股价服从跳_扩散模型的可转换债券的定价

　　第 29 卷　第 1 期　 吉首大学学报(自然科学版) Vol . 29 　No. 1 　　 　　2008 年 1 月 Journal of Jishou University (Natural Science Edition) Jan. 2008 　　 文章编号 :1007 - 2985(2008) 01 - 0034 - 05 股价服从跳 - 扩散模型的可转换债券的定价 Ξ 朱　丹 (湖南财经学院 (筹) ,湖南 长沙　410081) 摘　要 :研究了在股价服从跳 - 扩散模型下可转换债券的定价问题 ,并在随机利率下 ,利用 Martingale Pricing 方法推导出 其定价公式. 关键词 :跳 - 扩散模型 ;可转换债券 ;期权 ;风险中性定价 ; Girsanov定理 中图分类号 :F830. 9 ;O211. 63 　　　　　　 文献标识码 :A 考虑在跳 - 扩散模型中可转换债券的定价问题. 可转换债券是一种企业债券和股票期权相结合的混合 证券.首先 ,它具有企业债券的一般特征 ,即债券到期后 ,若债券持有人没有行使转换的权利 ,发行人必须偿 还本金及利息 ;其次 ,它在本质上属于股票期权 ,即投资者在购入该债券时获得在某个时间按敲定的转换价 格转换成股票的权利.但因为它和一般期权相比具备基本的利率保证 ,所以可转换债券具有比一般期权更高 的价值.对发行商来说 ,发行可转换债券实际上等于隐含发行了自己股票的看涨期权 ,其风险与债务成本都 比直接发行股票低 ;另一方面 ,对投资者而言 ,持有这类债券可以在最低收益下限的保证上获得尽可能多的 最大收益 :这些特征都使得市场上可转换债券日益增加. 在中国 ,可转换债券自 1992 年首次出现后 ,尽管由于国内市场不够健全以及政策多变等原因 ,经历了一 段时间的低谷 ,但是从 2003 年开始 ,其在资本市场上所占的市场份额逐步扩大 ,现已成为中国证券市场的生 力军之一.然而 ,它的定价问题一直是困扰着中国证券交易市场的一个难题. 国内外证券界对这一问题做了 很多有益的探索 ,在这一领域已经取得了一定的成果 ,最早的比较有代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 性的研究当属 Ingersoll J [1 ] . 他在假 定可转换债券对应基础股票价格服从对数正态分布的条件下 ,研究了可转换债券的定价问题 ,结论是可转换 债券的市场价值是普通债券的市场价值与权证市场价值之和 ,但具体定价参数仍难以确定. 其后的研究[2 ]多 集中在可转换债券的转换条款对可转换债券定价的影响上.上述研究基本上都假定股价服从对数正态分布. 笔者将鞅论、随机微分方程理论应用到可转换债券的定价问题中 ,在股价服从跳扩散 - 模型下 ,得到了随机 利率下可转换债券的定价公式. 1 　可转换债券的构成要素及价值组成 一般而言 ,普通可转换债券具有以下一些要素 : (1)基本股票 ,它是可转换债券的标的物 ,即可转换债券 可以转换成的那种股票 ; (2)票面利率 ,它给予投资者一个最低收益的保证 ,但通常低于普通债券利率和银行 利率 ,以反映可转换债券期权的价值 ; (3)转换价格 ,即债券发行时就确定了的将债券转换成股票时应付的每 股价格 ,一般高于发行时股票的市场价格 ,否则就意味着贴现发行 ; (4)转换期限 ,即可转换债券的有效期限.Ξ 收稿日期 :2007 - 09 - 14 基金项目 :湖南省教育厅科学研究项目 (06C029) 作者简介 :朱　丹 (1973 - ) ,女 ,湖南衡阳人 ,湖南财经学院 (筹)副教授 ,数理金融硕士 ,主要从事数理金融研究. 2 　模型的假设及预备知识 2. 1 模型假设 在不完全市场中 ,未定权益的定价取决于等价鞅测度的选取. 关于如何选取一个恰当的鞅测度 ,可以参 见文献[3 - 4 ].不失一般性 ,以下假设在给定的市场及其带流概率空间 (Ω , F , P , ( Ft ) 0 ≤t ≤T ) , P 本身即为一 个风险中性鞅测度 ,短期利率 r( t) 严格正且为 Ft 可测的过程.即对市场中任意资产的价格过程Φ( t) ,其对 于无风险资产的贴现过程Φ( t)Πθ( t) 为 P 鞅.其中 θ( t) = exp∫ t 0 r( s) d s 是用来贴现的计价单位 (Numeraire) .假设如下 : (1) 市场为有效的无摩擦市场 ,有 2 种资产. 一种无风险资产 ,称为债券或银行存款 ,其价格过程满足 方程 dB t = r ( t) B t d t +σ1 ( t) B t dWPt ,B T = 1 , 其中 B t = B ( t , T) 为 T时刻到期的零息票债券在时刻 t 的价格.