第二讲集合的概念（2012-7-9）例1设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：（1）A的元素个数不小于3；（2）若aA，则a的所有因数都属于A；（3）若aA，bA，1ab，则1abA．请解答下面的问题：1）证明：1,2,3,4,5都是集合A的元素；2）问：2005,2012是否是集合A的元素．例2设T是由60100得所有正因数组成的我集合，S是T的一个子集，其中没有一个数是另一个数的倍数，求Card(S)的最大值（Card(S)
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示有限集合M所含元素的个数）．例3对于集合M，定义函数1,xM,M，N，定义集合fM(x)对于两个集合1,xM.MN{xfM(x)fN(x)1}.已知A{2,4,6,8,10}，B{1,2,4,8,16}.（Ⅰ）写出fA(1)和fB(1)的值，并用列举法写出集合AB；（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求Card(XA)Card(XB)的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P,QAB，且(PA)(QB)AB？例4若集合A具有以下性质：①0A，1A；②若x,yA，则xyA，且x0时，1A.则称集合A是“好集”.x（Ⅰ）分别判断集合B{1,0,1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x,yA，则xyA；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题p：若x,yA，则必有xyA；命题q：若x,yA，且x0，则必有yA；x3MfM(x)1,xM,MN1,xM.MN{xfM(x)fN(x)1}.A{2,4,6,8,10}B{1,2,4,8,16}.fA(1)fB(1)ABCard(M)MCard(XA)Card(XB)PQP,QAB(PA)(QB)ABfA(1)=1fB(1)=-1AB{1,6,10,16}.3C,XaCaXCard(C(X{a})Card(CX)1aCaXCard(C(X{a})Card(CX)1.Card(XA)Card(XB)248X161016XCard(XA)Card(XB)XAB.X{1,6,10,16}{2,4,8}Card(XA)Card(XB)4.8AB{xfA(x)fB(x)1}ABBA.fAB(x)fA(x)fB(x).xf(AB)C(x)fAB(x)fC(x)fA(x)fB(x)fC(x)fA(BC)(x)fA(x)fBC(x)fA(x)fB(x)fC(x).f(AB)C(x)fA(BC)(x).(AB)CA(BC).(PA)(QB)AB(PQ)(AB)AB.(PQ)(AB)(AB)(AB)(AB).PQ.PQPQ.P,QABPQ27128.14（20）（本小题满分14分）若集合A具有以下性质：①0A，1A；②若x,yA，则xyA，且x0时，1A.则称集合A是“好集”.x（Ⅰ）分别判断集合B{1,0,1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x,yA，则xyA；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题p：若x,yA，则必有xyA；命题q：若x,yA，且x0，则必有yA；x作业：1A1,3,x，B1,x2，且AB1,3,x，求x的值．．已知2．已知X是方程x2pxq0的实数解集，A1,3,5,7,9,B1,4,7,10，且XA,XBX，求p,q的值．3．已知集合A(x,y)yax2，B(x,y)yx1，且AB是一个单元素集，求实数a的取值范围．4．在集合1,2,,50的子集S中，任意两个元素的平方和不是7的倍数，求Card(S)的最大值．5．M是正整数集的子集，满足：1M,2006M,2007M，并且有如下性质：若a2b2a,bM，则M，求M有多少非空子集？26．设S，S，S，是三个由整数组成的非空集，已知对于1,2,3的任意的一个排列i,j,k，123,如果xij，则xySk，证明：SS2，S中必有两个集合相等．S,yS1，37．已知集合A(x,y)axy1，B(x,y)xay1，C(x,y)x2y21，则（1）当a去何值时，(AB)C是一个2元素集；（2）当a去何值时，(AB)C是一个3元素集．8．设集合Aa1,a2,a3,a4,a5，Ba12,a22,a32,a42,a52，其中ai(1i5)都是正整数，且a1a2a3a4a5，a1a410，并且满足ABa1,a4，AB中所有数之和为224，求集合A．9．考虑集合1,2,,2000满足下述条件的子集A，A中没有一个数是另一个数的5倍，求Card(A)的最大值．10．已知一族集合A1,A2,,An具有性质：（1）每个Ai含有30个元素；（2）对每一对i,j：1ijn，AiAj都是单元素集；（3）A1A2An．求使这样的集合族存在的最大的正整数n．11．已知A1,2,2000，且A中任意两个数之差的绝对值不等于4或7，求Card(A)的最大值．测试题1．已知集合Axxa21,aN*，Byyb26b10,bN*，确定集合A和B之间的关系．2．已知I(x,y)x,yR，A(x,y)y3x2，B(x,y)y43，求ABx2及CIAB．3．已知集合Sx1x10,xN*，对它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k，都乘以(1)k在求和（例如，A2,3,8，则可求得和为(1)22(1)33(1)887）．对S的所有非空子集，求这些和的总和．4．设Mnnx2y2,x,yN*，求证：2006M，并求M中，从小到大的第2006个正整数的大小．5．设Mnnx2y2,x,yN*，求证：1999M，并且对任意正整数k，均有1999kM．6．设A1,A2,,Ak是集合X1,2,,10的不同子集，它们两辆的交集都不是空集，而X的其他子集不能与A1,A2,,Ak中每一个的交集都是非空集合，求k的值．
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