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现代控制理论(2-6章) (高立群 张嗣瀛 著) 清华大学出版社 课后答案2

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现代控制理论(2-6章) (高立群 张嗣瀛 著) 清华大学出版社 课后答案2 第 3333章 ““““状态方程的解””””习题解答 3.13.13.13.1计算下列矩阵的矩阵指数 。teAAAA 2 0 0 2 0 0 (1) 0 2 0 ; (2) 0 3 1 0 0 2 0 0 3 − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A A A A A A A A 0 0 0 1 (3) ; (4) 1 0 4 0 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ...

现代控制理论(2-6章) (高立群 张嗣瀛 著) 清华大学出版社 课后答案2
第 3333章 ““““状态方程的解””””习题解答 3.13.13.13.1计算下列矩阵的矩阵指数 。teAAAA 2 0 0 2 0 0 (1) 0 2 0 ; (2) 0 3 1 0 0 2 0 0 3 − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A A A A A A A A 0 0 0 1 (3) ; (4) 1 0 4 0 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A A A A A A A A (1)解 2 2 2 0 0 0 0 0 0 t t t t e e e e − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A AA A (2)解 2 3 3 3 0 0 0 0 0 t t t t t e e e te e − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A AA A (3)解 ( ) 1 2 2 0 1 1 0 01 1 1 1 s s s s s s s s s s − ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ − = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ I A I A I A I A I A I A I A I A ( ) ( ) ( ) 11 1 0 1 t t e L s t t −− ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A AA A I A I A I A I A (4)解: 1 4 s s s ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ I A I A I A I A ( ) 1 2 2 2 2 2 11 44 1 2 4 2 4 2 2 4 4 s s s s s s s s s s − −⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − ⋅⎢ ⎥+ += ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ I A I A I A I A 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 2 2 4 4 1 cos 2 sin 2 2 2sin 2 cos 2 t s s s e L s s s t t t t − ⎡ ⎤ −⎢ ⎥+ += ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A AA A 3.23.23.23.2 已知系统状态方程和初始条件为 ( ) 1 0 0 1 0 1 0 , 0 0 0 1 2 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & x x x x x x x x x x x x (1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵; (2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵; (3) 试用化 为有限项法求其状态转移矩阵;teAAAA (4) 根据所给初始条件,求齐次状态方程的解。 (1)解 ,1 2 1 0 0 0 1 0 0 1 2 O O ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ A A A A A A A A A A A A 其中, 1 2 1 0 1, 1 2 ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A A A A A A A 则有 1 2 0 0 t t t e e e ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A AA A A AA A A AA A 而 ,1t te e=AAAA ( )2 11 2te L s −− ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ A AA A I A I A I A I A ( ) 1 1 2 1 0 1 2 2 01 1 1( 1)( 2) 1 0 1 1 1 1 2 1 2 s s s s s s s s s s s − − −⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−− − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥−= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ I A I A I A I A ( )2 11 2 2 2 0t t t t t e e L s e e e −− ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ A AA A I A I A I A I A 所以状态转移矩阵为 ( ) 11 2 2 0 0 0 0 0 t t t t t t e e L s e e e e −− ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ A AA A I A I A I A I A (2)解 2 1 0 ( 1)( 2) 0 1 2 I λ λ λ λ λ − − = = − − = − − A A A A 1 21, 2λ λ= = 对于 ,1 1λ = 1 0 0 0 1 1 1 0 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1111P PP PP PP P 对于 ,2 2λ = 2 2 1 0 0 0 1 0 0 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P P P P P P P P 11 0 1 0 1 1 1 1 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P P P P P P P P 2 1 2 2 2 2 0 0 1 0 1 00 1 1 1 10 0 t t t t t t t t t e e e e e e e e e −⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ A AA A P P P P P P P P 2 2 0 0 0 0 0 t t t t t t e e e e e e ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ P PP P (3)解 矩阵的特征值为 ,1,2 1λ = 3 2λ = 对于 有:3 2λ = 2 0 1 2( ) 2 ( ) 4 ( ) t e t t tα α α= + + 对于 有:1,2 1λ = 0 1 2( ) ( ) ( ) t e t t tα α α= + + 因为是二重特征值,故需补充方程 1 2( ) 2 ( ) t te t tα α= + 从而联立求解,得: 2 0 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) 3 2 2 ( ) t t t t t t t t t e te t te e e t e e te α α α = − = − + = − − ( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 0 0 0 2 0 3 2 2 0 1 0 0 0 2 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 t t t t t t t t t t t t t t t t t t e t t t e te e te te e e e te e e te e e e