另一种是可转换债券 ,其对应的基本股票价 格过程满足方程 dS t = r( t) S t d t +σ2 ( t) S t dWPt +∫ + ∞ - 1 x (γ(d x ,d t) - λm (d x) d t) , 其中 S t 表示股票在 t 时刻的价格.而σi ( t) ( i = 1 ,2) 分别为相应价格过程在时刻 t 的瞬间 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差 ,σi ( t) 均为 时间 t 的非随机函数 ,且满足可积条件 : ∫ T 0 σi 2 ( t) d t < ∞; dWPt 表示在概率测度 P下布朗运动在 t 时刻的瞬间增量 ;γ(d x ,d t) 为[0 , T ] ×( - 1 , + ∞) 上对等于一个复 合泊松过程 ( Nt , ( Ui ) i ≥1 ) 的时齐泊松测度 (homogeneous Possion random measure) ;λm (d x) d t 为γ(d x ,d t) 的 补偿测度 ,其中参数λ为泊松过程 Nt = γ([0 , t ] ×( - 1 , + ∞) ) 的强度参数 ,其经济解释是在[0 , t ] 内股票 价格异常随机跳跃的次数 , m (d x) 为平方可积的独立同分布随机变量序列 ( Ui ) i ≥1 的概率测度且 Ui > - 1(否 则会出现负的价格) , (λ, m (d x) ) 为随机测度γ(d x ,d t) 的局部特征[5 ] , ( WPt ) t ≥0 , ( Nt ) t ≥0 以及 ( Ui ) i ≥1 相互 独立. (2) 股票交易连续进行 (即在任何时刻均可进行) ,不存在交易费用及交易税. (3) 债券利息按连续复利计算. (4) 可转换债券无违约风险. 2. 2 预备知识 引理 1(Girsanov定理) 　(Ω , F , P) 是一概率空间 , F是由Ω的所有子集构成的σ - 代数 ,如果 (θt ) 0 ≤t ≤T 是一个满足∫ t 0 θ2s d s < ∞的适应过程 ,且下列过程 (L t ) 0 < t ≤T 是一个鞅 : L t = exp ( -∫ t o θs d WPs - 12∫ t 0 θ2s d s) , 其中{ WPt ,0 ≤ t ≤ T} 是该概率空间 P 上的一维标准布朗运动 ,那么在概率测度 PL 下 ,定义为 W 3t = Wt +∫t0θs d s 的过程 ( W 3t ) 是 (Ω , F , PL ) 上的标准布朗运动. 定义1 　定义以 B t 作为计价单位的测度 PB ,使得对任意给定的 t ∈[0 , T ] , PB 在 Ft 上的Radon2Nikodym 导数为 d PB d P | Ft = B t B0θ( t) . 定义2 　定义以 S t 作为计价单位的测度 PS ,使得对任意给定的 t ∈[0 , T ] , PS 在 Ft 上的Radon2Nikodym 53第 1 期　　　　　　　　　朱　丹 :股价服从跳 - 扩散模型的可转换债券的定价 导数为 d PS d P | Ft = S t S0θ( t) . 引理 2[3 ] 　设 X 为市场中一到期时为 T的未定权益 (Contingent claim) ,满足 XΠθ( T) ∈L ( P) ,则其价格 过程为 Φ( t , X) = B t EP B [ X | Ft ]. 引理 3[3 ] 　设 X 为市场中一到期时为 T的未定权益 (Contingent claim) ,满足 XΠθ( T) ∈L ( P) ,则其价格 过程为 Φ( t , X) = S t EP S [ XS T | Ft ]. 特别地 ,当 X = S T ·Y 时 ,有Φ( t , X) = S t EP S [ Y | Ft ]. 3 　随机利率下股价服从跳 - 扩散模型的可转换债券定价 为避免复杂 ,假定可转换债券的转换只可能发生在债券到期时刻 T ,可转换债券到期现金流量 (或到期 值) VT 以公式表示如下 :到期收益为 VT = Pb 　　S T < Pb ·Cv M , M Cv S T 　　S T ≥ Pb ·Cv M . 其中 : VT 代表可转换债券到期时刻 ( T) 的价值 ; Pb = Me iT 代表以票面利率 i 计算的单纯的债券价值 ; M 代表 可转换债券的面值 ; Cv 代表约定的转换价格.