场论和张量初步

Chapter 1 场论和张量初步 （A）场论 I-1 场的概念 标量场和矢量场 I-1-1 标量场 例如，空间区域 D 上的温度场由该空间内各点的温度构成，或者说，定义在 D 上的温度函 数 被称为 D 上的温度场。采用定义在空间区域 D 上的函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示温度场， 函数 在每一点的值对应该点的温度大小。 ( , , )T x y z ( , , )T x y z ( , , )T x y z 非定常场：各时刻温度分布不同 ( , , , )T x y z t ( , , )x y zρ ，压力场 ，盐度场 。 ( , , )p x y z ( , , )s x y z其它常用标量场：密度场 标量场的等值面： 0( , , , )T x y z t const= （货场——堆放货物的地方，这不是我们的场的概念，它代表一个真实的空间。我们生活在 电磁场中，在我们生活的空间里有手机信号、电视信号等电磁场，这是说这个空间里有 E 和 H 的分布（单连通或复连通），并且 E 和 H 一般不等于零。如果只有离散的几个点 E 和 H 不等于 0，就没必要称之为场。我们研究河水的流动，河中任意一点 ( , , )x y z 都有一个流速， 所有各点的这些流速 就构成流速场。） ( , , )v x y zK I-1-2 矢量场 ( , , )V x y z K ( , , )x y z例如，定义在空间区域 D 上的速度场 ，空间区域 D 上的每一点 对应一个 速度矢量 ，空间区域 D 上的各点的速度矢量构成速度矢量场。 ( , , )V x y z K 非定常场：各时刻速度分布不同 。 ( , , , )V x y z t K ( , , , )E x y z t K 1 其它常用矢量场：加速度场 ，电场强度( , , , )a x y z tK 等。 I-2 梯度、散度和旋度 I-2-1 梯度（描述场的空间非均匀性） x1）方向导数：例如密度场 ( , , , )x y z tρ ，给定时刻 ，在t ( , , )M x y z 附近密度在 方向的变 化率为 0 ( , , , ) ( , , , )lim x x x y z t x y z t x xδ ρ δ ρ δ→ + − = ρ∂∂ 。 lsδ K ( , , )M x y z ( , , )M x x y y z zδ δ δ+ + + 一般地，在给定时刻 t ，沿任意给定方向 sK（ sK代 表一个单位矢量）取相距 lδ M ( , , , )的两点 x y t , ) z 和 sKM ( , ,x x y y z tzδ δ δ+ + + ，密度沿方向 上的 变化率为 0 ( , , , ) ( , , , )lim l x x y y z z t x y z t l lδ ρ δ δ δ ρ δ→ + + + − ∂= ρ∂ . 2）梯度的引入 引入方法一：作 Taylor 展开 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( , , , ) (x y z t x y z t x y z t )x x y y z z t x y z t x y z o l x y z ρ ρ ρρ δ δ δ ρ δ δ δ δ∂ ∂ ∂+ + + = + + + +∂ ∂ ∂ 0 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )lim l x y z t x x y z t y x y z t z l x l y l z lδ ρ ρ δ ρ δ ρ δ δ δ δ→ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ 0 lim , , l x y z l l lδ δ δ δ δ δ δ→ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦s K ，并记 已知 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )grad ( , , , )( ( , , , )) x y z t x y z t x y z tx y z t x y z t i j k x y z ρ ρ ρρ ρ ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ KK K或 ， grad ( , , , )x y z t s l ρ ρ∂ = ⋅∂ K。 于是有 ( , , , ) ( , , , ) x y z t x y z t ρ ρ ∇ ∇grad ( , , , )( ( , , , ))x y z t x y z tρ ρ∇或 即为梯度。显然在方向 上密度的方向导数 最大，也就是说，梯度大小是沿不同方向的方向导数中的最大者，梯度的方向是具有最大方 向导数的方向。 引入方法二： ( , , , ) .x y z t constρ = 确定了三维空间的一族曲面。实例：大气等密度面、等压面。 等值面： 吴书 page 5。 画一系列等 U（电势）面，其梯度的负值——场强 E 的方向沿等势面的法线方向，指向 电势减小的方向；画一系列等密度面 ( , , , ) constantx y z tρ = ，显然梯度的方向应当是密度 变化率最大的方向——等密度面的法向（指向密度增加的方向）。 小结：梯度的主要性质 吴书 page 7。 ( , , , ) ( )x y z t zρ ρ= 2 例 1 已知某海区海水密度垂直层化 ，在点 处求梯度和沿方向(1, 2,3)M 1 1 1( , , 3 3 3 ) 的方向导数；画出等密度面，标出梯度方向。 d drϕ ϕ= ⋅∇K 吴书定理 1（page 7）： 例 1 考虑定常/非定常一维温度场的梯度和线元上的温度增量 ； dT 例 2 考虑三维情况（例如封闭金属球表面均匀加热过程，球内部充满空气）的温度场的梯 度和矢量线元上的温度增量。 吴书定理 2（page 8）：对于单值函数 ( ), , ,x y z tϕ ，有 ( ) ( ), , , , , , 0 L a x y z t x y z t a dlϕ= ∇ ⇔ ⋅ =∫ KK Kv E U= −∇K ） 例重力势能、静电势能。（ 梯度表达式： ( , , )grad x y z i j k x y z ρ ρ ρρ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ KK K 直角坐标系下： , ,r zdre rd e dzeθθK K K ； 柱坐标系下：柱坐标系下三个基本正交线元 r—线 z— 线 o z y x re K eϕ Kz eK ϕ −线 , , r r z ρ ρ ρ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 三个方向对应的方向导数： ( , , ) r zgrad r z e e er r zϕ ρ ρ ρρ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ K K K 三个正交方向导数组成的梯度表达式： 球坐标系下： 3 re K z y x ϕ M O eθ K eϕ K θ , , sin r r r ρ ρ ρ θ ϕ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 4 三个方向对应的方向导数： ∂ ( , , ) sinr z grad r z e e e r r rϕ ρ ρ ρρ ϕ θ ϕ θ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ K K K 三个正交方向导数组成的梯度表达式： 哈密顿算符∇： i j k x y z ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ KK K 直角坐标系： r ze er r zϕϕ ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ K K eK 柱坐标系 sinr z e e r r rϕ eθ ϕ θ ∂ ∂ ∂球坐标系：∇ = + +∂ ∂ ∂ K K K 3）运算法则 grad 0c = （c 为常数） grad gradcu c u= grad( ) grad gradu v u v± = ± grad( ) grad graduv u v v u= + ( )21grad grad gradu v u u vv v ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ grad ( ) ( )gradf u f u′= u ( ) ( ) rgrad r r r ϕ ϕ′= 2 2 2 44 q qV rx y z πεπε= =+ +例 2 位于原点处的点电荷q 的电场，其电位场 ，求电位场 的梯度。 3grad 4 qV r rπε= − K。 答： 讨论：矢量场空间非均匀性的描述 ( ) ( ) ( ) , , V ui vj wk gradu gradv gradw V ui vj wk gradu r i gradv r j gradw r k u u u x y zu gradu r x v v vv gradv r x y z w gradw r w w w x y z δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ = + + = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ KK K K K KK K K K KK K K K K K y z δ δ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ I-2-2 矢量场的散度（反映场有源还是无源） 1）质量通量的概念 5 Sδ 均匀流动 任意曲面 Sδ 水均匀流动，流速 。面元u Sδ Sδ法向沿流速方向。单位时间内通过 的水的质量 Q u Sδ ρ δ= 。 水非均匀流动，流速 。位于( , , )V x y z K ( ), ,x y z Sδ处的面元 法向沿流速方向。单位时 间内通过 ( ), ,Q V x y z Sδ ρ δ=Sδ 。 的水的质量 若面元 Sδ 法向 不沿流速方向，则单位时间内通过nK Q V n Sδ ρ δ= ⋅K KSδ 。 的水的质量 水非均匀流动，流速 。对于曲面( , , )V x y z K Σ，单位时间内通过Σ的水的质量 Q V nρ Σ = ⋅∫∫ K KdS dS 。 对于闭合曲面Σ，取曲面外法向为正，则单位时间 内通过 的水的净流出量 Σ Q V ndS Vρ ρ Σ Σ = ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫ KK KKw w 2）散度定义 0 0 0 0( , , )M x y z ，做闭合曲面Σ包围该点，Σ可以任意方式收缩到该点。