第5章刚体定轴转动d

nullnull§ 5.1 刚体平动和定轴转动二、刚体运动的分类平动 刚体中任意两质点连线在运动过程中保持平行的运动，称为平动。此类运动，任意两点的轨道形状、速度、加速度都相同。一、质点系力学性质的分类刚体任意两质点间距离不变的质点系，称为刚体。变形体至少一对质点间距可变的质点系，称为变形体。null 刚体在运动过程中，能且只能在刚体上找到两点保持不动，这种运动称为定轴转动。定轴转动转动转动还包含以下几种特殊形式：定轴转动、定点转动、平面平行运动等。刚体中至少（任意）两质点连线在运动过程中方向变化的运动，称为转动。Rigid bodyRotational theoremnull定轴转动有以下特征： 1 、任意一点的运动轨道都是圆轨道，并且圆心是轨道面与定轴的交点。 2 、所有质点的转动角速度都相同，线速度与该质点到定轴的距离成正比。定轴转动定点转动null转动平面某质点所在的圆周平面，称为转动平面。三、刚体转动的角量描述角位矢（角坐标）、角位移、角速度、角加速度。以刚体上任一点为坐标原点，过该点垂直于转轴的直线为 X 轴，转轴为 Z 轴。转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。坐标系参考线转心某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。矢径某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。null1.角坐标—描写刚体转动位置的物理量。转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与参考线间的夹角 。单位：弧度，rad角坐标为标量。Reference line 角位矢的大小等于角坐标，其方向由右手螺旋法则确定，或规定正方向（逆时针）后由其值的正负确定。角坐标显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。null2.角位移—描写刚体位置变化的物理量。刚体初始角坐标末态角坐标刚体的角位移单位：弧度， rad角位移是赝矢量，对无限小转动是矢量：时是矢量。角位移方向的确定方法同角位矢。Reference line即：null3.角速度—描写刚体转动快慢和方向的物理量。⑴平均角速度即：刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。单位：弧度/秒， rad/s，s-1转/分， rev/minnull⑵ 角速度① 用平均角速度代替变化的角速度；② 令取极限；即：角速度为角坐标对时间的一次导数。方向：右手四指沿刚体转动方向，伸直的大拇指的指向为角速度的方向。定轴转动的角速度方向只有两个，因此在规定正方向（逆时针方向）后，角速度方向可用其值的正负表示。null4.角加速度—描写角速度变化快慢和方向的物理量。⑴ 平均角加速度即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。⑵ 角加速度①用平均角加速度代替变化的角加速度；②令取极限；即：角速度对时间 t 的一次导数，或角位矢对时间 t 的二次导数。null单位：弧度/秒2 ，rad/s2,s-2方向：角速度变化的方向。 角加速度是矢量，但对于定轴转动角加速度的方向只有两个，只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。null一、力矩 力对转轴的力矩等于在转动平面内的分力 F 的大小和 F 与轴之间的垂直距离 d 的乘积。根据矢量乘积法则：用矢量方法表示力矩：§ 5.2 刚体定轴转动定律nullM 的方向垂直于 r 与 F 构成的平面：规定正方向后，力矩的方向可由正负号确定。容易证明：刚体内各质元间的内力力矩的矢量和恒为 0 。单位：牛顿·米，N·m方向：从r右旋到F，大拇指指向。null解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，细杆的质量密度质元质量质元受阻力矩例：一匀质细杆，长为l 质量为m，在摩擦系数为m的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 Mf。null细杆受的阻力矩由细杆质量有null由牛顿运动定律推导根据牛顿第二定律有：二、转动定律切向：法向：null外力矩内力矩 对所有质点求和，且它们的角加速度β均相同，有：合外力矩合内力矩null 因为内力中任一对作用力和反作用力的力矩为零，所以:令则定轴转动定律—— 刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。null 瞬时性；即同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。null三、解题方法及应用举例1. 确定研究对象。2. 受力 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，并求外力的力矩。3. 列方程求解 平动物体-----牛顿第二定律或动量定理 转动刚体-----转动定理第一类问题：已知运动情况和J，确定运动学和动力学的联系第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。null第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联系例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速度为 ωo ，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 Mf。null解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：细杆绕一端的转动惯量null则摩擦阻力矩为：null第二类问题：已知 J 和力矩 M：求出运动情况和b及F 。例：质量为 m1 和 m2 两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R ，质量为 M ，求： m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1,T2 。