那么 ,它在现在 (0 时刻) 的价值 V0 为 V0 = E P [θ- 1 ( T) VT ] = EP [θ- 1 ( T) Pb IS T < Pb·Cv M ] + EP [θ- 1 ( T) M ·S TCv IS T ≥ Pb·Cv M ]. (1) 令 (1) 式中的第 1 ,2 大项分别为 I1 , I2 ,现计算 I1 . 将其以 B t 作为计价单位变换至测度 PB ,由引理 1 ,有 I1 = E P [θ- 1 ( T) Pb IS T < Pb·Cv M ] = PbB0 PB ( S T < Pb ·CvM ) . 令 Y ( t) = S tΠB t ,则由 ItÉ定理[6] ,有 d Y ( t) Y ( t) = σ 2 1 ( t) d t - σ1 ( t) dWPt +σ2 ( t) dWPt +∫ + ∞ - 1 x (γ(d x ,d t) - λm (d x) d t) . 由 Girsanov 定理及定义 1 ,有 d PB d P | Ft = B t B0θ( t) = exp{ - 1 2∫ t 0 σ21 ( s , T) d s +∫ t 0 σ1 ( s , T) dWP}. 在测度 PB 中 ŽW Pt = WPt -∫t0σ1 ( s , T) d s 为 PB 下布朗运动.则由DolΥans2Dade 指数公式[7 ] ,可得上述随机微分 方程的解为 Y ( T) = S0B0 exp{ - λTE( U1 ) - 1 2∫ T 0 Δ2 ( t) d t -∫ T 0 Δ( t) d ŽW t } ·7NT i = 1 (1 + Ui ) . 其中 :Δ( t) = σ21 ( t) +σ22 ( t) , 70 i = 1 = 1 , E( U1 ) =∫ + ∞ - 1 xm (d x) , ŽW t =∫t0 σ1 ( s , T) d ŽW Ps - σ2 ( s) dWPsΔ( s) d s . 注意到 Y ( T) = S T ,则 PB ( S T < Pb ·CvM ) = P B ( Y ( T) < Pb ·CvM ) = 1 - P B (∫ T 0 Δ( t) d ŽW t ≥ 63 吉首大学学报 (自然科学版) 第 29 卷 - 1 2∫ T 0 Δ2 ( t) d t + ln MS0 e - ( U1) 7NT i = 1 (1 + Ui ) B0 Pb ·Cv ) . 由于在 PB 下随机微分∫ T 0 Δ( t) dWt 服从均值为0方差为∫ T 0 Δ2 ( t) d t 的高斯分布 ,再由 ( Nt ) t ≥0 以及 ( Ui ) i ≥1 的独 立性 ,可得 PB ( S T < Pb ·CvM ) = 1 - 6∞n = 0 e -λT (λT) nn ! E[ N ( an1 ) ]. 其中 : E[·]为测度 P下对于独立同分布随机变量序列 ( Ui ) i ≥1 的期望算子 , N ( y) = 1 2π∫ y - ∞ e - x 2 2 d x 为标准正 态分布的累积分布函数 ; a n 1 = - λTE( U1 ) - 12∫ T 0 Δ2 ( t) d t + ln MS0 7nj = 1 (1 + Uj ) B0 Pb ·Cv ∫ T 0 Δ2 ( t) d t . 从而 , I1 = PbB0 {1 - 6∞ n = 0 e - λT (λT) n n ! E[ N ( a n 1 ) ]}. 再考虑 I2 .将其以 S t 作为计价单位变化至测度 PS ,则 I2 = E P [θ- 1 ( T) M ·S TCv IS T ≥ Pb·Cv M ] = MCv S0 P S ( S T ≥ Pb ·CvM ) . 令 Z ( t) = B tΠS t ,则由 ItÉ定理 ,有 d Z ( t) Z ( t) = σ 2 2 ( t) d t + (σ1 ( t) - σ2 ( t) ) dWPt -∫ + ∞ - 1 x 1 + x (γ(d x ,d t) - λm (d x) d t) . 由 Girsanov 定理 ,经过测度变化 ,得 d PS d P | Ft = S t S0θ( t) = ε(∫ t 0 σ2 ( s) dW2s +∫ t 0∫ + ∞ - 1 x (γ(d x ,d s) - (d x) d s) ) . 其中 :ε(·) 为 DolΥan2Dade 指数半鞅 ;γ(d x ,d s) 在 PS 中仍为一个时齐泊松随机测度 ,满足 λS = λ(1 + E( U1 ) ) , mS (d x) = (1 + x) m (d x)1 + E( U1 ) , 即γ(d x ,d t) 在 PS 下的补偿测度为λ(1 + x) m (d x) ,且 Uj 在 PS 下的概率测度为 [ (1 + x) m (d x) ]Π[1 + E( U1 ) ] ,且 ŽW2t = W2t -∫t0σ2 ( s) d s 为 PS 布朗运动.