以空间任意给定点 τ 代表 所包围的空间体积，定义极限 Σ 0 lim M V dSρ τ Σ Σ→ ⋅∫∫ KKw ( )div Vρ K ( )Vρ∇⋅ KVρ K 0 0 0 0( , , )M x y z 。 为矢量场 在 点的散度，记作 或 δτ 内的质量变化率，有 散度的物理意义：考虑小空间 V dS t ρ ρ δτ Σ ⋅ ∂= − ∂ ∫∫ KKw V dS t ρ δτ ρ Σ ∂ = − ⋅∂ ∫∫ KKw ，由此得 =单位体积空间内的质量变化率的负值， 即单位时间从单位体积空间流出的质量。为精确表述空间任意一点 0M 处的质量变化率，可 对 0 lim M V dS t ρ ρ δτ Σ Σ→ ⋅ ∂= − ∂ ∫∫ KKw ( )div Vρ Kδτ 取极限， 。可见 表示单位时间内从单位空间体积表 面流出的流体质量。 (div V )ρ K 是否与包围单位体积的闭合曲面的形状有关？ 思考： 其他常见通量： Q V d Σ = ⋅∫∫ KK Sw ； 流体体积通量 盐通量 ； sQ Vρ Σ = ⋅∫∫ KKw dS 0 QE dS εΣ ⋅ =∫∫ KKw ，Q代表∑内的电荷总量 真空中静电场的电通量 磁通量 0B dS Σ ⋅ =∫∫ KKw 0 div lim M m dS m τ Σ Σ→ ⋅ = ∫∫ KKK w 6 一般地，对于任意矢量场 ，定义其散度mK 。 散度是标量。 3）散度计算公式（直角坐标系） xδΣ0 0 0 0( , , )M x y z ，边长分别为 以体积通量为例。以 为中心取正六面体形状的闭合曲面 、 yδ zδ 。 和 0 0 0 0 0 0 1 1( , , ) ( , , ) 2 2 1 1( , , ) ( , , ) 2 2 1 1( , , ) ( , , ) 2 2 ( ) Q V dS u x x y z u x x y z y z v x y y z v x y y z x z w x y z z w x y z z x y u v w x y z O x y z x y z δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Σ = ⋅ ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∫∫ KKw 0 lim M V dS u v w x y z x y zδ δ δ Σ Σ→ ⋅ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∫∫ KKw divV =K 。 作业：推导柱坐标系下散度计算公式 解：取柱形体元如图 0 lim ns v a ds diva v→ = ∫K 7 na s v δ δ ⋅= K K ( ) z r r r a ar r z z r r r z v aa r r r z a r r v θ δθ δ δ δ δθδθ δ re ze r δθ rδ zδ zδ δ δθδ δθδ δ ∂ ∂⋅ + ⋅∂ ∂= ∂⎛ ⎞+ + − ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠+ ( )2 z r r r a ar r z z r r r z r r z r a ar z a r z r r r r r z θ δθ δ δ δ δθδθ δθδ δ zδ δθδ δ δθδ δ δθδ δθδ δ ∂ ∂⋅ + ⋅∂ ∂= ∂ ∂+ +∂ ∂+ 0z r ra a a a r z r r θ θ ∂ ∂ ∂= + + + +∂ ∂ ∂ ( )1 rz raa a r z r r θ θ ∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ( )1 rz raa adiva r z r r θ θ ∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ K 即柱坐标系下散度的公式为： 4）运算法则 div divcu c u=K K（c 为常数） div( ) div divu v u v± = ±K K K K 8 ddiv divu u u graϕ ϕ ϕ= + ⋅K K K 24 2V xi xyj z k= − + KK K K例 3．已知流动速度场 ，1）计算在点 处经过法向为 方向的单 位面元上的流体体积通量；2）求散度场和点 处的散度。 i K (1,1,3) (1,1,3) 例 4．设 为放在原点处的点电荷 在真空中产生的静电场，求除原点外空间各点E K q ( ), , ( )M x y z divE MK处的 ( ), ,x y z解 从电磁学中我们知道，在空间点 处 34 qE r rπε= K K r xi yj zk= + + KK KK 表示点 ( ), ,x y z 的矢径， 其中 2 2r x y z= + + 2 根据散度公式得到 ( ) ( ) ( )3 32 2 2 2 2 2 2 2 22 2 04 q x y zdivE x y z x y z x y z x y z πε ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ K 3 2 = 这表明除原点外，空间各点都没有电力线发出或终止。 