《计算机数学基础(2)》数值
分析
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试题 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x=0.0a1a2…an×10s(a10)的绝对误差x*-x( ). (A) 0.5×10 s-1-t (B) 0.5×10 s-t (C) 0.5×10s+1-t (D) 0.5×10 s+t 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( ). (A) , (B) (C) (D) 3. 过(0,1),(2,4),(3,1)点的分段线性插值函数P(x)=( ) (A) (B) (C) (D) 4. 等距二点的求导公式是( ) (A) (B) (C) (D) 5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么yp,yc分别为( ). (A) (B) (C) (D) 二、填空题(每小题3分,共15分) 6. 设近似值x1,x2满足(x1)=0.05,(x2)=0.005,那么(x1x2)= . 7. 三次样条函数S(x)满足:S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导,S(xk)=yk(已知),k=0,1,2,…,n,且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是 . 8. 牛顿-科茨求积公式 ,则 = . 9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ,则在有根区间内任意取一点作为初始值,迭代解都收敛. 10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是 预报值: ,校正值:yk+1= . 三、计算题(每小题15分,共60分) 11. 用简单迭代法求线性方程组 的X(3).取初始值(0,0,0)T,计算过程保留4位小数. 12. 已知函数值f(0)=6,f(1)=10,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=212,求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4,1,3). 13.将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分 ,计算过程保留4位小数. 14. 用牛顿法求 的近似值,取x=10或11为初始值,计算过程保留4位小数. 四、证明题(本题10分) 15. 证明求常微分方程初值问题 在等距节点a=x0
答案
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一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每小题3分,共15分) 6. 0.05x2+0.005x1 7. 3次多项式 8. b-a 9. (x)r<1 10. yk+ hf(xk+1, ) . 三、计算题(每小题15分,共60分) 11. 写出迭代格式 X(0)=(0,0,0)T. 得到X(1)=(2.5,3,3)T 得到X(2)=(2.875,2.363 7,1.000 0)T 得到X(3)=(3.136 4,2.045 6,0.971 6)T. 12. 计算均差列给出. f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 6 1 10 4 3 46 18 14/3 4 82 36 6 1/3 6 212 65 29/3 11/15 1/15 f(0,1,3,4,6)= f(4, 1, 3)=6 13. f(x)= ,h= .分点x0=1.0,x1=1.25,x2=1.5,x3=1.75,x4=2.0,x5=2.25,x6=2.50,x7=2.75,x8=3.0. 函数值:f(1.0)=1.414 2,f(1.25)=1.600 8,f(1.5)=1.802 8,f(1.75)=2.015 6,f(2.0)=2.236 1,f(2.25)=2.462 2,f(2.50)=2.692 6,f(2.75)=2.926 2,f(3.0)=3.162 3. (9分) = ×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6 +2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)] =0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 1 14. 设x为所求,即求x2-115=0的正根.f(x)=x2-115. 因为f(x)=2x,f(x)=2,f(10)f(10)=(100-115)×2<0,f(11)f(11)=(121-115)×2>0 取x0=11. 有迭代公式 xk+1=xk- = (k=0,1,2,…) x1= =10.727 3 x2= =10.723 8 x3= =10.723 8 x*10.723 8 四、证明题(本题10分) 15. 在子区间[xk+1,xk]上,对微分方程两边关于x积分,得 y(xk+1)-y(xk)= 用求积梯形公式,有 y(xk+1)-y(xk)= 将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+1替代,得到 y(xk+1)yk+1=yk+ [f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)](k=0,1,2,…,n-1)