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(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数； 如果 ，则 为减函数. ​ 如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数. ​ 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，偶函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0; ​ 若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶函数，则 . ​ 对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称. ​ 若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 ,则函数 为周期为 的周期函数. ​ 多项式函数 的奇偶性 多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. ​ 函数 的图象的对称性 (1)函数 的图象关于直线 对称 . (2)函数 的图象关于直线 对称 . ​ 两个函数图象的对称性 (1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称. (2)函数 与函数 的图象关于直线 对称. (3)函数 和 的图象关于直线y=x对称. ​ 若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象. ​ 互为反函数的两个函数的关系： . ​ 若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 ,而函数 是 的反函数. ​ 几个常见的函数方程 (1)正比例函数 , . (2)指数函数 , . (3)对数函数 , . (4)幂函数 , . (5)余弦函数 ,正弦函数 ， ， . ​ 几个函数方程的周期(约定a>0) （1） ，则 的周期T=a； （2） ，或 , 则 的周期T=2a； (3) ，则 的周期T=3a； (4) 且 ， 则 的周期T=4a； (5) ,则 的周期T=5a； (6) ，则 的周期T=6a. 二次函数 ​ 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . ​ 一元二次方程的实根分布 若 ，则方程 在区间 内至少有一个实根 . 设 ，则 （1）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 ； （2）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 或 或 ； （3）方程 在区间 内有根的充要条件为 或 . ​ 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 的子区间 （形如 ， ， 不同）上含参数的 二次不等式 ( 为参数)恒成立的充要条件是 . (2)在给定区间 的子区间上含参数的二次不等式 ( 为参数)恒成立的 充要条件是 . (3) 恒成立的充要条件是 或 . ​ 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ， ①若 ,则 ; ②若 ,则 ; ③若 ，它在实数集 内没有实数根； 在复数集 内有且仅有两个共轭复数根 ​ 根式的性质 （1） .（2）当 为奇数时， ；当 为偶数时， . ​ 有理指数幂的运算性质 (1) . (2) . (3) . 注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．对于无理数指数幂都适用. ​ 指数式与对数式的互化式 . ​ 对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ). 推论 ( ,且 , ,且 , , ). ​ 对数的四则运算法则 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) ;(2) ; (3) . 集合与简易逻辑 ​ 元素与集合的关系： , . ​ 德摩根公式： . ​ 包含关系： ​ 容斥原理 . ​ 集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1个；非空子集有 –1个；非空的真子集有 –2个. ​ 常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 个 至多有（ ）个 小于 不小于 至多有 个 至少有（ ）个 对所有 ， 成立 存在某 ， 不成立 或 且 对任何 ， 不成立 存在某 ， 成立 且 或 ​ 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 . 数列 ​ 若 ​  ​  ​ 数列的通项公式与前n项的和的关系 ( 数列 的前n项的和为 ). ​ 等差数列的通项公式 ； 其前n项和公式为 . ​ 等比数列的通项公式 ； 其前n项的和公式为 或 . ​ 等比差数列 : 的通项公式为 ； 其前n项和公式为 . ​ 常用求和公式 ① ② ③ ④ 三角函数 ​ 常见三角不等式 （1）若 ，则 . (2) 若 ，则 . (3) . ​ 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ， . ​ 和角与差角公式 ; ; . = (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ). ​ 半角正余切公式： ​ 二倍角公式 . . . ​ 三角函数的周期公式 函数 ，x∈R及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 ；函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 . ​ 正弦定理  . ​ 余弦定理 ; ; . ​ 面积定理 （1） （ 分别表示a、b、c边上的高）. （2） . （3） . ​ 三角形内角和定理 在△ABC中，有 . ​ 在三角形中有下列恒等式： ​ 角的变形： 向量 ​ 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. ​ 向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. ​ 平面向量基本定理  如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对 实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ​ 向量平行的坐标表示   设a= ,b= ，且b 0，则a平行b(b 0) . ​ a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cosθ． ​ a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． ​ 平面向量的坐标运算 (1)设a= ,b= ，则a+b= . (2)设a= ,b= ，则a-b= . (3)设A ，B ,则 . (4)设a= ，则 a= . (5)设a= ,b= ，则a·b= . ​ 两向量的夹角公式 (a= ,b= ). ​ 平面两点间的距离公式 = (A ，B ). ​ 向量的平行与垂直 设a= ,b= ，且b 0，则a||b b=λa . a b(a 0) a·b=0 . ​ 线段的定比分公式   设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则 （ ）. ​ 三角形的重心坐标公式 △​ ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 , 则△ABC的重心的坐标是 . ​ 点的平移公式 . 