5）奥高公式 divm dS md τ τ Σ ⋅ =∫∫ ∫∫∫KK Kw 奥高公式的形式导出：以水的体积通量为例。 闭合曲面 包围空间体积Σ τ ，用三族正交平面将空间体积τ 分割成 N 个体积元，穿过第 i 个 小体积元的水的体积通量为 ( )div iiV δτK i V dS Σ ⋅∫∫ KKw = ， ( )divi iVΣ K和iδτ 、其中 分别代表该体积元的体积、表面和所在位置处的速度散度。通过所 有体积元的体积通量的和 divVd τ τ∫∫∫ K( )div ii i V δτ∑ K ）应为 （即 ( )div ii i V δτ∑ K ii V dS Σ = ⋅∑ ∫∫ KKw 。 由于等式右端求和时相邻体积元公共界面上的体积通量相互抵消，所以求和后仅剩下通过Σ 的体积通量 divV dS Vd τ τ Σ ⋅ =∫∫ ∫∫∫KK KwV dS Σ ⋅∫∫ KKw 。 。于是有 6）无源场及其性质 以磁场为例：磁力线管任意截面上磁通量相等；磁力线管不能在场内发生或终止；张于同一 周线上的所有曲面上的磁通量相等。 I-2-3 矢量场的旋度（反映场有旋还是无旋） 流水落花，花旋转着（自旋）顺流漂走，说明水团有旋转运动。如何描述这种旋转运动？速 度场的旋度场就是描述这种旋转运动的，如何描述的在后继课程中会看到（自旋角速度=速 度场旋度的一半）。 1） 速度环量 取闭合曲线 C（顺时针为正），定义曲线 C 上的速度环量为 C V dlΓ = ⋅∫ KKv 2 2 2x y R+ =例 6．已知流体作刚性旋转运动，质点速度V cr= 的速度环量。 ，求沿圆周 9 例 7．已知速度场V y 2i xj z k= − + + KK K K 22 2x y R+ = 的速度环量。 ，求沿圆周 cos , sinx R y Rθ θ= = ，圆周上的线元 解：采用极坐标系 ( sin , cosdl dx R d dy R d ,0)θ θ θ= = − =K θ ，于是 ( ) ( )2 2 2 sin cos 2 C C C V dl udx vdy wdz R d R d R Γ θ θ θ θ π = ⋅ = + + ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ = ∫ ∫ ∫ KKv v v 2） 二维速度场的涡量 e.g. 水面上旋转的叶子周线上的环量。两片大小不同的叶子具有相同旋转角速度，但大叶子 周线上的速度环量大于小叶子周线上的。 速度场V ( , ) ( , )u x y i v x y j= +K K K 0M 0M在 点附近的涡量定义为：在 点附近取闭合曲线 C，包 围面积 ，涡量为 Σ 0 rot lim Cz V dl V Σ Σ→ ⋅ = ∫ KKK v 。 二维场涡量的直角坐标系表达式： yδ0 0 0 0( , , )M x y z 为中心取闭合曲线 C 为矩形，边长分别为 xδ以 和 。去逆时针方向为环 路绕行方向， 0 0 0 0 1 1( , ) ( , ) 2 2 1 1( , ) ( , ) 2 2 ( ) C V dl u x y y u x y y x v x x y v x x y y u v x y O x y y x Γ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ = ⋅ ⎡ ⎤= − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎛ ⎞∂ ∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∫ KKv C nK * 0 M y x 0 rot lim Cz V dl v uV x y xΣ δ δ→ ⋅ ∂ ∂= = ∂ ∂ ∫ y − KK K v 。 3） 三维速度场沿任意法向面元上的涡量 ( , , ) ( , , ) ( , , )V u x y z i v x y z j w x y z k= + + KK K K 10 三维速度场 。过 0M 点作一平面π ，法向 。在平 面 nK nK0M 0MΣπ 的闭合曲线 C，C 所包围面积上取一包围 ，三维速度场在 点附近且法向沿 0 rot lim Cn V dl V Σ Σ→ ⋅ = ∫ KKK v 。 方向的面元上的涡量为 rot (1) rot (2) rot (3) x y z w vV y z u wV z x v uV x y ∂ ∂⎧ = −⎪ ∂ ∂⎪ ∂ ∂⎪ = −⎨ ∂ ∂⎪ ∂ ∂⎪ = −⎪ ∂ ∂⎩ K K K 特例： 4） 旋度定义和计算公式 旋度的定义 依赖于 ，仿照梯度和方向导数的关系式，引进矢量 rot （也记作 ），使得 V K rotn V K nK rot rotn V V n= ⋅ K K KV∇× K 物理意义： 是速度场本身的性质，对应最大平面涡度及该平面法向。 rotV K rotV K 计算公式：由上面特例可知， 在直角坐标系下的三个分量由（1）、（2）和（3）式给 出，因而 在直角坐标系下的表达式为 rotV K rot w v u w v uV i j y z z x x y ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ k ⎞⎟⎠ KK K K 。 