e e α α α= + + ⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ A AA A I A A I A A I A A I A A (4)解: 0 ) 0 2 2 2 ( ) ( ) (0) 0 0 1 0 0 0 0 0 1 t t t t t t t t t t t e t e e e e e e e e −= = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A( A(A( A( A AA A x x x x x x x x x x x x 3.33.33.33.3 矩阵 是 的常数矩阵,关于系统的状态方程式 ,有AAAA 22× =&x Axx Axx Axx Ax 时, 1 (0) 1 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ x x x x 2 2 t t e e − − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ x x x x 时, 2 (0) 1 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ x x x x 2 t t e e − − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ x x x x 试确定这个系统的状态转移矩阵 和矩阵 。( ,0)tΦΦΦΦ AAAA 解: 因为系统的零输入响应是 ( ) ( ,0) (0)t t=x xx xx xx xΦΦΦΦ 所以 , 2 2 1 ( ,0) 1 t t e t e − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ΦΦΦΦ 22 ( ,0) 1 t t e t e − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ΦΦΦΦ 将它们综合起来,得 2 2 1 22 ( ,0) 1 1 t t t t e e t e e − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ΦΦΦΦ 12 2 2 2 2 2 2 2 1 22 ( ,0) 1 1 1 22 1 1 2 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t t t t e e t e e e e e e e e e e e e e e −− − − − − − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤− − = ⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ΦΦΦΦ 而状态转移矩阵的性质可知,状态转移矩阵 满足微分方程0( , )t tΦΦΦΦ ( ) ( )0 0, , d t t t t dt = AAAAΦ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ 和初始条件 ( )0 0,t t = IIIIΦΦΦΦ 因此代入初始时间 可得矩阵 为:0 0t = AAAA 0 1 0 0 0 2 2 2 2 0 ( , ) ( , ) 2 2 2 4 2 4 0 2 1 3 t t t t t t t t t t t d t t t t dt e e e e e e e e − = = − − − − − − − − = ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎡ ⎤− + − + = ⎢ ⎥ − + − +⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ A A A A Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ 3.93.93.93.9 已知系统 的转移矩阵 是=&x Axx Axx Axx Ax 0( , )t tΦΦΦΦ 2 2 0 2 2 2 2( ) ( , ) 2 t t t t t t t t e e e e t t e e e e − − − − − − − − ⎡ ⎤− − = ⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ΦΦΦΦ 时,试确定矩阵 。AAAA 解 因为 是状态转移矩阵,0( , )t tΦΦΦΦ 所以有 0 0( , ) ( , ) d t t t t dt ⎧ ⎫= ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ A A A A −1−1−1−1Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ 将 , 代入得:0 0t = 0 0( , )t t I=ΦΦΦΦ 0 2 1 3 −⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ A A A A 3.103.103.103.10 已知系统状态空间 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为 0 1 1 3 4 1 u ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & x x x x x x x x [ ]1 1y = xxxx (1) 求系统的单位阶跃响应; (2) 求系统的脉冲响应。 (1)解 , 0 1 3 4 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ A A A A [ ] 1 , 1 1 1 ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B C B C B C B C 1 ( 4) 3 ( 3)( 1) 0 3 4 λ λ λ λ λ λ λ − − = = − + = − − = − I A I A I A I A 1 21, 3λ λ⇒ = = 时,1 1λ = 1 1 1 1 0 1 3 3 0 1 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P P P P P P P P 时,2 3λ = 2 2 3 1 0 1 3 1 0 3 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P P P P P P P P 1 1 1 3 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ P P P P 1 3 1 3 11 2 2 1 1 1 12 2 2 − ⎡ ⎤ −⎢ ⎥−⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎣ ⎦ P P P P 1 3 3 3 3 3 3 3 1 1 10 0 2 2 1 3 1 10 0 2 2 3 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 3 2 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e − ⎡ ⎤ −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − − +⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎢ ⎥⎣ ⎦ A AA A P P P P P P P P 将 代入求解公式得:( ) 1( )u t t= 3 3 1 3 3 2 3 1 1 1 (0)2 2 2 2( ) (0)3 3 1 3 2 2 2 2 t t t t t t t t e e e e x t x e e e e ⎡ ⎤ − − +⎢ ⎥ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥− − + ⎢ ⎥⎣ ⎦ x x x x + 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 0 131 12 3 3 3 t t t t t t t t t e e e e d e e e e τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − − − − − − − ⎡ ⎤− − + ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫ 3 3 1 2 3 3 1 2 3 (0) (0) 1 2 2 3 3 3 (0) (0) 1 2 2 t t t t t t t t t t e e e e x x e e e e e x x e ⎡ ⎤− − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − −⎢ ⎥ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ 若取 ,则有(0) 0=xxxx 1 ( ) 