第 3333章 ““““状态方程的解””””习题解答
3.13.13.13.1计算下列矩阵的矩阵指数 。teAAAA
2 0 0 2 0 0
(1) 0 2 0 ; (2) 0 3 1
0 0 2 0 0 3
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A A
A A
A A
A A
0 0 0 1
(3) ; (4)
1 0 4 0
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A A
A A
A A
A A
(1)解
2
2
2
0 0
0 0
0 0
t
t t
t
e
e e
e
−
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
AA
A
(2)解
2
3 3
3
0 0
0
0 0
t
t t t
t
e
e e te
e
−
− −
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
AA
A
(3)解
( ) 1 2
2
0
1
1
0
01
1 1 1
s
s
s
s
s
s
s
s
s s
−
⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤
− = = ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
I A
I A
I A
I A
I A
I A
I A
I A
( )
( )
( )
11 1 0
1
t
t
e L s
t t
−− ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
A
AA
A
I A
I A
I A
I A
(4)解:
1
4
s
s
s
⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥−⎣ ⎦
I A
I A
I A
I A
( ) 1 2
2 2
2 2
11
44
1 2
4 2 4
2
2
4 4
s
s
s
s
s
s s
s
s s
− −⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
− ⋅⎢ ⎥+ += ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
I A
I A
I A
I A
2 2
1
2 2
1 2
4 2 4
2
2
4 4
1
cos 2 sin 2
2
2sin 2 cos 2
t
s
s s
e L
s
s s
t t
t t
−
⎡ ⎤
−⎢ ⎥+ += ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
AA
A
3.23.23.23.2 已知系统状态方程和初始条件为
( )
1 0 0 1
0 1 0 , 0 0
0 1 2 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&
x x x
x x x
x x x
x x x
(1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵;
(2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵;
(3) 试用化 为有限项法求其状态转移矩阵;teAAAA
(4) 根据所给初始条件,求齐次状态方程的解。
(1)解 ,1
2
1 0 0
0 1 0
0 1 2
O
O
⎡ ⎤
⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
其中, 1 2
1 0
1,
1 2
⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
A A
A A
A A
A A
则有
1
2
0
0
t
t
t
e
e
e
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
AA
A
A
AA
A
A
AA
A
而 ,1t te e=AAAA ( )2 11 2te L s
−− ⎡ ⎤= −⎣ ⎦
A
AA
A
I A
I A
I A
I A
( )
1
1
2
1 0
1 2
2 01
1 1( 1)( 2)
1
0
1
1 1 1
2 1 2
s
s
s
s
s
s s
s
s s s
−
− −⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−− − ⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥−= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
I A
I A
I A
I A
( )2 11 2 2 2
0t
t
t t t
e
e L s
e e e
−− ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦
A
AA
A
I A
I A
I A
I A
所以状态转移矩阵为
( ) 11
2 2
0 0
0 0
0
t
t t
t t t
e
e L s e
e e e
−−
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥−⎣ ⎦
A
AA
A
I A
I A
I A
I A
(2)解 2
1 0
( 1)( 2) 0
1 2
I
λ
λ λ λ
λ
−
− = = − − =
− −
A
A
A
A
1 21, 2λ λ= =
对于 ,1 1λ =
1
0 0 0 1
1 1 0 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1111P PP PP PP P
对于 ,2 2λ =
2 2
1 0 0 0
1 0 0 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
P P
P P
P P
P P
11 0 1 0
1 1 1 1
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
P P
P P
P P
P P
2 1
2
2
2 2
0
0
1 0 1 00
1 1 1 10
0
t
t
t
t
t
t
t t t
e
e
e
e
e
e
e e e
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−⎣ ⎦