引入行列式表达 rot i j k V x y z u v w ∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ∂ KK K K 5） 运算法则 ( )rot rotcu c u=K K rot( ) rot rotu v u v± = ±K K K K 例 8 已知速度场V yi zj xk= + + KK K K ，求速度旋度场。 ( )rot i j k V i x y z y z x ∂ ∂ ∂= = − +∂ ∂ ∂ j k+ KK K KK K K 例 9 推导二维矢量场在极坐标系下的旋度表达式。 ( ) ( )1 1 r z v r v rot a r r r θ θ ∂ ∂= −∂ ∂ K 例 10． 由点电荷 在真空中产生静电场，电场强度 q ( )3 04 qE xi yj rπε= + zk+ KK K K ( )12 2 2 2r x y z= + + rotEK，求 。 式中 解： 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 i j k q z yrotE i x y z y zr r qx qy qz r r r q x z q y xj k z z x zr r r r πε πε πε πε πε πε ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎡ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ KK K K ⎥⎦ K KK 因为，当 时， 0r ≠ 3 5 3 5 3 3,z yz y yz y r r z r ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ r j k KK和所以 前面的系数是 0，同样，iK 前面的系数也是 0，故 0rotE =K 0r ≠ 时） （当 静电场是无旋场。 6）无旋场的性质： 设 是定义在单连通区域 上的矢量场，则： ( )V r K K G ( )V r K K 是无旋场，即 在G 内处处成立 rot ( ) 0V r =K K 11 ⇔矢量场 有位势场，即存在标量函数( )V rK K ( )V r ϕ= ∇K Kϕ ，使 0 C V dl⋅ =∫ KKv l V dl⋅∫ KK对G 中任一闭合曲线 ，恒有C⇔ 与路径无关。 ，即积分 例如静电场的场强和电势。 7）Stokes 公式：闭合曲线 ， 为曲线 上所张的任意正规曲面，有 C CΣ rot C V dl V dS Σ ⋅ = ⋅∫ ∫∫K KK Kv 12 形式导出：将曲面Σ 分割成许多面元，设第 个面元（近似为平面））面积i iSδ 边界为 ， 法向 ，所在场点旋度 ( ，根据涡量的定义有 iC in K )rot iVK ( ) ( ) ( )rot rot roti i n i i ii i C V dl V S V n S V Siδ δ δ⋅ = = ⋅ = ⋅∫ K KK K K KKv 等式对所有面元求和，考虑到相邻面元公共边界上的速度积分相互抵消，可得 rot ii C C V dl V dl V S Σ δ⋅ = ⋅ = ⋅∑ ∫ ∫ ∫∫K K KK K Kv v 附 算符运算法 ∇ i j k x y z ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ KK K ，于是 引入 grad div rotu u u u u= ∇ = ∇⋅ = ∇×u 。 ∇算符具有微分性和矢量性。进行运算时，为顾及∇算符的这种二重性，可牢记下面的顺 口溜： ∇算符要用得灵，必须记住两重性。 运算步骤先微分，再按矢量作调整。 微分先不动矢量，调整不忘微分性。 附例 1 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 div ( ) rot rotu v v u u v× = ⋅ −K K K K K K ( ) ( ) ( )a b c c a b b c a⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×K K KK K K K K K 证明） （利用 ( ) ( ) ( ) ( )( )u v v u u v u v v u∇× × = ⋅∇ − ⋅∇ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅K K K K K K K K K K附例 2 证明 （利用 证明） ( ) ( ) (a b c b a c c a b× × = ⋅ − ⋅K KK K K K K K )K I-3 张量表示法（约定求和法则） I-3-1 矢量的表示和两个符号 1）矢量的表示：矢量 可以表示为 ， 称为自由指标或亚标。 aK ia i ix ∂ ∂∇ 可以表示为 ijδ2） Kroneker 符号 定义为 0, 1,ij when i j when i j δ ≠⎧= ⎨ =⎩ ijkε3）置换符号 定义为 13 ε ε123 231 312 132 213 321 0, 1, , , , , 1, , , , , ijk when at least two of the indices are identical i j k i j k ε ε ε ε ε ⎧⎪= ⎨⎪−⎩ 偶排列,如 奇排列,如 I-3-2 约定求和法则 为书写简便，约定在同一项中如有两个亚标相同时，就表示要对这个亚标从 1 到 3 求和。 