注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形 上的对应点为 ，且 的坐标为 . ​ “按向量平移”的几个结论 （1）点 按向量a= 平移后得到点 . (2) 函数 的图象 按向量a= 平移后得到图象 , 则 的函数解析式为 . (3) 图象 按向量a= 平移后得到图象 ,若 的解析式 , 则 的函数解析式为 . (4) 曲线 : 按向量a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 . (5) 向量m= 按向量a= 平移后得到的向量仍然为m= . ​ 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则 （1） 为 的外心 . （2） 为 的重心 . （3） 为 的垂心 . （4） 为 的内心 . （5） 为 的 的旁心 . 不等式 ​ 常用不等式： （1） (当且仅当a＝b时取“=”号)． （2） (当且仅当a＝b时取“=”号)． （3） （4）柯西不等式 （5） . ​ 极值定理 已知 都是正数，则有 （1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ； （2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 . 推广 已知 ，则有 （1）若积 是定值,则当 最大时, 最大；当 最小时, 最小. （2）若和 是定值,则当 最大时, 最小；当 最小时, 最大. ​ 一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. ； . ​ 含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 . 或 . 75.无理不等式 （1） .（2） . （3） . ​ 指数不等式与对数不等式 (1)当 时, ; . (2)当 时, ; 解析几何 ​ 斜率公式 ① （ 、 ）.② k=tanα(α为直线倾斜角） ​ 直线的五种方程 （1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )． （2）斜截式 (b为直线 在y轴上的截距). （3）两点式 ( )( 、 ( )). (4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， ) （5）一般式 (其中A、B不同时为0). ​ 两条直线的平行和垂直 (1)若 ， ① ; ② . (2)若 , ,且A1、A2、B1、B2都不为零, ① ； ②两直线垂直的充要条件是 ；即： ​ 夹角公式 (1) .( ， , ) (2) .( , , ). 直线 时，直线l1与l2的夹角是 . ​  到 的角公式 (1) .( ， , ) (2) .( , , ). 直线 时，直线l1到l2的角是 . ​ 四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 的直线系方程为 (除直线 ),其中 是待定的系数; 经过定点 的直线系方程为 ,其中 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为 (除 )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线 中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线 平行的直线系方程是 ( )，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量． ​ 点到直线的距离 (点 ,直线 ： ). 圆 ​ 圆的四种方程 （1）圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程 . （2）圆的一般方程 ( ＞0). （3）圆的参数方程 . （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ). ​ 圆系方程 (1)过点 , 的圆系方程是 , 其中 是直线 的方程,λ是待定的系数． (2)过直线 : 与圆 : 的交点的 圆系方程是 ,λ是待定的系数． (3)过圆 : 与圆 : 的交点的 圆系方程是 ,λ是待定的系数． ​ 点与圆的位置关系 点 与圆 的位置关系有三种： 若 ，则 点 在圆外; 点 在圆上; 点 在圆内. ​ 直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种: 1， ; 2， ; 3， .其中 . ​ 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， ; ; ; ; . 椭圆 ​ 椭圆 的参数方程是 . ​ 椭圆 焦半径公式 ， , ​ 焦点三角形：P为椭圆 上一点，则三角形 的面积S= 特别地，若 此三角形面积为 ； ​ 在椭圆 上存在点P，使 的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围是 ； ​ 椭圆的的内外部 （1）点 在椭圆 的内部 . （2）点 在椭圆 的外部 . ​ 椭圆的切线方程 (1)椭圆 上一点 处的切线方程是 . （2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 . （3）椭圆 与直线 相切的条件是 . 双曲线 ​ 双曲线 的焦半径公式 ， . ​ 双曲线的内外部 (1)点 在双曲线 的内部 . (2)点 在双曲线 的外部 . ​ 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 渐近线方程： . (2)若渐近线方程为 双曲线可设为 . (3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为 （ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）. ​  双曲线的切线方程 (1)双曲线 上一点 处的切线方程是 . （2）过双曲线 外一点 所引两条切线的 切点弦方程是 . （3）双曲线 与直线 相切的条件是 . ​ 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值） 抛物线 ​ 焦点与半径 ​ 焦半径公式 抛物线 ，C 为抛物线上一点，焦半径 . 过焦点弦长 .对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。 ​ 设点方法 抛物线 上的动点可设为P 或 P ，其中 . ​ 二次函数 的图象是抛物线： （1）顶点坐标为 ； （2）焦点的坐标为 ； （3）准线方程是 . ​ 抛物线的内外部 (1)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (2)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (3)点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . (4) 点 在抛物线 的内部 . 