高考数学导数题型归纳 文科

2、不等式恒成立常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（已知谁的范围就把谁作为主元）；（请同学们参看2010省统测2）例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x)，f(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)0恒成立，则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f(x)x4mx33x21262若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；1若对满足m2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值.例2：设函数f(x)x32ax23a2xb(0a1,bR)3（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的x[a1,a2],不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围.（二次函数区间最值的例子）第三种：构造函数求最值题型特征：f(x)g(x)恒成立h(x)f(x)g(x)0恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数f(x)x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3，（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）当x[1,4]时，求f(x)的值域；（Ⅲ）当x[1,4]时，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围。二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f'(x)0或f'(x)0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知aR，函数f(x)1x3a1x2(4a1)x．122（Ⅰ）如果函数g(x)f(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数f(x)是(,)上的单调函数，求a的取值范围．11例5、已知函数f(x)x3(2a)x2(1a)x(a0).32求f(x)的单调区间；若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；1例6、已知函数f(x)x3(k1)x2，g(x)kx，且f(x)在区间(2,)上为增1323函数．求实数k的取值范围；1若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数f(x)ax3x22xc2若x1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点，求f(x)的极值；1若g(x)bx2xd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的2图像与函数f(x)的图像恒有含x1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。题2：切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值－4，使其导数f'(x)0的x的取值范围为(1,3)，求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围．题3：已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、a1例9、已知函数f(x)x3x2，(aR,a0)（1）求f(x)的单调区间；（2）令g(x)32＝1x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．4其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数f(x)ax32ax2b（a0）在区间2,1上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若t[1,1]时，f(x）tx0恒成立，求实数x的取值范围.2、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数f(x)x3ax2bxc23(Ⅰ)若函数f(x)在x1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3xy0平行,求f(x)的解析式；(Ⅱ)当f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值时,设点M(b2,a1)所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.解：(Ⅰ).由f(x)2x22axb,函数f(x)在x1时有极值,∴2ab20∵f(0)1∴c1又∵f(x)在(0,1)处的切线与直线3xy0平行,∴f(0)b3故a12∴21f(x)x3x23x1…………………….7分32(Ⅱ)解法一:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,f(0)0b0∴f(1)0即2ab20令M(x,y),则f(2)04ab80xb2ya1x20ay12yx20∴∴故点M所在平面区域S为如图△ABC,bx24yx60易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,3),2S2ABC同时DE为△ABC的中位线,S1SDEC∴所求一条直线L的方程为:x03四边形ABED另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直∴SSS1361121即四边形DEGF16k22k50OGEOFD224k122k1解得:k12或k58(舍去)故这时直线方程为:y1x2综上,所求直线方程为:x0或y1x.…………….………….12分2(Ⅱ)解法二:由f(x)2x22axb及f(x)在x(0,1)取得极大值且在x(1,2)取得极小值,f(0)0b0∴f(1)0即2ab20令M(x,y),则xb2线L方程为ykx,它与AC,BC分别交于F、G,则k0,S四边形DEGF1由ykx得点F的横坐标为:22k1由2yx20ykxxF4yx60得点G的横坐标为:xG64k1f(2)04ab80ya1易得A(2,0),B(2,1),C(2,2),D(0,1),E(0,3),2S2ABC同时DE为△ABC的中位线,S1S∴所求一条直线L的方程为:DEC3四边形ABEDx0另一种情况由于直线BO方程为:y1x,设直线BO与AC交于H,SSS1211211ABHABOAOH22222由y1x2yx202得直线L与AC交点为:H(1,)21∵SABC2,SDEC1121,222（Ⅰ）求c、d的值；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；（Ⅲ）若x05,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。∴所求直线方程为:x0或y1x23、（根的个数问题）已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。解：由题知：f(x)3ax22bx+c-3a-2b（Ⅰ）由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且f1=0得d3d30c3a2bc3a2b0（Ⅱ）依题意f2=–3且f(2)=512a4b3a2b3解得a=1,b=–68a4b6a4b35所以f(x)=x3–6x2+9x+3（Ⅲ）依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞0)fx=3ax2+2bx–3a–2b由f5=0b=–9a①若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)＜8a＜f(1)②由①②得–25a+3＜8a＜7a+31＜a＜311所以当分1＜a＜3时，方程f(x)=8a有三个不同的根。…12114、（根的个数问题）已知函数f(x)x3ax2x1(aR)13若函数f(x)在xx1,xx2处取得极值，且x1x2，求a的值及f(x)的2单调区间；若a，讨论曲线f(x)与g(x)x2(2a1)x(2x1)的交点个数．115226解：（1）f'(x)x22ax1a0………………………………………………………………………2分令f(x)0得x1,或x1令f(x)0得1x1∴f(x)的单调递增区间为(,1)，(1,)，单调递减区间为(1,1)…………5分1（2）由题f(x)g(x)得x3ax2x11x2(2a1)x5326111即x3(a)x22ax0326111令(x)x3(a)x22ax(2x1)……………………6分326令(x)0得x2a或x1……………………………………………7分当2a2即a1时此时，8a90，a0，2－有一个交点；…………………………9分当2a2即1a1时，＋—21Q2a2(32a)0,36∴当8a90即1a9时,有一个交点；216当8a90，且a0即9a0时，有两个交点；216当0a1时，8a9220，有一个交点．………………………13分综上可知，当a9或0a1时，有一个交点；当916162a0时，有两个交点．…………………………………14分5、（简单切线问题）已知函数f(x)210，函数g(x)f(x)3bx3．5a2x3图象上斜率为3的两条切线间的距离为a2（Ⅰ）若函数g(x)在x1处有极值，求g(x)的解析式；（Ⅱ）若函数g(x)在区间[1,1]上为增函数，且b2mb4g(x)在区间[1,1]上都成立，求实数m的取值范围．