于是，有如下的矢量运算表示法 i ia b a b⋅ = KK ijk j ka b a bε× = KK ( ) ijk i j kc a b c a bε⋅ × =KK K II 张量代数 II-1 张量概念 从物理上讲，某种物理量（或物理性质）能够用一个没有方向的数量来表示，这个物理 量就是标量，例如温度、密度等。某种物理量能够用一个包含 3 个正交分量的物理量来表示， 这个物理量就矢量，例如速度矢量、作用力、电场强度等。某种物理量（或物理性质）需要 9 个分量才能描述，这个物理量就是二阶张量，例如晶体的折射率、各向异性电介质的介电 常数、还有我们将要接触到的流体中的变形速度、应力等。 一些晶体 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 的电性质是各向异性的——各向异性电介质，它们的极化规律虽然是线性 的，但与方向有关。在直角坐标系下，电介质的极化强度与电场强度之间关系的普遍形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , . 0 0 0 x e x e y exx xy xz y e x e y eyx yy yz z e x e y e zzx zy zz P E E P E E P E E χ ε χ ε χ ε χ ε χ ε χ ε χ ε χ ε χ ε = + + = + + = + + z z E E E 描述这类介质的电性质就需要 9 个分量 ( )e ijχ ，这是一个二阶张量。 一阶张量定义 真实物理量（例如速度、电介质的极化强度等）不随坐标系旋转变换而改变，例如速度矢量 在两个笛卡尔坐标系下应有 x y z x y zV V i V j V k V i V j V k′ ′′ ′ ′ ′= + + = + + K KK K K K K 因而有 x x y y z z V Vi i i j i k V j i j j j k V k i k j k kV V ′⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ KK K K K K KK K K K K K K K KK K 记 。 11 12 13 21 22 23 31 32 33 i i i j i k j i j j j k k i k j k k α α α α α α α α α ⎛ ⎞′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠ KK K K K K KK K K K K K K K KK K i ijV Vjα′= 。 利用张量表示法得 类似地可得到 i jiV Vα ′= j 一阶张量定义：若一个向量的三个分量在坐标旋转变换时满足上述变换关系，则该量为一阶 张量。 反过来，一阶张量在坐标变换时满足上式，也即对应物理量不随坐标变换而改变。真实物理 （矢）量都是一阶张量。 的 9 个分量 ( )e ijχeχ 在坐标旋转变换时满足 推广到二阶张量：若一个量 ( ) ( )e im jn eij mnχ α α χ′ = ， 则该量为三维空间上的二阶张量。若极化率张量各分量在坐标变换时满足上式，则极化强度 不随坐标系变换而改变。 14 附注：两个直角坐标系之间的变换：若将V K rK，容易证明 换成 , ,x x xx i i x j i y k i z i i j i k i x y z ′ ′ ′∂ ∂ ∂′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =∂ ∂ ∂ K KK K K K K K K K K K′⋅ ， , ,y y yy i j x j j y k j z i j j j k j x y z ′ ′ ′∂ ∂ ∂′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ K KK K K K K K K K K K′， , ,z z zz i k x j k y k k z i k j k k k x y z ′ ′ ′∂ ∂ ∂′ ′ ′ ′ ′ ′= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅∂ ∂ ∂ K K K K K K K KK K K K ′。 x x x x y zi i i j i k y y yj i j j j k x y z k i k j k k z z z x y z ′ ′ ′⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎛ ⎞′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟′ ′ ′⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ KK K K K K KK K K K K K K K KK K 于是得到： II-2 二阶张量 的表示和缩并运算 P i ija P a P⋅ =K ij jP a P a⋅ =Kijp1）张量表示法 ； ，运算时遵守约定求和法则： ， 11 12 13 21 22 23 31 32 33 p p p P p p p p p p ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 2）矩阵表示 ⎥，遵守矩阵运算法则： [ ] [ ] 11 12 13 1 2 3 21 22 23 31 32 33 1 11 2 21 3 31 