从而 d Z ( t) Z ( t) = Δ( t) d ŽW t -∫+ ∞- 1 x1 + x (γ(d x ,d t) - λ(1 + x) m (d x) d t) , 其中Δ( t) , ŽW t 如前定义. 由 DolΥans2Dade 指数公式 ,可得上述随机微分方程的解为 Z ( T) = B0S0 exp{ TE( U1 ) -∫ T 0 Δ2 ( t) d t +∫ T 0 Δ( t) d ŽW t 7NT i = 1 (1 + Ui ) } , 则 PS ( S T ≥ Pb ·CvM ) = P S ( B TS T ≤ M Pb ·Cv ) = P S (∫ T 0 Δ( t) d ŽW t ≤ 1 2∫ T 0 Δ2 ( t) d t + ln S0 Pb ·Cv e -λTE( U1) ·7NT i = 1 (1 + Ui ) MB0 ) . 73第 1 期　　　　　　　　　朱　丹 :股价服从跳 - 扩散模型的可转换债券的定价 由于在 PS 下随机微分∫ T 0 Δ( t) dWPt 服从高斯分布 ,因此可得 PS ( S T ≥ Pb ·CvM ) = P S ( B TS T ≤ M Pb ·Cv ) = 6∞n = 0 e -λ(1+ E( U1) ) T (λ(1 + E( U1 ) ) T) nn ! EPS [ N ( an2 ) ] =6∞ n = 0 e -λ(1+ E( U1 ) ) T (λ(1 + E( U1 ) ) T) n n ! E[ N ( a n 2 ) 7n i = 1 (1 + Ui )Π(1 + E( U1 ) ) n ] =6∞ n = 0 e - λT (λT) n n ! E[ N ( a n 2 ) e -λTE( U1) 7n i = 1 (1 + Ui ) ]. 其中 : E[·]为测度 P下对于独立同分布随机变量序列 ( Ui ) i ≥1 的期望算子 ; N ( y) = 1 2π∫ y - ∞ e - x 2 2 d x 为标准正 态分布的累积分布函数 ; a n 2 = a n 1 + ∫ T 0 Δ2 ( t) d t . 从而 , I2 = S0 M Cv 6∞n = 0 e -λT (λT) nn ! E[ N ( an2 ) e -λTE( U1) 7ni = 1 (1 + Ui ) ]. 定理 1 　在随机利率下 ,股价服从跳 - 扩散模型的可转换债券在 0 时刻的无套利价格为 V0 = PbB0 {1 - 6∞ n = 0 e - λT (λT) n n ! E[ N ( a n 1 ) ]} + S0 M Cv 6∞n = 0 e -λT (λT) nn ! E[ N ( an2 ) e -λTE( U1) 7ni = 1 (1 + Ui ) ]. 注 1 　若 r( t) 和股价瞬时波动率σ2 ( t) 均为常数 ,则定理 1 中的 a n 1 = - λTE( U1 ) + ( r - 12σ 2 2 ) T + ln S0 M 7nj = 1 (1 + Uj ) Pb Cv σ2 T , a n 2 = a n 1 +σ2 T . 4 　结语 在随机利率下 ,假定股价服从跳 - 扩散模型 ,将无套利定价原理和数学领域的鞅论、随机微分方程理论 结合起来 ,探讨可转换债券的精确定价公式.这不仅将在一定程度上克服中国现有可转换债券的精确定价研 究成果过于片面 (只针对股价服从对数正态分布的普通可转换债券)从而与实际脱轨的不足 ,而且对整个证 券市场的价格定制具有重要的参考价值. 参考文献 : [1] 　INGERSOLL J . 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(下转第 78 页) 83 吉首大学学报 (自然科学版) 第 29 卷 目标的检测问题 ,对图像采用小波分析方法 ,使用小波反变换将背景中低频分量和杂散噪声去除 ,利用自 适应阈值处理 ,采用最大非零像素数分割方法进行分割 ,最后经过插值、填充得出最后的检测结果. 实验结 果表明 ,该方法能有效准确地检测弱小目标 ,并具有较强的抗噪声性能. 参考文献 : [1 ] 　史凌峰. 基于小波分析的一种红外弱小目标检测新方法 [J ] . 系统 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 与电子技术 ,2003 ,25 (8) :1 024 - 1 027. [2 ] 　张 　飞 ,李承芳. 