本资料来源于《七彩教育网》http://www 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 高考数学不等式的证明方法 【摘要】本文介绍的中学数学不等式的证明方法主要有比较法、
分析
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法、综合法、反证法、放缩法、换元法、构造法、数学归纳法。 【关键词】中学数学、不等式、证明、方法 不等式的证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样、根据本人的多年教学实践认为：中学数学不等式的证明主要的也是基本的方法就是比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等几种方法。当然在运用这些方法的过程中还需要运用一些其他方法，如放缩法、换元法、构造法等等，现介绍如下。 一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法 （1）应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。 （2）方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 （3）步骤：“作差----变形----判断符号”。 （4）使用此法作差后主要变形形式的处理： ○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。 ○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。 ○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。 总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。 2．作商比较法 （1）应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或幂、指数时常用此法。 （2）方法：要证A>B,常分以下三种情况： 若B>0，只需证明 ； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明 。 （3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例1 已知a，b∈R，且a+b=1. 求证： . 解析：用作差比较法 即 （当且仅当 时，取等号） 例2：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证： 解析：用作差比较法 ∵ ∵a,b,m都是正数，并且a
0 , b a > 0 ∴ 即： 例3：已知a>b>0,求证： 解析：用作商比较法 ∵ 又∵a>b>0, 例4：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较 的大小。 解析：法1：用作差比较法 ∵0 < 1 x2 < 1, ∴ ∴ 法2：用作商比较法 ∵0 < 1 x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ ∴ ∴ 二、综合法：用综合法证明不等式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证 明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“可知”，逐步推出“结论”综合法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。常用的不等式有： （1） （2） （3） （4） 例5：若a、b、c是不全相等的正数， 求证： 解析：根据本题的条件及要证明的结论，可用综合法证明。 又a,b,c,为不全相等的正数，故有 解析：左式含有分母，右式为整式，故应设法化去左式的分母，考虑用综合法。 ： 三、分析法：分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法一般用于综合法难以证明的不等式。 分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆。 例7：若00,∴只要证a+b<2c 由题设条件，显然有a+b<2c成立。 所以，原不等式成立。 解析：直接不好入手，用分析法证明。要证原不等式成立，只需证明 ∵ ，即有 有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为综合分析法。 四、反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 例9：已知a>0,b>0,且a+b>2 解析：由于题目结论是：至少有一个小于2，情况较复杂，讨论起来比较繁，宜采用反证法。 ∵ a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b, 两式相加可得1+b+1+a≥2（a+b） 即a+b≤2,这与已知a+b>2矛盾。故假设不成立 例10、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于 解析：假设(1 a)b > , (1 b)c > , (1 c)a > , 则三式相乘：ab < (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理： , 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 与①矛盾 ∴原式成立 例11、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 解析：假设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 五：换元法：换元法是将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题的目的方法。它主要有两种换元形式： (1)三角换元法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量