A
AA
A
P P
P P
P P
P P
2 2
0 0
0 0
0
t
t t
t t t
e
e e
e e e
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
P
PP
P
(3)解 矩阵的特征值为 ,1,2 1λ = 3 2λ =
对于 有:3 2λ =
2
0 1 2( ) 2 ( ) 4 ( )
t
e t t tα α α= + +
对于 有:1,2 1λ = 0 1 2( ) ( ) ( )
t
e t t tα α α= + +
因为是二重特征值,故需补充方程 1 2( ) 2 ( )
t
te t tα α= +
从而联立求解,得:
2
0
2
1
2
2
( ) 2
( ) 3 2 2
( )
t t
t t t
t t t
t e te
t te e e
t e e te
α
α
α
= −
= − +
= − −
( )
( )
2
0 1 2
2
2 2
2
2
2 2
( ) ( ) ( )
2 0 0 1 0 0
0 2 0 3 2 2 0 1 0
0 0 2 0 1 2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 1 2 0 1 2
0 0
0 0
0
t
t t
t t t t t
t t
t t t
t
t
t t t
e t t t
e te
e te te e e
e te
e e te
e
e
e e e
α α α= + +
⎡ ⎤− ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
A
AA
A
I A A
I A A
I A A
I A A
(4)解:
0 )
0
2 2 2
( ) ( ) (0)
0 0 1
0 0 0 0
0 1
t t
t
t t
t
t t t t
t e t e
e e
e
e e e e
−= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A(
A(A(
A(
A
AA
A
x x x
x x x
x x x
x x x
3.33.33.33.3 矩阵 是 的常数矩阵,关于系统的状态方程式 ,有AAAA 22× =&x Axx Axx Axx Ax
时,
1
(0)
1
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
x
x
x
x
2
2
t
t
e
e
−
−
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−⎣ ⎦
x
x
x
x
时,
2
(0)
1
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
x
x
x
x
2 t
t
e
e
−
−
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−⎣ ⎦
x
x
x
x
试确定这个系统的状态转移矩阵 和矩阵 。( ,0)tΦΦΦΦ AAAA
解:
因为系统的零输入响应是
( ) ( ,0) (0)t t=x xx xx xx xΦΦΦΦ
所以
,
2
2
1
( ,0)
1
t
t
e
t
e
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦⎣ ⎦
ΦΦΦΦ
22
( ,0)
1
t
t
e
t
e
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦⎣ ⎦
ΦΦΦΦ
将它们综合起来,得
2
2
1 22
( ,0)
1 1
t t
t t
e e
t
e e
− −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− ⎣ ⎦⎣ ⎦
ΦΦΦΦ
12
2
2
2
2 2
2 2
1 22
( ,0)
1 1
1 22
1 1
2 2 2
2
t t
t t
t t
t t
t t t t
t t t t
e e
t
e e
e e
e e
e e e e
e e e e
−− −
− −
− −
− −
− − − −
− − − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− − ⎣ ⎦⎣ ⎦
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− −
= ⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
ΦΦΦΦ
而状态转移矩阵的性质可知,状态转移矩阵 满足微分方程0( , )t tΦΦΦΦ
( ) ( )0 0, ,
d
t t t t
dt
= AAAAΦ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ
和初始条件 ( )0 0,t t = IIIIΦΦΦΦ
因此代入初始时间 可得矩阵 为:0 0t = AAAA
0
1
0 0
0
2 2
2 2
0
( , ) ( , )
2 2 2 4
2 4
0 2
1 3
t t
t t t t
t t t t
t
d
t t t t
dt
e e e e
e e e e
−
= =
− − − −
− − − −
=
⎧ ⎫
= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
⎡ ⎤− + − +
= ⎢ ⎥
− + − +⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
A
A
A
A Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ
3.93.93.93.9 已知系统 的转移矩阵 是=&x Axx Axx Axx Ax 0( , )t tΦΦΦΦ
2 2
0 2 2
2 2( )
( , )
2
t t t t
t t t t
e e e e
t t
e e e e
− − − −
− − − −
⎡ ⎤− −
= ⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
ΦΦΦΦ
时,试确定矩阵 。AAAA
解 因为 是状态转移矩阵,0( , )t tΦΦΦΦ
所以有 0 0( , ) ( , )
d
t t t t
dt
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
A
A
A
A
−1−1−1−1Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ
