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高考导数(洛必达法则)

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高考导数(洛必达法则)
学习必备欢迎下载第二部分:泰勒展开式1.ex1xx2x3xnxn1ex,其中(01);1!2!3!n!(n1)!2.ln(1x)xx2x3(1)n1xnRn,其中Rn(1)nxn1(1)n1;2!3!n!(n1)!1x3.sinxxx3x5(1)k1x2k1Rn,其中Rn(1)kx2k1cosx;3!5!(2k1)!(2k1)!4.cosx1x2x4(1)k1x2k2Rn其中Rn(1)kx2kcosx;2!4!(2k2)!(2k)!第三部分:新课标高考命题趋势及方法许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题,其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法,一部分题用这种方法很凑效,另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决,高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解,但这种方法往往讨论多样、过于繁杂,学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了0”型的式子,而这就是大学数学中的不定式问题,解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.0第四部分:洛必达法则及其解法洛必达法则:设函数f(x)、g(x)满足:(1)limf(x)limg(x)0;(2)在U(a)内,f(x)和g(x)都存在,且g(x)0;xaxa(3)limf(x)(A可为实数,也可以是).则limf(x)f(x)A.Ag(x)limxag(x)xaxag(x)(2011新)例:已知函数f(x)alnxb,曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30.x1xlnxk,求k的取值范围.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当x0,且x1时,f(x)x1x(Ⅰ)略解得a1,b1.(Ⅱ)方法一:分类讨论、假设反证法由(Ⅰ)知f(x)lnx1,所以f(x)(lnxk)112(2lnx(k1)(x21)).x1xx1xxx考虑函数h(x)2lnx(k1)(x21)0),则h'(x)(k1)(x21)2xx(xx2.(i)当k0时,由h'(x)k(x21)(x1)21时,h'(x)0.因为h(1)0,x2知,当x所以当x(0,1)时,h(x)0,可得1h(x)0;当x(1,)时,h(x)0,可得1x2学习必备欢迎下载12h(x)0,从而当x0且x1时,f(x)(lnxk)0,即f(x)lnxk;1x1x1xx1x1(ii)当0k1时,由于当x(1,)时,(k1)(x21)2x0,故h(')x0,而h1)(0,故当x(1,)11k1k时,h(x)0,可得,与题设矛盾.1x2h(x)01(iii)当k1时,h'(x)0,而h(1)0,故当x(1,)时,h(x)0,可得2h(x)0,与题设矛盾.1x综上可得,k的取值范围为(,0].注:分三种情况讨论:①k0;②0k1k1不易想到.尤其是②0k1时,许多考生都停留在此;③层面,举反例x(1,1)更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同,这是高中阶段公认的难点,即1k便通过训练也很难提升.当x0,且x1时,f(x)lnxk,即lnx1lnxk,x1xx1xx1xxlnx1xlnx2xlnx1,记g(x)2xlnxx0,且x1也即kx1xx11x21x21,则g'(x)2(x21)lnx2(1x2)2(x21)(lnx1x2(12)2=(12)2x2),xx1记h(x)lnx1x21+4x2=(1x2)20,,则h'(x)x2)x(1+x2)2x21(1+x从而h(x)在(0,)上单调递增,且h(1)0,因此当x(0,1)时,h(x)0,当x(1,)时,h(x)0;当x(0,1)时,g'(x)0,当x(1,)时,g'(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增.由洛必达法则有limg(x)lim(2xlnx1)1lim2xlnx1lim2lnx20,x1x11x2x11x2x12x即当x1时,g(x)0,即当x0,且x1时,g(x)0.因为kg(x)恒成立,所以k0.综上所述,当x0,且x1时,f(x)lnxk成立,k的取值范围为(0],.x1x2xlnx注:本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函数g(x)1求1x2导,研究其单调性、极值.此时遇到了“当x=1时,函数g(x)值没有意义”这一问题,很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用,再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.例(2010新):设函数f(x)ex1xax2.(Ⅰ)若a0,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x0时,f(x)0,求a的取值范围.学习必备欢迎下载应用洛必达法则和导数(Ⅱ)当x0时,f(x)0,即ex1xax2.