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示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题， (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。 例12：若 ，求证： 解析：由x2+y2≤1，联想到三角函数的性质，考虑用三角换元法。 设 ， 则 例13：已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证 (a+ )(b+ )≥ 解析：证法一 (三角换元法） ∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0， ) 2 证法二 (增量换元法) 设a= +t1，b= +t2 ∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜ ，|t2|＜ 显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立 说明：形如a+b=1结构式的条件，一般都可以采用换元法。换元时，新的变量的变化范围必须保证原来的变量的变化范围不发生变化。 例14：证明：若a > 0，则 解析：根据题目的特点，有时可采用代数换元简化证明。 设 则 （ 当a = 1时取“=” ） ∴ 即 ∴原式成立 六：放缩法：要证明不等式Ａ<Ｂ成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。 放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。 常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。 例15：求证： 解析：舍掉(或加进)一些项进行放缩。 ∵ ∴ 【变式】 ∵ ∴ 说明：本题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。 例16：若a，b，c，d是正数． 求证： 解析：运用放大、缩小分母或分子的办法来进行放缩 ∵ 又 或 （利用 ） ∴ 说明：分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩． 例17：若 ，求证： 解析：根据题目的特点考虑应用均值不等式进行放缩。 ∵ ∴ 例18：当 时，求证： 解析：∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴ 时, . 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 七：构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。 例19： 已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= ， 求证 x，y，z∈［0， ］ 解析：根据题目的特点考虑构造方程求解。 由x+y+z=1，x2+y2+z2= ，得x2+y2+(1－x－y)2= ， 整理成关于y的一元二次方程得 2y2－2(1－x)y+2x2－2x+ =0， ∵y∈R，故Δ≥0 ∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+ )≥0，得0≤x≤ ，∴x∈［0， ］ 同理可得y，z∈［0， ］ （此法也称判别式法） 例20：已知x > 0，求证： 解析：构造函数 则 ， 设2≤< 由 显然 ∵2≤< ∴ > 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x)在 上单调递增，∴左边 例21：证明：对任意的正整数n，不等式 都成立. 解析：从所证结构出发，只需令 ，则问题转化为：当 时，恒有 成立，现构造函数 ，求导即可达到证明。 令 ， 则 在 上恒正， 所以函数 在 上单调递增，∴ 时，恒有 即 ，∴ 对任意正整数n，取 例22：（2004年，全国卷）已知函数 设 ，证明： 解析：本题是2004年全国卷理科压轴题，根据不等式的结构特征可构造一个可导函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式。 证明： ，设 当 时 ，当 时 ， 即 在 上为减函数，在 上为增函数 ∴ ，又 ∴ ， 即 设 当 时， ，因此 在区间 上为减函数； 因为 ，又 ∴ ， 即 故 综上可知，当 时， 例23．已知n∈N，n＞1．求证 分析:虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解． 则 例24：：证明： 并指出等号成立的条件。 解析：不等式左边可看成向量a= 与向量b= 的数量积，又 ,所以 ≤9 当且仅当b=λa(λ>0)时等号成立。 故由 例25：已知0 < a < 1，0 < b < 1， 求证： 解析：根据题目的结构特点钩造几何图形证明。 构造单位正方形，O是正方形内一点 O到AD, AB的距离为a, b， 则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD| 其中 ， 又： ∴ 八：数学归纳法法：当不等式是一个与自然数n有关的命题， 可以利用数学归纳法进行证明。 例26 ： 比较2n与n2的大小（n∈N *） 解析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明 解：当n=1时，21＞12， 当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32， 当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52， 猜想：当n≥5时，2n＞n2 下面用数学归纳法证明： （1）当n=5时，25＞52成立 （2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2， 那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k ＞k2+C +C +C =k2+2k+1=（k+1） 2 ∴当n=k+1时，2n＞n2 由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立 综上，得当n=1或n≥5时，2n＞n2； 当n=2，4时，2n=n2；当n=3时，2n＜n2 例27：证明不等式 (n∈N*) 解析：本题是一个与自然数n有关的命题，可以考虑应用数学归纳法证明。 (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+ ＜2 ， ∴当n=k+1时，不等式成立 综合(1)、(2)得 当n∈N*时，都有1+ ＜2 另从k到k+1时的证明还有下列证法 综上所述；不等式的证明方法灵活多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅要用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其他数学知识，是高中数学的一个难点。但是，只要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，并注意各种方法的渗透，就会取得良好的效果。 参考文献： （1）高二数学《教材完全解读》/王后雄主编—北京；中国青年出版社2004。5（16—20） （2）王庭元 例说不等式证明的八种方法【JSSN】高中数学教与学2004.8(27---28) （3）陈文林 构造函数证明不等式【JSSN】高中数学教与学2004。9（13---14） （4）柯友富 构造法证不等式【JSSN】高中数学教与学2004。10（23---24） 本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！ 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn
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