红外背景抑制与弱小目标的检测算法 [J ] . 光学技术 ,2004 ,30 (3) :337 - 339. [3 ] 　张 　弘 ,赵保军 ,等. 低信噪比下抖动的红外弱小目标的实时检测 [J ] . 激光与红外 ,2001 ,31 (4) :225 - 227. [4 ] 　苏新主 ,姬红兵 ,高新波. 一种基于数学形态学的红外弱小目标检测方法 [J ] . 红外与激光工程 ,2004 ,33 (3) :307 - 310. [5 ] 　彭复员 ,周鑫杰 ,胡颖嵩. 基于 K - L 变换的红外图像弱小目标检测与分析 [J ] . 红外与毫米波学报 ,2001 ,20 (3) :238 - 240. [6 ] 　徐永兵 ,裴先登 ,夏 　涌. 基于向量小波变换及 Fisher 算法的红外弱小目标检测 [J ] . 红外技术 ,2004 ,26 (1) :17 - 20 ,24. [7 ] 　张彩梅 ,张启衡. 图像序列中弱小信号目标的检测 [J ] . 光电工程 ,2004 ,31 (3) :44 - 46. [8 ] 　彭真明 ,张启衡 ,魏宇星等. 基于多特征融合的图像匹配模式 [J ] . 强激光与粒子束 ,2004 ,16 (3) :281 - 285. [9 ] 　罗继强 ,吴振森 ,董雁冰 ,等. 强噪声背景下红外弱小目标的快速检测方法 [J ] . 红外与激光工程 ,2004 ,33 (1) :47 - 49. Small Target Detection Based on Wavelet Transform FAN Xiao2bing (College of Physics Science and Information Engineering ,Jishou University ,Jishou 416000 ,Hunan China) Abstract :This paper studies the small moving target detection in the background of the sky ,the ground surface or field. Wavelet analysis and inverted transform to image can remove the low2frequency components and speckle noise. We can obtain good results by adopting adaptive thresholding and using the maximum non2zero pixels segmentation ,in2 terpolation and region filling. Experimental results show that this method can effectively detect and locate small target and has high anti - noise performance. Key words :remove noise ;adaptive threshold ;image segmentation ;small target detection (责任编辑 　陈炳权) (上接第 38 页) Martingale Pricing for Convertible Bond with Risk in Jump2Diffusion Model ZHU Dan (Hunan Financial and Economic College ,Changsha 410079 ,China) Abstract : This paper studies the convertible bond with risk in jump2diffusion model . Under the hypothesis that the stock price is satisfied to geometic Brown motion ,the pricing formulas of the convertible bond are obtained by means of Martingale approach (risk2neutral valuation) . Key words :jump2diffusion model ;convertible bond ;options ;risk2neutral valuation ; Girsanov’s theorem (责任编辑 　向阳洁) 87 吉首大学学报 (自然科学版) 第 29 卷