将 , 代入得:0 0t = 0 0( , )t t I=ΦΦΦΦ
0 2
1 3
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
A
A
A
A
3.103.103.103.10 已知系统状态空间
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达式为
0 1 1
3 4 1
u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&
x x
x x
x x
x x
[ ]1 1y = xxxx
(1) 求系统的单位阶跃响应; (2) 求系统的脉冲响应。
(1)解 ,
0 1
3 4
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
A
A
A
A [ ]
1
, 1 1
1
⎡ ⎤
= =⎢ ⎥
⎣ ⎦
B C
B C
B C
B C
1
( 4) 3 ( 3)( 1) 0
3 4
λ
λ λ λ λ λ
λ
−
− = = − + = − − =
−
I A
I A
I A
I A
1 21, 3λ λ⇒ = =
时,1 1λ = 1 1
1 1 0 1
3 3 0 1
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
P P
P P
P P
P P
时,2 3λ = 2 2
3 1 0 1
3 1 0 3
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
P P
P P
P P
P P
1 1
1 3
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
P
P
P
P
1
3 1
3 11 2 2
1 1 1 12
2 2
−
⎡ ⎤
−⎢ ⎥−⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎣ ⎦
P
P
P
P
1
3 3
3 3
3 3
3 1
1 10 0 2 2
1 3 1 10 0
2 2
3 1 1 1
2 2 2 2
3 3 1 3
2 2 2 2
t t
t
t t
t t t t
t t t t
e e
e
e e
e e e e
e e e e
−
⎡ ⎤
−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
− − +⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥− − +
⎢ ⎥⎣ ⎦
A
AA
A
P P
P P
P P
P P
将 代入求解公式得:( ) 1( )u t t=
3 3
1
3 3 2
3 1 1 1
(0)2 2 2 2( )
(0)3 3 1 3
2 2 2 2
t t t t
t t t t
e e e e
x
t
x
e e e e
⎡ ⎤
− − +⎢ ⎥ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥− − +
⎢ ⎥⎣ ⎦
x
x
x
x
+
3( ) 3( )
3( ) 3( )
0
131
12 3 3 3
t
t t t t
t t t t
e e e e
d
e e e e
τ τ τ τ
τ τ τ τ
τ
− − − −
− − − −
⎡ ⎤− − + ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫
3 3
1 2
3 3
1 2
3
(0) (0) 1
2 2
3 3 3
(0) (0) 1
2 2
t t t t
t
t t t t
t
e e e e
x x e
e e e e
x x e
⎡ ⎤− −
− + −⎢ ⎥
⎢ ⎥=
− −⎢ ⎥
− + −⎢ ⎥⎣ ⎦
若取 ,则有(0) 0=xxxx
1
( )
1
t
t
e
t
e
⎡ ⎤−
= ⎢ ⎥
−⎣ ⎦
x
x
x
x
[ ] [ ]
1
1 1 ( ) 1 1 2 2
1
t
t
t
e
y t e
e
⎡ ⎤−
= = = −⎢ ⎥
−⎣ ⎦
x
x
x
x
(2)解 由(1)知
t
e =AAAA
3 3
3 3
3 1 1 1
2 2 2 2
3 3 1 3
2 2 2 2
t t t t
t t t t
e e e e
e e e e
⎡ ⎤
− − +⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥− − +
⎢ ⎥⎣ ⎦
取 ,则有( ) (0)u t δ=
3 3
1
3 3 2
3( ) 3( )
3( ) 3( )
0
3 3
1 2
3
1
3 1 1 1
(0)2 2 2 2( )
(0)3 3 1 3
2 2 2 2
131
(0)
12 3 3 3
3
(0) (0)
2 2
3 3
(0)
2
t t t t
t t t t
t
t t t t
t t t t
t t t t
t
t t
e e e e
x
t
x
e e e e
e e e e
d
e e e e
e e e e
x x e
e e
x
τ τ τ τ
τ τ τ τ
δ τ
− − − −
− − − −
⎡ ⎤− − +⎢ ⎥ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥− − +
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− − + ⎡ ⎤
+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦
− −
− +
=
−
−
∫
x
x
x
x
3
2
3
(0)
2
t t
t
e e
x e
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
若取 ,则有 ,
0
(0)
0
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
x
x
x
x ( )
t
t
e
t
e
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
x
x
x
x [ ]( ) 1 1 2
t
t
t
e
y t e
e
⎡ ⎤
= =⎢ ⎥
⎣ ⎦
3.113.113.113.11 求下列系统在输入作用为:① 脉冲函数;② 单位阶跃函数;③ 单位斜坡函数下
的状态响应。
(1)
1
0
0 1
a
b a
u
b
a b
⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎡ ⎤ −= + ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
&
x x
x x
x x
x x
(2)
( )
0 1 0
1
u
ab a b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦
&
x x
x x
x x
x x
(1111)解
0 0
0 0
at
t
bt
a
e
e
b
e
−
−
− ⎡ ⎤⎡ ⎤
= ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A
AA
A
A
A
A
A
① ,( ) ( )u t tδ=
( )
( )
( )
( )
( )
1
( )0
2
1
2
1
00 0
0
0 10 0
1
(0)
1
(0)
at a t
t
bt b t
at at
bt bt
x
e e
b a
t d
x
e e
a b
e x e
b a
e x e
b a
τ
τ
δ τ
− − −
− − −
− −
− −
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −= + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤
+⎢ ⎥−= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥−⎣ ⎦
∫xxxx
取 ,则( )0 0=xxxx
( )
1
1
at
bt
e
b a
t
e
b a
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥−= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥−⎣ ⎦
x
x
x
x
② ,( ) ( )1u t t=
( )
( )
( )
( )
( )
1
( )0
2
1
2
0 1
1
0
1
(0)
( ) ( )
1
(0)
( ) ( )
at
a t
t
bt
b t
at
at
bt
bt
e x
e
t d
e x
b a
e
e
e x
a b a a b a
e
e x
b b a b b a
τ
τ
τ τ
− − −
− − −
−
−
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=
⎢ ⎥
+ −⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
∫xxxx
若取 ,则有( )0 0=xxxx ( )
1
( ) ( )
1
( ) ( )
at
bt
e
a b a a b a
t
e
b b a b b a
−
−
⎡ ⎤
−⎢ ⎥− −⎢ ⎥=
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
x
x
x
x
③ ,( )u t t= ( )
( )
1
( )
2 0
(0) 1
(0)
t
at
a t
bt
b t
e x
e
t td
b a
e x
e
τ
τ
τ
− − −
− − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= + ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦
∫xxxx
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
1
2
2 2
1 2 2
2 2 2
1
0 1
0 1
1
0
1
0
at
at
bt
bt
at
at
bt
bt
t e
e x
a a a
e x b a
t e
b b b
t e
e x
a b a a b a a b a
t e
e x
b b a b b a b b a
−
−
− −
−
−
−
−
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥⎡ ⎤
⎢ ⎥= +⎢ ⎥
− ⎢ ⎥⎣ ⎦ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
+ + −⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=
⎢ ⎥
− − +⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
若取 ,则有( )0 0=xxxx
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
1
1
at
bt
t e
a b a a b a a b a
t
t e
b b a b b a b b a
−
−
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥− − −⎢ ⎥=
⎢ ⎥
− − +⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
x
x
x
x
(2222)解
( )
0 1 0
,
1ab a b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + ⎣ ⎦⎣ ⎦
A B
A B
A B
A B
( )
( ) ( )( )
1
0
ab a b
a b ab a b
λ
λ
λ
λ λ λ λ
−
− =
+ +
= + + + = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦
I A
I A
I A
I A
所以 1 2,a bλ λ= − = −
时,1 aλ = − 1 1
1 0 1
0
a
ab b a
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
P P
P P
P P
P P
时,2 bλ = − 2 2
1 0 1
0
b
ab a b
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
P P
P P
P P
P P
1 1
a b
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
P
P
P
P
1 11
1
b
a
b a
− − −⎡ ⎤= ⎢ ⎥− + ⎣ ⎦
P
P
P
P
1 1 1 10 01
10 0
1
at at
t
bt bt
at bt at bt
