切公切线---两圆相切，可作公切线.例5、如图，已知两圆外切于T点。过T的直线AB、CD分别交⊙O和⊙O于A、C和B、D。求证：AC∥BD。MN证明：过T点作两圆的内公切线MN1212在⊙O中，∠A=∠CTN在⊙O中，∠B=∠DTM又∵∠CTN=∠DTM∴∠A=∠B∴AC∥BD在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结论。2.6、中点圆心线---有中点和圆心，可连结中点与圆心。例6、如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，并且∠AMN=∠CNM。求证：AB=CD。即：AB=CD证明：连结OM、ON∵M、N分别是AB、CD的中点∴OM⊥AB，ON⊥CD∴∠AMO=∠CNO=90°又∵∠AMN=∠CNM∴∠OMN=∠ONM∴OM=ON三、尝试练习一1、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A、B和C、D点。求证：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。∵PO平分∠BPA，∴OM=ON∴AB=CD。（1）、证明：过O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足为M、N。MN三、尝试练习一1、如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A、B和C、D点。求证：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。（2）、∵AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD∴AM=MB=CN=ND又∵OM=ON，∴RtΔPMO≌RtΔPNO∴PM=PN∴PM+MB=PN+ND即：PB=PD2、如图，以RtΔABC的直角边AC为直径作⊙O交斜边AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD，切点为D。求证：AC是⊙O的直径，∴∠APC=90°∵∠ACB=90°，∴ΔAPC∽ΔACB又∵AD是大⊙的切线证明：连结CP，3、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB垂足为O，P是OB上任意一点，AP交⊙O于Q，过Q点的切线交OB的延长线于C。求证：CP=CQ。∵QC是⊙O的切线，∴∠OQC=90°∵OA=OQ，∴∠OAQ=∠OQA又OA⊥OB，∴∠APO=90°-∠OAP∠CQP=∠90°-∠OQA∠APO=∠CQP∴∠CQP=∠CPQ，∴CP=CQ。证明：连结OQ四、尝试练习二1、如图，两圆相交于A、B两点。过一个圆上的点P作射线PA和PB，分别交于另外一个圆于点C和点D，再作切线PT。求证：PT∥CD。PT是小⊙的切线，∠TPA=∠ABPABDC是大⊙的内接四边形，∠ABP=∠C∴∠TPA=∠C即：PT∥CD。证明：连结AB2、如图，已知：⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点。求证：AB⊥AC。由切线长定理得：BP=PA，PA=PC∴PA=BP=PC=证明：过点A作两圆的公切线交BC于点P，∴AB⊥AC3、已知、AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，E是AC的中点。求证：ED是⊙O的切线。OE是ΔABC的的中位线∴OE∥BC∠AOE=∠B，∠EOD=∠ODB∵OB=OD，∴∠B=∠ODB∴∠AOE=∠EOD又AC是⊙O的切线，∠OAE=90°∵OD=OA∠AOE=∠EODOE=OE∴ΔEAO≌ΔEDO∴∠EDO=∠EAO=90°即：ED是⊙O的切线。证明：连结OD，OE谢谢！xiexie!谢谢！
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