4.下列方程中，既是齐次方程又是线性方程的是（）.PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#常微分方程试题一单项选择题（每小题2分，共40分）1.下列四个微分方程中，为三阶方程的有（）个.34+■□3+/=0〔空］⑴3」3；⑵3丿十“哼十…ay1B.2C.3D.42.为确定一个一般的n阶微分方程F5”警dx=0的一个特解,通常应给出的初始条件是（）.A.当x=xo时,当C.当x=xo时,D.当3•微分方程“丸册-◎-1的一个解是（）.11/=—/=--A」二7B.】…C.■-D.•'变pFA.D.dxx空丿+1空/百xB.dxHxC.Ix丿5.若方程（*+声）必7〔耳円"0是恰当方程，则/«=（）.3"A.张B.2xC.2D.6.若方程有只与y有关的积分因子巴则可取鸟为（）.1駆卸］,，-——-——ay?A.B.试㊈族丿J7.可用变换（）将伯努利方程《：化为线性方程.[r1fdM、[r1|fdMesp*C.JM文丿dy\D.「J万dxJA.8.A.MTb.xo）=V（o）=o-1-2-3-4^三戸B.N=丿c.z=yD.2"丁'是满足方程•1■'和初始条件（）的唯一解.C.9.讥0）=i,y（o）=o,y（o）=oD.xo）=i=o,y11rn=o空+叭⑴出^+…+%（W设-m是n阶齐线性方程^的解,其中：■九"是某区间中的连续函数.如下叙述中，正确的是（）.a.若m…山的伏朗斯基行列式为零,则Uv「二线性无关b.若…宀的伏朗斯基行列式不为零,则u线性相关若儿宀「…「耳的伏朗斯基行列式不为零,则戸必线性无关由儿d…必的伏朗斯基行列式是否为零,不能确定儿宀「…吧10.设线性无关的函数心十頁对心十空二•和■<'■■-是方程-…的线性相关性0的解,则方程d3y莎—4恵（丈）2*+=1心必必的通解是（）Gfi—G”（x）+h+g（gg是任意常数,G”（力十G乃O）+Gx+icCjm）+（力+qdCm\疋）+6”（x）斗G工ii.三阶系数齐线性方程=°的特征根是（）.1±?祈］士朽A.0,1,1B.0,1,-1C.1,-D.1,二12.方程■''■1的基本解组是（）.A尽J*cm兀Jin応bsinaA尽J*cm兀Jin応bsinaPAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#专3s~iyr^v3*-Ci7xscos^;J-?sinxdx7xscos^jresmzt*）713.方程y~y=1的待定特解可取如下（）的形式:A.5H+Gb.=c.GX+%+Gd■214.已知是某一三阶齐线性方程的解,贝则.—J和的伏朗斯基行列式■■■':'■（）.A.3B.2C.1D.015.可将三阶方程「L」"—「'—化为二阶方程的变换为（）.1yz=—^=—Xr7（o）=o仏）工0的解为（）.A.-・B.--C.16.方程组dxdt=~}.dtD.满足初始条件COSZcos/A.d.17.n阶函数方阵九-一在-上连续,方程组L二=A（£）干有基解矩阵D.存在非奇异的常数矩阵C,使得'-''5、PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#如下叙述中，正确的是（）.A.：的每个列向量是该方程组的解向量且-■在某一点I为零B•①©的每个行向量是该方程组的解向量且赋理*0理）的每个列向量是该方程组的解向量且业銅）恒不为零D•①©的每个行向量是该方程组的解向量且比迤©恒不为零18.设A是n阶常数方阵,几是A的一个特征值,则方程组JAz有解为A.矩阵A的对应于兄的特征向量B.任意向量C.矩阵A任意一个行向量D.矩阵A的任意一个列向量n阶函数方阵在a^上连续,方程组山匕'…有两个基解矩阵如下叙述中，正确的是（）.A.存在非奇异的常数矩阵C,使得B.存在非奇异的常数矩阵C,使得C.存在非奇异的常数矩阵C,使得=ms—-AfiJjr+设1'，和：都是由方程组二'的n个解向量所组成的方阵，其%，是在'二「上连续的函数方阵,丿"）是连续的列向量,则如下断言中正确的为（）.A.■-<丄J必是方程组上巴"（切的基解矩阵B.“、es—=A（f）jr+/（f）■-1：丄J仍是方程组上'的解矩阵C.dK_冷-jJ是方程组J..的解矩阵D.皿也是方程组上dx「、、“、"少5）的解矩阵.尤一尸化为变量分离方程的变换，并将变换后的方程进行变简答题（每小题3分,共15分）=E//r写出把方程工’护兰斗斗4兀空+=0试写出二阶欧拉方程」•；'的一个基本解组—3^aF/（O）=0写出初值问题「的第二次近似解._n2—=2=0存在函数卩和-■'都是初值问题的解.试用解的唯定理解释这个初值问题的解存在但不唯一的原因25.已知三阶方阵為的特征值为1,1,2,对应的特征向量分别为◎(n110试写方程组虫的
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基解矩阵（既当t=0时为单位矩阵的基解矩阵产^三计算题（一）（每小题5分，共15分）26.27.解方程「•厂■一y=4-lcv1）328.求解方程’一丁，其中四计算题（二）（每小题6分，共18分）29.解方程30.求方程组31.求解方程Ax曲的一个基解矩阵，其中己一4*'-F4^=&-8122)PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#五应用题（6分）求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点（1,0）的连线相互垂直.六证明题（6分）设成讪⑶都是区间（-吟畑）上的连续函数,且卩（小机或是二阶线性方程*+恥）沙的一个基本解组.试证明：（i）诃（兀）和都只能有简单零点（即函数值与导函数值不能在一点同时为零）；（ii）少（竹和胃〔应没有共同的零点；（iii）0〔工）和怦丫对没有共同的零点.一.求解下列常微分方程：（每小题10分，共50分）⑴（AT才）必+心矽三0.dy1=⑵煮二.(5)■.'.二.（15分）求二阶常系数微分方程的通解尹"一2;/+^/二4+匚0貳2.A=三.（15分）设r^)=%)宀,卫丿.（i）求齐线性方程组y=Ax的基解矩阵中.「；（2）求非齐线性方程组「H「一满足初始条件的■r<:（|的解屮二.四.（10分）设有方程「一」，其中，，在丿「中连续且b>a>0.（1）试写出此方程的通解诃（力的表达式.lim/（a）=clim⑵设+八丿，证明十叽丿存在并求出极限值.五.（10分）设氏（0是连续的吃阶方阵,又①©和圧©分别是方程组xf=A（t）x和號、7斷\的解矩阵，证明弘2（。畑*（0・尢2（0妙
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