at bt at bt
b
e e
e
a b a
a b
e e
be ae e e
a b
abe abe ae be
− −
−
− −
− − − −
− − − −
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤− + − +
= ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
A
AA
A
P P
P P
P P
P P
① ,( ) ( )u t tδ=
( ) 1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
(0)1
(0)
01
(0)
1
( )1
at bt at bt
at bt at bt
t
a t b t a t b t
a t b t a t b t
bt at
x
be ae e e
t
x
a b
abe abe ae be
be ae e e
d
a b
abe abe ae be
ae be x
a b
τ τ τ τ
τ τ τ τ
δ τ
− − − −
− − − −
− − − − − − − −
− − − − − − − −
− −
⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤
+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦
−
=
−
∫
x
x
x
x
1 2
1 2
(0) ( ) (0)
( ) (0) ( ) (0)
at bt at bt
at bt at bt at bt
e e x e e
abe abe x ae be x ae be
− − − −
− − − − − −
⎡ ⎤+ − + − +
⎢ ⎥
− + − + −⎣ ⎦
取 , 则有(0) 0=xxxx
1
( )
at bt
at bt
e e
t
a b
ae be
− −
− −
⎡ ⎤− +
= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦
x
x
x
x
② ,( ) ( )1u t t=
( )
( )
( )
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0
1
01
0
01
1( )
1
( ) (0)1
at bt at bt
at bt at bt
a t b t a t b t
t
a t b t a t b t
bt at
x
be ae e e
t
x
a b
abe abe ae be
be ae e e
d
a b
abe abe ae be
ae be x
a b
τ τ τ τ
τ τ τ τ
τ τ
− − − −
− − − −
− − − − − − − −
− − − − − − − −
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤− + − +
= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤
+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦
−
=
−
∫
x
x
x
x
2
1 2
1 1 1 1
( ) (0)
( ) (0) ( ) (0)
at bt at bt
at bt at bt at bt
e e x e e
b a a b
abe abe x ae be x e e
− − − −
− − − − − −
⎡ ⎤
+ − + + − + −⎢ ⎥
⎢ ⎥
− + − − +⎣ ⎦
取 , 则有(0) 0=xxxx
1 1 1 1
1
( )
at bt
at bt
e e
t
b a a b
a b
e e
− −
− −
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥=
⎢ ⎥−
− +⎣ ⎦
x
x
x
x
③ ,( )u t t=
( )
( )
( )
( )
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
1
01
0
01
1
( ) 0 (
1
at bt at bt
at bt at bt
t
a t b t a t b t
a t b t a t b t
at bt
x
be ae e e
t
x
a b
abe abe ae be
be ae e e
d
a b
abe abe ae be
be ae x e
a b
τ τ τ τ
τ τ τ τ
τ τ
− − − −
− − − −
− − − − − − − −
− − − − − − − −
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤− + − +
= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤− + − + ⎡ ⎤
+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦
− + + −
=
−
∫
x
x
x
x
( )
( ) ( )
2 2 2
1 2
1 1
) 0
1 1
( ) 0 ( ) 0
at bt
at bt
at bt
at bt at bt
at e bt e
e x
a b
at e bt e
abe abe x ae be x
a b
− −
− −
− −
− − − −
⎡ ⎤− + − +
+ − +⎢ ⎥
⎢ ⎥
− + − +⎢ ⎥
− + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
取 , 则有(0) 0=xxxx ( )
2 2
1 1
1
1 1
at bt
at bt
at e bt e
a b
t
a b
at e bt e
a b
− −
− −
⎡ ⎤− + − +
− +⎢ ⎥
⎢ ⎥=
− − + − +⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
x
x
x
x
3.123.123.123.12 线性时变系统 的系数矩阵如下。试求与之对应的状态转移矩阵( ) ( ) ( )t t t=&x A xx A xx A xx A x
(1) (2)( )
0 1
;
0
t
t
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
A
A
A ( )
0 0
0
t
t