1 t t e t e ⎡ ⎤− = ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ x x x x [ ] [ ] 1 1 1 ( ) 1 1 2 2 1 t t t e y t e e ⎡ ⎤− = = = −⎢ ⎥ −⎣ ⎦ x x x x (2)解 由(1)知 t e =AAAA 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 3 2 2 2 2 t t t t t t t t e e e e e e e e ⎡ ⎤ − − +⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎢ ⎥⎣ ⎦ 取 ,则有( ) (0)u t δ= 3 3 1 3 3 2 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 0 3 3 1 2 3 1 3 1 1 1 (0)2 2 2 2( ) (0)3 3 1 3 2 2 2 2 131 (0) 12 3 3 3 3 (0) (0) 2 2 3 3 (0) 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e e e x t x e e e e e e e e d e e e e e e e e x x e e e x τ τ τ τ τ τ τ τ δ τ − − − − − − − − ⎡ ⎤− − +⎢ ⎥ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥− − + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤− − + ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦ − − − + = − − ∫ x x x x 3 2 3 (0) 2 t t t e e x e ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦ 若取 ,则有 , 0 (0) 0 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x x x x ( ) t t e t e ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ x x x x [ ]( ) 1 1 2 t t t e y t e e ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 3.113.113.113.11 求下列系统在输入作用为:① 脉冲函数;② 单位阶跃函数;③ 单位斜坡函数下 的状态响应。 (1) 1 0 0 1 a b a u b a b ⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎡ ⎤ −= + ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ & x x x x x x x x (2) ( ) 0 1 0 1 u ab a b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦ & x x x x x x x x (1111)解 0 0 0 0 at t bt a e e b e − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A AA A A A A A ① ,( ) ( )u t tδ= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )0 2 1 2 1 00 0 0 0 10 0 1 (0) 1 (0) at a t t bt b t at at bt bt x e e b a t d x e e a b e x e b a e x e b a τ τ δ τ − − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎡ ⎤ +⎢ ⎥−= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ∫xxxx 取 ,则( )0 0=xxxx ( ) 1 1 at bt e b a t e b a − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥−= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥−⎣ ⎦ x x x x ② ,( ) ( )1u t t= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )0 2 1 2 0 1 1 0 1 (0) ( ) ( ) 1 (0) ( ) ( ) at a t t bt b t at at bt bt e x e t d e x b a e e e x a b a a b a e e x b b a b b a τ τ τ τ − − − − − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + −⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥ + −⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ∫xxxx 若取 ,则有( )0 0=xxxx ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) at bt e a b a a b a t e b b a b b a − − ⎡ ⎤ −⎢ ⎥− −⎢ ⎥= ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ x x x x ③ ,( )u t t= ( ) ( ) 1 ( ) 2 0 (0) 1 (0) t at a t bt b t e x e t td b a e x e τ τ τ − − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦ ∫xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 1 0 1 0 at at bt bt at at bt bt t e e x a a a e x b a t e b b b t e e x a b a a b a a b a t e e x b b a b b a b b a − − − − − − − − ⎡ ⎤ + −⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎣ ⎦ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ + + −⎢ ⎥− − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥ − − +⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 若取 ,则有( )0 0=xxxx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 at bt t e a b a a b a a b a t t e b b a b b a b b a − − ⎡ ⎤ + −⎢ ⎥− − −⎢ ⎥= ⎢ ⎥ − − +⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ x x x x (2222)解 ( ) 0 1 0 , 1ab a b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦ A B A B A B A B ( ) ( ) ( )( ) 1 0 ab a b a b ab a b λ λ λ λ λ λ λ − − = + + = + + + = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ I A I A I A I A 所以 1 2,a bλ λ= − = − 时,1 aλ = − 1 1 1 0 1 0 a ab b a − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P P P P P P P P 时,2 bλ = − 2 2 1 0 1 0 b ab a b − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P P P P P P P P 1 1 a b ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ P P P P 1 11 1 b a b a − − −⎡ ⎤= ⎢ ⎥− + ⎣ ⎦ P P P P 1 1 1 10 01 10 0 1 at at t bt bt at bt at bt at bt at bt b e e e a b a