1 12 2 22 3 32 1 13 2 23 3 33 p p p a P a a a p p p p p p a p a p a p a p a p a p a p a p a p ⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = + + + + + + K ， 11 12 13 1 11 1 12 2 13 3 21 22 23 2 21 1 22 2 23 3 31 32 33 3 31 1 32 2 33 3 p p p a p a p a p a P a p p p a p a p a p a p p p a p a p a p a + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋅ = = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ K ⎤⎥⎥⎥⎦ ； 3）并矢表示，遵守矢量运算法则。 15 K K K )K K 从数学运算上来看，一个二阶张量可理解为两个矢量的并矢， 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 i j ab a b ii a b jj a b kk a b ij a b ik a b ji a b jk a b ki a b kj a b ij = + + + + + + + + = K KK K KKK KK KK K KK K K KK KK ( ) ( ) 1 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 1 1 2 2 c ab c i a b ii a b jj a b kk a b ij a b ik a b ji a b jk a b ki a b kj c j a b ii a b jj a b kk a b ij a b ik a b ji a b jk a b ki a b kj c k a b ii a b j ⋅ = ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + K KK K K KK KK KK KK K KK K K KK K KK K K K KK KK KK KK K KK K K K K KK K( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 3 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 3 3 3 3 1 3 3 2 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 3 3 2 j a b kk a b ij a b ik a b ji a b jk a b ki a b kj c a b i c a b j c a b k c a b j c a b i c a b k c a b k c a b i c a b j c a b i c a b i c a b i c a b j c a b j c a b j + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + KK K K K KK KK K KK K K K K K KK K K K K K K K K K K ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 3 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 i i j c a b k c a b k c a b k c a c a c a b i c a c a c a b j c a c a c a b k c a c a c a b i b j b k c a b j c a b + + + = + + + + + + + + = + + + + = = ⋅ K K KK K KK K K KK K ( ) j i iab c a b c a b c⋅ = ⋅ =K KK K K K 缩并运算一般不可以换序！！缩并后得到的是一个矢量。 II-3 共轭张量 对称张量 反对称张量 ijP P= c jP P i=1 共轭张量 张量 的共轭张量为 2 对称张量： ，仅有 6 个独立分量。 ij jiP P= ij jiP P= −3 反对称张量： 性质：若二阶张量 是反对称张量则 A 12 13 12 23 13 23 0 0 0 a a a a a a a −⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎥，仅有三个独立分量。 4 张量分解定理：（证明见吴望一 p63） 一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量与一个反对称张量之和，即 ( ) ( )1 1 2 2 ( ) c cP P P P P S A symmetrical matrix asymmetrical matrics = + + − = + + 附 将会涉及到的两个运算： j i V x ∂ ∂1）二阶张量 作为哈密顿算符和速度矢量的并矢，描述速度场的空间不均匀性，V∇ K 。 ij i p x ∂ ∂2）缩并运算 ，其中 代表一个二阶张量，缩并运算得到矢量PP∇ ⋅ 。 16