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
A
A
A
(1) 解 ( )
0 1
0
t
t
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
A
A
A
因为 ( ) ( ) 21 2
1 2 1 2
0 1 0 1 0
0 0 0
t
t t
t t t t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A A
A A
A A
A A
( ) ( ) 12 1
2 1 1 2
0 1 0 1 0
0 0 0
t
t t
t t t t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A A
A A
A A
A A
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1t t t t≠A A A AA A A AA A A AA A A A
说明 和 是不可交换的,亦即 和 是不可交换的。( )1tAAAA ( )2tAAAA ( )tAAAA ( )
0
t
t
dτ τ∫ AAAA
则按下式计算状态转移矩阵
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
0 0 0
1 2
0 0 0
0 1 2 2 1
1 2 3 3 2 1
,
t t
t t t
t
t t t
t t I d d d
d d d
τ
τ τ
τ τ τ τ τ τ
τ τ τ τ τ τ
= + +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ L
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
A A A
ΦΦΦΦ
为此计算:
0
0
2 2
0
0
0 1
( ) 1
0 0 ( )
2
t t
t t
t t
d d
t t
τ τ τ
τ
−⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎣ ⎦
∫ ∫AAAA
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
0 0 0
0
1 0
1 2 2 1 12 2
1 1 0
22 2
0 01 0
1
23 2 2 2
1 1 0 0
0
0 1
1
0 0 ( )
2
11
00 ( )
62
1 1
0 ( ) 0
2 8
t t
t t t
t
t
t
d d d
t
t t t t
t
d
t t t
τ
τ
τ τ τ τ τ
τ
τ
τ
τ
τ τ
−⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ − +− ⎢ ⎥⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫
A A
A A
A A
A A
M
所以状态转移阵为
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0 0 0
0 2 2 22 20
0
2
0 0 0
2 2 2 2 2
0 0
1
0 0
1 0 6, 1
0 1 10 ( )
02
8
1
1 ( )
6
1 1
0 1 ( ) ( )
2 8
t t
t t t t
t t
t t
t t
t t t t t t
t t t t
⎡ ⎤− − +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
− + − + +⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥+ − + − +
⎢ ⎥⎣ ⎦
L
L
L
ΦΦΦΦ
(2)解
0 0
( )
0
t
t
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
A
A
A
对应系统自治状态方程为
1
2 1
0x
x tx
=⎧
⎨
=⎩
&
&
求解得到
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0
2 2
2 1 0 1 0 0 2 00.5 0.5
x t x t
x t x t t x t t x t
=
= − +
再任取两组线性无关初始状态变量:
( ) ( )
( ) ( )
1 0 2 0
1 0 2 0
0, 1;
2, 0
x t x t
x t x t
= =
= =
可导出两个线性无关解:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 2
0
20
,
1
t t
t t
⎡ ⎤⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
x x
x x
x x
x x
由此,得到系统的一个基本解阵:
( ) ( )1 2 2 2
0
0 2
( )
1
t
t t
⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦ −⎣ ⎦
x x
x x
x x
x xΨΨΨΨ
于是,利用状态转移矩阵关系式,即可定出状态转移矩阵 :0( , )t tΦΦΦΦ
1
0 0
1
2 2
0
2 2
0
2 2
0 0
2 2
0 0
( , ) ( ) ( )
0 2 0 2
1 1 0
1 0
0.5 0.5 1
1
1
t t t t
t t
t t
t t t t
t t t t
−
−
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤− + −
= ⎢ ⎥
− + −⎣ ⎦
Φ Ψ ΨΦ Ψ ΨΦ Ψ ΨΦ Ψ Ψ
3.143.143.143.14 已知线性定常离散系统的差分方程如下:
( ) ( ) ( ) ( )2 0.5 1 0.1y k y k y k u k+ + + + =
若设 ,试用递推法求出 。( ) ( ) ( )1, 0 1, 1 0u k y y= = = ( ) , 2,3, 10y k k = LL
解 (2) 0.1 (0) 0.5 (1) (0) 0.1 1 0.5 0 1 0.9y y y u= − − + = − × − × + =
同理,递推得:
(3) 0.55, (4) 0.635, (5) 0.6275,
(6) 0.6228, (7) 0.6259, (8) 0.6248,
(9) 0.6250, (10) 0.6250
y y y
y y y
y y