null解：受力分析（1）（2）（3）null补充方程：（ 4 ）联立方程(1)---(4)讨论：当 M=0 时null第三类问题：已知运动情况和力矩 M ，求未知刚体转动惯量 J 。例：测轮子的转动惯量用一根轻绳缠绕在半径为 R ，质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t,求轮子的转动惯量 J 。null分别以 m、M 为研究对象物体从静止下落时满足补充方程：联立方程(1)----(4)null四、转动惯量 当切断电风扇的电源后，电风扇并不是马上就停止转动，而是转动一段时间后才停止转动，即转动的物体也有惯性，刚体的转动惯性与什么有关呢？质点的平动动能为： 刚体定轴转动时，各质点作圆周运动，刚体的动能等于各质点动能之和：null与平动动能比较则刚体的动能为：相当于描写转动惯性的物理量单位：千克·米2 ，kg·m2上式只适用于离散质点系的转动惯量计算。1.转动惯量①与刚体质量有关。②与质量对轴的分布有关。③与轴的位置有关。null 对于质量连续分布的刚体，计算转动惯量时，将刚体分割成无限多个质元，2.连续质点系转动惯量的计算① 确定刚体的质量密度；② 建立坐标系，转心为坐标原点；③ 确定质量元 dm ；④ 由定义计算。null例1：在无质轻杆的 b 处 3 b 处各系质量为 2 m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量 J 。解：由转动惯量的定义null例2：长为 l，质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J 。解：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：建立坐标系，原点选在质心。取质点 dm, 长度为 dx。绕细杆质心垂轴的转动惯量为null例3：长为 l,质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端转动，求转动惯量J 。解：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：建立坐标系，坐标原点选在一端。取质点 dm，长度为 dx。绕细杆一端的转动惯量为null例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量 J 。解：分割质点 dm圆环上各质点到轴的距离相等，绕圆环质心轴的转动惯量为null例5：半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量 J 。解：圆盘为面质量分布，单位面积的质量为：取细圆环，半径为 r， 宽为 dr由圆环的转动惯量公式则圆环质量null由则圆盘的转动惯量为：null薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直圆筒转轴沿几何轴3.典型的几种刚体的转动惯量null圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直null细棒转轴通过中心与棒垂直细棒转轴通过端点与棒垂直null球体转轴沿直径球壳转轴沿直径null4.平行轴定理平行轴定理：刚体绕平行于质心轴的转动惯量J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上体质量与两轴间的距离平方的乘积。刚体绕质心轴的转动惯量最小。null例1：再以绕长为 l,质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理计算转动惯量 J 。解：绕细杆质心的转动惯量为：绕杆的一端转动惯量为结果与前相同。null例2：半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘平面的边缘轴转动，求转动惯量 J 。解：绕圆盘质心轴的转动惯量为：由null5.垂直轴定理垂直轴定理：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。定理证明：对于平面刚体，绕x、y轴的转动惯量分别为：null证毕绕 z 轴的转动惯量为：null例：半径为R质量为M的圆盘，求绕直径轴的转动惯量Jy。解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转动惯量为：null 在质点动力学中介绍了力对时间和空间的累积效应，分别引入了冲量和功的概念本节讨论力矩的时间累计效应—冲量矩。对定轴转动：当 J 为常量时：这是角动量定理的一般形式。§ 5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律一、角动量定理单位：千克·米2/秒，kg· m2/s方向：与角速度方向一致。动量矩对参考点的动量矩：对该点的转动惯量与角速度之积,亦称为角动量。null冲量冲量矩冲量矩：力对该轴的力矩对时间的积分。单位：牛顿·米·秒， N · m · s二、冲量矩定理平动中的冲量定理若用dt同时乘角动量定理两端：冲量矩定理冲量矩定理：合外力的冲量矩等于刚体对同一轴的角动量的增量。null1.确定研究对象。2.受力分析（考虑产生力矩的力）。3.规定正向，确定始末两态的角动量4.应用定理列方程求解。冲量矩定理的应用null解：在力 F 冲击的瞬间，认为细杆还未摆起，重力不产生力矩，只有力 F 产生力矩，视为恒力矩由角动量定理：例 1 ：一冲击力 F ，冲击一质量为 m ，长为 l ，竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t,求在竖直位置时杆的角速度。null由冲量矩定理：条件：当刚体所外力矩的矢量和为 0 时，三、角动量守恒率即：或：角动量守恒定律：当合外力矩矢量和为 0 时，刚体的角动量守恒。①.对于刚体定轴转动，转动惯量 J 为常数，角速度 w 也为常数，w = wo即刚体在外力矩的矢量和为 0 时，如原来静止，则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。