①当x0时,aR;②当x0时,ex1xax2等价于aex1x.x2记g(x)ex1xx(0,+),则g'(x)(x2)exx2.x2x3记h(x)(x2)exx2x(0,+),则h'(x)(x1)ex1,当x(0,+)时,h''(x)xex0,所以h'(x)(x1)ex1在(0,+)上单调递增,且h'(x)h'(0)0,所以h(x)(x2)exx2在(0,+)上单调递增,且h(x)h(0)0,因此当x(0,+)时,g'(x)h(x)0,从而g(x)ex1x)上单调递增.x3x2在(0,+由洛必达法则有,limg(x)limex1xlimex1limex1x0x0x2x02xx022即当x0时,g(x)1,所以当x(0,+)时,所以g(x)112,因此a.22综上所述,当a1且x0时,f(x)0成立.2自编:若不等式sinxxax3对于x(0,)恒成立,求a的取值范围.2解:应用洛必达法则和导数当x(0,xsinxxsinx,则f3sinxxcosx2x)时,原不等式等价于ax3.记f(x)x3'(x)4.2x记g(x)3sinxxcosx2x,则g'(x)2cosxxsinx2.因为g''(x)xcosxsinxcosx(xtanx),g'''(x)xsinx0,所以g''(x)在(0,)上单调递减,且g''(x)0,2所以g'(x)在(0,)上单调递减,且g'(x)0.因此g(x)在(0,)上单调递减,22且g(x)0,故f'(x)g(x)0,因此f(x)xsinx在(0,)上单调递减.x4x32由洛必达法则有limf(x)limxsinxlim1cosxlimsinxlimcosx1,x0x0x3x03x2x06xx066学习必备欢迎下载即当x0时,g(x)1,即有f(x)1.故a1时,不等式sinxxax3对于x(0,)恒成立.6662通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:(1)可以分离变量;②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;③出现“0”型式子.02010海南宁夏文(21)已知函数f(x)x(ex1)ax2.(Ⅰ)若f(x)在x1时有极值,求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)当x0时,f(x)0,求a的取值范围.解:(Ⅱ)应用洛必达法则和导数x0时,f(x)0,即x(ex1)ax2.①当x0时,aR;②当x0时,x(ex1)ax2等价于ex1ax,也即aex1.记g(x)exx1,x(0,),则g'(x)(x1)ex1.xx记h(x)(x1)ex1,x(0,),则h'(x)xex0,因此h(x)(x1)ex1在(0,)上单调递增,且h(x)h(0)0,所以g'(x)h(x)0,从而g(x)ex1(0,)上单调递增.xx在由洛必达法则有limg(x)limex1limex1,即当x0时,g(x)1所以g(x)1,即有a1.x0x0xx01综上所述,当a1,x0时,f(x)0成立.2010全国大纲理(22)设函数f(x)1ex.(Ⅰ)证明:当x1时,()x;(Ⅱ)设当x0时,()x,求a的取值范围.fxfxx1ax1解:(Ⅰ)略(Ⅱ)应用洛必达法则和导数由题设x0,此时f(x)0.①当a0时,若x1x0,f(x)x不成立;,则ax1axxax1②当a0时,当x0时,f(x),即1ex;若x0,则aR;ax1ax1若x0,则1exx等价于1ex1,即axexex1.ax1xax1xexx记g(x)xexex1,则g'(x)e2xx2ex2ex1=ex(exx22ex).xexx(xexx)2(xexx)2记h(x)exx22ex,则h'(x)ex2xex,h''(x)ex+ex20.因此,h'(x)ex2xex在(0,)上单调递增,且h'(0)0,所以h'(x)0,学习必备欢迎下载即h(x)在(0,)上单调递增,且h(0)0,所以h(x)0.因此g'(x)=ex2h(x)0,所以g(x)在(0,)上单调递增.xx)(xe由洛必达法则有limg(x)limxexexx1limxex1limexxex1,即当x0时,x0x0xexx0exxexx02exxex2g(x)1,即有g(x)1,所以a1.综上所述,a的取值范围是(,1].22sinx22(2008)例:设函数f(x).2cosx(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.解:(Ⅰ)f(x)(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1.(2cosx)2(2cosx)2当2kπ2πx2kπ2πZ)时,cosx10;33(k,即f(x)2当2kπ2πx2kπ4πZ)时,cosx10.因此f(x)在每一个区间33(k,即f(x)22kπ2π2π(kZ)是增函数,f(x)在每一个区间2kπ2π4π(kZ)是减函数.,,32kπ32kπ33f(x)sinxsinxax2ax若x0,则aR;若x0,则2(Ⅱ)应用洛必达法则和导数cosxcosx等价于asinxg(x)sinx2xcosx2sinxsinxcosxxcosx),即g'(x)x2(2cosx)2x(2x(2cosx)则.记h(x)2xcosx2sinxsinxcosxx,h'(x)2cosx2xsinx2cosxcos2x12xsinxcos2x12sin2x2xsinx2sinx(sinxx)因此,当x(0,)时,h'(x)0,h(x)在(0,)上单调递减,且h(0)0,故g'(x)0,所以g(x)在(0,)上limg(x)limsinxlimcosx13.另一方面,当x)时,单调递减,而x0x0x(2cosx)x02+cosxxsinx[,g(x)sinx111a1x(2cosx)x3,因此3.
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