a b e e be ae e e a b abe abe ae be − − − − − − − − − − − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤− + − + = ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ A AA A P P P P P P P P ① ,( ) ( )u t tδ= ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (0)1 (0) 01 (0) 1 ( )1 at bt at bt at bt at bt t a t b t a t b t a t b t a t b t bt at x be ae e e t x a b abe abe ae be be ae e e d a b abe abe ae be ae be x a b τ τ τ τ τ τ τ τ δ τ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ − = − ∫ x x x x 1 2 1 2 (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) at bt at bt at bt at bt at bt e e x e e abe abe x ae be x ae be − − − − − − − − − − ⎡ ⎤+ − + − + ⎢ ⎥ − + − + −⎣ ⎦ 取 , 则有(0) 0=xxxx 1 ( ) at bt at bt e e t a b ae be − − − − ⎡ ⎤− + = ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ x x x x ② ,( ) ( )1u t t= ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 01 0 01 1( ) 1 ( ) (0)1 at bt at bt at bt at bt a t b t a t b t t a t b t a t b t bt at x be ae e e t x a b abe abe ae be be ae e e d a b abe abe ae be ae be x a b τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤− + − + = ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ − = − ∫ x x x x 2 1 2 1 1 1 1 ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0) at bt at bt at bt at bt at bt e e x e e b a a b abe abe x ae be x e e − − − − − − − − − − ⎡ ⎤ + − + + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − + − − +⎣ ⎦ 取 , 则有(0) 0=xxxx 1 1 1 1 1 ( ) at bt at bt e e t b a a b a b e e − − − − ⎡ ⎤− + −⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − +⎣ ⎦ x x x x ③ ,( )u t t= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 01 0 01 1 ( ) 0 ( 1 at bt at bt at bt at bt t a t b t a t b t a t b t a t b t at bt x be ae e e t x a b abe abe ae be be ae e e d a b abe abe ae be be ae x e a b τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤− + − + = ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦ − + + − = − ∫ x x x x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 ) 0 1 1 ( ) 0 ( ) 0 at bt at bt at bt at bt at bt at e bt e e x a b at e bt e abe abe x ae be x a b − − − − − − − − − − ⎡ ⎤− + − + + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − + − +⎢ ⎥ − + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 取 , 则有(0) 0=xxxx ( ) 2 2 1 1 1 1 1 at bt at bt at e bt e a b t a b at e bt e a b − − − − ⎡ ⎤− + − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − + − +⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎣ ⎦ x x x x 3.123.123.123.12 线性时变系统 的系数矩阵如下。试求与之对应的状态转移矩阵( ) ( ) ( )t t t=&x A xx A xx A xx A x (1) (2)( ) 0 1 ; 0 t t ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A A A ( ) 0 0 0 t t ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A A A (1) 解 ( ) 0 1 0 t t ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A A A 因为 ( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 t t t t t t t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A A A A A A A A ( ) ( ) 12 1 2 1 1 2 0 1 0 1 0 0 0 0 t t t t t t t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A A A A A A A A ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1t t t t≠A A A AA A A AA A A AA A A A 说明 和 是不可交换的,亦即 和 是不可交换的。( )1tAAAA ( )2tAAAA ( )tAAAA ( ) 0 t t dτ τ∫ AAAA 则按下式计算状态转移矩阵 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 2 1 1 2 3 3 2 1 , t t t t t t t t t t t I d d d d d d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ΦΦΦΦ 为此计算: 0 0 2 2 0 0 0 1 ( ) 1 0 0 ( ) 2 t t t t t t d d t t τ τ τ τ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫AAAA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 1 0 1 2 2 1 12 2 1 1 0 22 2 0 01 0 1 23 2 2 2 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 ( ) 2 11 00 ( ) 62 1 1 0 ( ) 0 2 8 t t t t t t t t d d d t t t t t t d t t t τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤ − +− ⎢ ⎥⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ A A A A A A A A M 所以状态转移阵为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 2 22 20 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 6, 1 0 1 10 ( ) 02 8 1 1 ( ) 6 1 1 0 1 ( ) ( ) 2 8 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⎡ ⎤− − +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − + − + +⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − + − + ⎢ ⎥⎣ ⎦ L L L ΦΦΦΦ (2)解 0 0 ( ) 0 t t ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A A A A 对应系统自治状态方程为 1 2 1 0x x tx =⎧ ⎨ =⎩ & & 求解得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 2 2 2 1 0 1 0 0 2 00.5 0.5 x t x t x t x t t x t t x t = = − + 再任取两组线性无关初始状态变量: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 1 0 2 0 0, 1; 2, 0 x t x t x t x t = = = = 可导出两个线性无关解: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2 0 20 , 1 t t t t ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x x x x x x 由此,得到系统的一个基本解阵: ( ) ( )1 2 2 2 0 0 2 ( ) 1 t t t ⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦ x x x x x x x xΨΨΨΨ 于是,利用状态转移矩阵关系式,即可定出状态转移矩阵 :0( , )t tΦΦΦΦ 1 0 0 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 0 ( , ) ( ) ( ) 0 2 0 2 1 1 0 1 0 0.5 0.5 1 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t − − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎡ ⎤− + − = ⎢ ⎥ − + −⎣ ⎦ Φ Ψ ΨΦ Ψ ΨΦ Ψ ΨΦ Ψ Ψ 3.143.143.143.14 已知线性定常离散系统的差分方程如下: ( ) ( ) ( ) ( )2 0.5 1 0.1y k y k y k u k+ + + + = 若设 ,试用递推法求出 。( ) ( ) ( )1, 0 1, 1 0u k y y= = = ( ) , 2,3, 10y k k = LL 解 (2) 0.1 (0) 0.5 (1) (0) 0.1 1 0.5 0 1 0.9y y y u= − − + = − × − × + = 同理,递推得: (3) 0.55, (4) 0.635, (5) 0.6275, (6) 0.6228, (7) 0.6259, (8) 0.6248, (9) 0.6250, (10) 0.6250 y y y y y y y y = = = = = = = = 3.153.153.153.15 设线性定常连续时间系统的状态方程为 ,1 1 2 2 0 1 0 0 2 1 x x u x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & & 0t ≥ 取采样周期 ,试将该连续系统的状态方程离散化。0.1T s= 解 ① 首先计算矩阵指数 。采用拉氏变换法:teAAAA ( ) 1 11 1 1 0 2 t s e L s L s − −− − ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤= − = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭ A AA A I A I A I A I A ( ) 1 2 2 1 1 ( 2) 1 0 ( 2) 1 0.5 1 0 t t s s s L s e e − − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎡ ⎤− = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ② 进而由公式(3.19)计算离散时间系统的系数矩阵。 ( )2 2 1 0.5 1 0 T T T e e e − − ⎡ ⎤− = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ A AA A G G G G 将 代入得0.1T s= 1 0.091 0 0.819 T e ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ A AA A G G G G ( ) ( ) 2 20 0 2 2 2 2 1 0.5 1 0 10 00.5 0.25 0.25 10 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.005 0.091 t T T t t T T T T e e dt B dt e T T e e T e e − − − − − − ⎧ ⎫⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎪ ⎪ = = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎡ ⎤+ − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ − = ⎢ ⎥ − +⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫AAAAHHHH ③ 故系统离散化状态方程为: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 0.091 0.005 1 0 0.819 0.091 x k x k u k x k x k +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3.163.163.163.16 已知线性定常离散时间系统状态方程为 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 02 8 1 1 1 0 1 8 2 x k x k u k x k x k u k ⎡ ⎤ ⎢ ⎥+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ) 1 2 0 1 0 3 x x ⎡ ⎤ −⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ 设 与 是同步采样, 是来自斜坡函数 的采样,而 是由指数函( )1u k ( )2u k ( )1u k t ( )2u k 数 采样而来。试求该状态方程的解。te− 解 ① 首先用 Z变换法求状态转移矩阵: 1 1 1 1 1 1 12 8 2 8( ) 3 51 1 1 1( )( ) 8 88 2 8 2 1 1 1 1 2 2 4 4 3 5 5 3 8 8 8 8 1 1 1 1 4 4 2 2 5 3 3 5 8 8 8 8 z z z z z z z z z z z z z z z − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + ⎢ ⎥− − − − ⎢ ⎥⎣ ⎦ I G I G I G I G ( ) 1 1 1 5 1 3 1 5 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 2 8 4 8 4 8( ) 1 5 1 3 1 3 1 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 2 8 2 8 2 8 k k k k k k k k k Z z z − − ⎡ ⎤ + −⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− + ⎢ ⎥⎣ ⎦ I G I G I G I GΦΦΦΦ ② 利用 即可求得。 或用 Z变换法,由 1 1 ( ) ( ) (0) ( 1) ( ) k i k k k i i − = = + − −∑x x Hux x Hux x Hux x HuΦ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ 求得。( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -11 10 -k Z z z Z z z− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦x I G x I G Hux I G x I G Hux I G x I G Hux I G x I G Hu 第3章“状态方程的解”习题解答
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