一、单项选择
题
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：（每小题4分，共24分） 大一《高等数学A》 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2．设函数 连续, 且 , 则存在 , 使得（ ） A. 在 内单调增加. B. 在 内单调减小. C.对任意的 有 D.对任意的 有 . 3．设 时， 与 是同阶无穷小，则 为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4．在 内方程 （ ） A.无实根 B.有且仅有一个实根 C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根 5．设 对任意 均满足 ，且 ，其中 为非0非1的常 数，则（ ） A. 在 处不可导 B. 在 处可导，且 C. 在 处可导，且 D. 在 处可导，且 6．设 ， ，且在 内 ，则在 内（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分,共24分） 7．设函数 可表示成 ，其中 为偶函数， 为奇函数，则 = , = . 8． . 9．设 ，则当 ， 时， 处处可导。 10．设 由方程 所确定，则曲线 在 处的法线方 程为 . 11．设 可导，函数 由 所确定，则 . 12．设 有任意阶导数且 ，则 .（n>2） 三、解答题（每小题9分，共27分） 13．求极限 ，记此极限为 ，求 的间断点，并指出其类型. 14．设 ， ，求 . 15．已知 在 处 ， 有反函数 ，求 . 四、证明题（每小题9分，共18分） 16．设 ， ，证明数列 收敛，并求 。 17．设 在 上二次可微，且 ，证明：存在 ，使 . 五、
应用题
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（本题7分） 18．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速度为1cm/s，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？ 参考答案 一、单项选择题: 1. B 2. C, 3. C, 4. C, 5. D, 6. A. 二、填空题： 7． 8．1 9． , 10． , 11． ; 12． 三、解答题： 13．解： ， 间断点为 。 因为 ，所以 为第一类间断点，其余间断点属于第二类，无穷间断点。 14．解：令 ，则 ，所以 。 15．解：因 ，所以， ， 。 四、证明题： 16．证明： ， 。 假设 和 ，则 和 ，所以 存在。 设 ，在 两边令 ，有 ，所以 ，即 。 17．证明：令 。在 上， ， ，由罗尔定理，存在 ，使 。 又 ， ， ，再对 应用罗尔定理，存在 ，使 ，即 。 五、应用题： 18．解：设漏斗在时刻t的水深为h（cm），筒中的水深为H（cm），则漏斗中水面半径满足 ，即 。设盛满溶液时漏斗的体积为 ，则有 上式两边对 求导，得 。 代入 ， ，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为 。
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