点 在抛物线 的外部 . ​ 抛物线的切线方程 (1)抛物线 上一点 处的切线方程是 . （2）过抛物线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 . （3）抛物线 与直线 相切的条件是 . ​ 过抛物线 （p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于 圆锥曲线共性问题 ​ 两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 , 的交点的曲线系方程是 ( 为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 ,其中 .当 时,表示椭圆; 当 时,表示双曲线. ​ 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 （弦端点A 由方程 消去y得到 ， , 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率）. ​ 涉及到曲线上的 点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法：，比如在椭圆中： ​ 圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线 关于点 成中心对称的曲线是 . （2）曲线 关于直线 成轴对称的曲线是 . ​ “四线”一方程 对于一般的二次曲线 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 ，用 代 即得方程 ，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 立体几何 1．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 9.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使a=λb． 三点共线 . 、 共线且 不共线 且 不共线. 10.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的 存在实数对 ,使 ． 推论 空间一点P位于平面MAB内的 存在有序实数对 ,使 ， 或对空间任一定点O，有序实数对 ，使 . 11.对空间任一点 和不共线的三点A、B、C，满足 （ ），则当 时，对于空间任一点 ，总有P、A、B、C四点共面；当 时，若 平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若 平面ABC，则P、A、B、C四点不共面． 四点共面 与 、 共面 （ 平面ABC）. 12.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc． 推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z， 使 . 13.射影公式 已知向量 =a和轴 ，e是 上与 同方向的单位向量.作A点在 上的射影 ，作B点在 上的 射影 ，则 〈a，e〉=a·e 14.向量的直角坐标运算 设a＝ ，b＝ 则 (1)a＋b＝ ； (2)a－b＝ ； (3)λa＝ (λ∈R)； (4)a·b＝ ； 14.设A ，B ，则 = . 15.夹角公式 设a＝ ，b＝ ，则cos〈a，b〉= . 推论 ，此即三维柯西不等式. 16. 四面体的对棱所成的角 四面体 中, 与 所成的角为 ,则 . 17.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量). 18.空间两点间的距离公式 若A ，B ，则 = . 19.点 到直线 距离 (点 在直线 上，直线 的方向向量a= ，向量b= ). 20．异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距离). 21. 点 到平面 的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）. 22.异面直线上两点距离公式 . . （ ）. (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段 的长度为h.在直线a、b上分别取两 点E、F， , , ). 23.球的半径是R，则其体积 ,其表面积 ． 24.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 . 25．柱体、锥体的体积 （ 是柱体的底面积、 是柱体的高）. （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）. 排列组合 ​ 分类计数原理（加法原理）： . ​ 分步计数原理（乘法原理）： . ​ 排列数公式 ： = = .( ， ∈N*，且 )．注:规定 . ​ 排列恒等式 (1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . (6) . ​ 组合数公式 = = = ( ∈N*， ，且 ). ​ 组合数的两个性质 (1) = ; (2) + = .注:规定 . ​ 组合恒等式 （1） ; 2） ; （3） ; （4） = ; （5） . (6) . (7) . (8) (9) . (10) . ​ 排列数与组合数的关系： . 概率 ​ 等可能性事件的概率： . ​ 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)． ​  个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． ​ 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B). ​ n个独立事件同时发生的概率： P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． ​ n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率： 期望与方差 ​ 离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） ; （2） . ​ 数学期望： ​ 数学期望的性质： （1） . （2）若 ～ ,则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . ​ 方差： ​ 标准差： = . ​ 方差的性质 (1) ； (2）若 ～ ，则 . (3) 若 服从几何分布,且 ，则 . ​ 方差与期望的关系： . 导数 ​ 几种常见函数的导数 (1) （C为常数）. (2) . (3) . (4) . (5) ； (6) ; . ​ 导数的运算法则 （1） . （2） . （3） . ​ 复合函数的求导法则 设函数 在点 处有导数 ，函数 在点 处的对应点U处有导数 ，则复合函数 在点 处有导数，且 ，或写作 . 复数 ​ 复数的相等： .（ ） ​ 复数 的模（或绝对值） = = . ​ 复数的四则运算法则 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . ​ 复数的乘法的运算律 对于任何 ，有交换律: . 结合律: .分配律: . ​ 复平面上的两点间的距离公式 （ ， ）. 学生评价摘选： “老师，你简直是太聪明了，听了你讲的数学后就变得对数学超喜欢！” “领军的数学课堂，每次听完我的感觉是——顿悟!” “领军的老师太厉害了，数学比英语讲的还要好！” “杜老师那个“成功倒数第二步”理论让我彻底明白了高考数学解题的秘诀，为我高三复习数学指明了方向，知道以后怎么复习才是最有效率的了！” “老师，你确定你是个正常人吗？感觉你的智商有点超常呢？太强了！想出这么多简单有效的解题方法和结论！” “学完领军的数学课，才发现以前学的数学也就是个刚入门的水平，以前只知道上课记笔记，现在才明白掌握数学思想、提高解题能力才是最重要的”。 “有领军的博硕名师在，高考数学彻底不怕啦！”