= = =
= = =
= =
3.153.153.153.15 设线性定常连续时间系统的状态方程为
,1 1
2 2
0 1 0
0 2 1
x x
u
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&
&
0t ≥
取采样周期 ,试将该连续系统的状态方程离散化。0.1T s=
解
① 首先计算矩阵指数 。采用拉氏变换法:teAAAA
( )
1
11 1 1
0 2
t
s
e L s L
s
−
−− −
⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪⎡ ⎤= − = ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭
A
AA
A
I A
I A
I A
I A
( )
1
2
2
1 1
( 2)
1
0
( 2)
1 0.5 1
0
t
t
s s s
L
s
e
e
−
−
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥+
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎡ ⎤−
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
② 进而由公式(3.19)计算离散时间系统的系数矩阵。
( )2
2
1 0.5 1
0
T
T
T
e
e
e
−
−
⎡ ⎤−
= = ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
A
AA
A
G
G
G
G
将 代入得0.1T s=
1 0.091
0 0.819
T
e
⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
A
AA
A
G
G
G
G
( ) ( )
2
20 0
2
2
2
2
1 0.5 1 0
10
00.5 0.25 0.25
10 0.5 0.5
0.5 0.25 0.25
0.5 0.5
0.005
0.091
t
T T
t
t
T
T
T
T
e
e dt B dt
e
T T e
e
T e
e
−
−
−
−
−
−
⎧ ⎫⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎪ ⎪
= = ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
⎡ ⎤+ − ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤+ −
= ⎢ ⎥
− +⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫AAAAHHHH
③ 故系统离散化状态方程为:
( )
( )
( )
( )
( )1 1
2 2
1 1 0.091 0.005
1 0 0.819 0.091
x k x k
u k
x k x k
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3.163.163.163.16 已知线性定常离散时间系统状态方程为
;
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
1 1
1 1 02 8
1 1 1 0 1
8 2
x k x k u k
x k x k u k
⎡ ⎤
⎢ ⎥+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
= +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
( )
( )
1
2
0 1
0 3
x
x
⎡ ⎤ −⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
设 与 是同步采样, 是来自斜坡函数 的采样,而 是由指数函( )1u k ( )2u k ( )1u k t ( )2u k
数 采样而来。试求该状态方程的解。te−
解
① 首先用 Z变换法求状态转移矩阵:
1
1
1 1 1 1
12 8 2 8( )
3 51 1 1 1( )( )
8 88 2 8 2
1 1 1 1
2 2 4 4
3 5 5 3
8 8 8 8
1 1 1 1
4 4 2 2
5 3 3 5
8 8 8 8
z z
z
z z
z z
z z z z
z z z z
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −− − −
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
+ −⎢ ⎥
⎢ ⎥− − − −
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥− +
⎢ ⎥− − − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
I G
I G
I G
I G
( ) 1 1
1 5 1 3 1 5 1 3
( ) ( ) ( ) ( )
2 8 2 8 4 8 4 8( )
1 5 1 3 1 3 1 5
( ) ( ) ( ) ( )
2 8 2 8 2 8 2 8
k k k k
k k k k
k Z z z
− −
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥
⎡ ⎤= − = ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥− +
⎢ ⎥⎣ ⎦
I G
I G
I G
I GΦΦΦΦ
② 利用 即可求得。 或用 Z变换法,由
1
1
( ) ( ) (0) ( 1) ( )
k
i
k k k i i
−
=
= + − −∑x x Hux x Hux x Hux x HuΦ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ
求得。( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -11 10 -k Z z z Z z z− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦x I G x I G Hux I G x I G Hux I G x I G Hux I G x I G Hu
第3章“状态方程的解”习题解答