注意：null②.对于非刚体，转动惯量发生变化的物体，由于 Jw=C ， 例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。③. 质点在有心力作用下的角动量总是守恒的。④. 角动量总是守恒定律对非刚体同样成立，但J是变化的。null 再如：跳水运动员的“曲身—展体”动作，当运动员跳水时曲身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。null例 ：人与转盘的转动惯量Jo=60kg·m2，伸臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度 w1=3 rad·s-1，求收臂时的角速度 w2 ，机械能是否守恒？null解：整个过程合外力矩为 0 ，角动量守恒，由转动惯量的减小，角速度增加。在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。null作业 《大学物理学上册》 P.1281 、 3 、 4 、 7 、 8 、 9 、 11 、 12 、 16 、19 、 20 ；null 当刚体在外力作用下发生转动时，外力必然对刚体作了功。下面我们将把力的功改用力矩的功代替。由刚体定轴转动定律，有M为常数时：力的元功动能力矩的元功转动动能§5.5 转动功、转动动能 null 显然刚体所受外力只在转动平面内的切向分力才作功。一、力矩的功其中：则： 由功的定义null力矩的功：即力矩对角位矢的积分。由于： 令： 则： 转动功平动功null即转动功率为:由功率的定义：二、力矩的功率转动功率平动功率null其中：——转动动能——力矩的元功对任意定轴转动过程（J =常数）：三、转动的动能定理 刚体在力矩作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，其效果是改变刚体的转动状态。由于：null令：为刚体的转动动能刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。转动动能定理平动动能定理则：即：或：null 如果刚体既有平动又有转动——刚体的平面平行运动，则其总动能包含其（质心）的平动动能和绕过质心的垂直轴的转动动能。 如果研究对象中既有平动物体（质点、刚体）又有转动刚体，在考虑刚体绕定轴转动动能的情况下，可将质点系的动能定理、功能原理和机械能守恒定律推广到包含刚体的物体系。null四、应用转动动能定理解题方法1.确定研究对象。2.受力分析，确定作功的力矩。3.确定始末两态的动能，Eko、Ek。4.列方程求解。null解：以杆为研究对象，只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。重力矩作功：例：一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。null始末两态转动动能：由动能定理：本题也可用机械能守恒定律计算因为：得：null五、质点系的机械能守恒定律 当系统中（可能包含多个刚体与柔体）既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功时，质点系的机械能守恒，即：其中:平动动能转动动能重力势能弹性势能null解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。选择弹簧原长为弹性 0 势点，物体下落 h 时为重力 0 势点。例：如图所示的物体系中，劲度系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，质量为 m 的物体从静止开始下落,求下落 h 时物体的速度 v。求解得：null例1：如图所示，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转动，大圆盘质量为 m1、半径为 R，小圆盘质量为 m2、半径为 r，两圆盘都用力 F 作用，求角加速度。解：以 m1、 m2 为研究对象，它们有共同的角加速度，只有两主动力 F 产生力矩。由圆盘的转动惯量：思考题得：b为负表示顺时针加速转动。null例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定半径为 R ，质量为 M 的定滑轮。质量为 m 的物体用轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求：下滑加速度 a 。解：物体系中先以物体 m 研究对象，受力分析,在斜面 x 方向上定滑轮可视为圆盘，转动惯量：对滑轮：补充方程：联立得到：因待求量为加速度，所以不宜用功能关系或角动量定理处理。null例3：质量为 m、长为 l 的细杆一端固定在地面的轴上可自由转动，试计算当细杆自由摆至与竖直方向成 角时的角加速度和角速度。解法一：由转动定律，垂直向里。null解法二：机械能守恒定律。选择地面为0势能面，以杆和地球为系统，有：垂直向里。null例4：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质量为 m 的小球以速度 vo 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速度  。解：在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒，弹性碰撞机械能守恒：联立得到：null例5：细线一端连接一质量 m 小球，另一端穿过水平桌面上的光滑小孔。若小球以角速度 0 转动，用力 F 拉线，使转动半径从 r0 减小到 r0/2 。求： （1）小球的角速度； （2）拉力 F 做的功。解：（1）由于线的张力过轴，小球受的合外力矩为0，角动量守恒。半径减小角速度增加。null（2）拉力作功。由动能定理：请考虑合外力矩为0，为什么拉力还作功呢？在定义力矩作功时，定轴转动中只有切向力作功，而法向力与位移垂直不作功。但在本题中，小球受的拉力与位移并不垂直，小球的运动轨迹为螺旋线，法向力要作功。