7.3 区间估计

7.3 区间估计null§7.3 区间估计§7.3 区间估计由于样本的随机性，点估计有以下缺陷： (1) 无从断定估计值是否为待估参数的真实值（即使是无偏有效估计量)； (2) 不能把握估计值与参数真实值的偏离程度及估计的可靠程度.改进一、定义一、定义定义7.3.1 设总体的未知参数为θ, 由样本X1，…，Xn确定两个统计量对于给定的实数α(0< α <1 )，满足null 1－α又称置信水平或置信概率 α称显著性水平，通常取值为0.1，0.05.思考：应如何理解概率式null1－α反映...

null§7.3 区间估计§7.3 区间估计由于样本的随机性，点估计有以下缺陷： (1) 无从断定估计值是否为待估参数的真实值（即使是无偏有效估计量)； (2) 不能把握估计值与参数真实值的偏离程度及估计的可靠程度.改进一、定义一、定义定义7.3.1 设总体的未知参数为θ, 由样本X1，…，Xn确定两个统计量对于给定的实数α(0< α <1 )，满足null 1－α又称置信水平或置信概率 α称显著性水平，通常取值为0.1，0.05.思考：应如何理解概率式null1－α反映了区间估计的可靠程度. 希望精度与可靠程度均高,但二者是矛盾的.在实际应用中广泛接受的原则是：确定能接受的可靠程度的前提下,尽量提高精确度.( )( )( )θ二、置信区间的枢轴变量法二、置信区间的枢轴变量法正态分布中μ的区间估计1. 选取待估参数θ的估计量；原则：优良性准则常用：2. 建立枢轴变量对选定的θ的估计量, 构造关于待估参数θ和样本的函数问题：如何构造随机区间？null其中W不含任何其他未知参数. 在一定条件下，W 通常具有经典分布(主要有正态、2 、T、F分布)；3. 确定W的分布 4. 根据W的分布，对置信水平1－α查上侧分位数,使或类似的概率式成立.W(X1, X2, …, Xn ,θ)null5. 改写不等式得上面过程的关键是构造枢轴变量W，并以它为轴心，由a≤W≤b 旋转出所需不等式 A≤θ≤B.其中A、B是不含未知参数的统计量.以较大概率包含待估参数三、正态总体的区间估计三、正态总体的区间估计单个正态总体：X~N(, 2)1.的估计已知 =σ0:因因从而是μ的优良估计量, 且null由此可得μ的置信度为1-α的置信区间为：从而null未知参数的替换思考：未知σ时如何求μ的估计？2) 2未知:null2. 2的估计当μ已知时, 应选枢轴变量：分析: σ2 的优良估计量为S2，当μ未知时,由抽样分布定理可知,应选枢轴变量：为确定枢轴变量null问题：如何构造大概率事件？null已知0 null2)未知零件长度的方差婴儿体重的估计null1.1－ 2 的估计总体均值差的置信区间的含义是：四、两个正态总体X~N(1,12) , Y~N(2,22)，X与Y相互独立.1) 已知12 和22枢轴变量取若1－ 2 的置信下限大于零, 则可认为 1 > 2 ；若1－2 的置信上限小于零, 则可认为 1 < 2.nullnull2) 12 和22 未知，但12 = 22 = 2 null两稻种产量的期望差的置信区间问题：能否用另外的方法求1－2的区间估计？分析：当 n1=n2 时（成对抽样），nullZi～N(1－ 2, 2σ2)根据抽样定理知，可选枢轴变量～t(n－1)两稻种产量的期望差的置信区间null1) 未知 1 、2null2) 已知1 与2三、大样本方法构造置信区间(略)四、单侧置信区间(自学)，见教材P167页null小结：常见的区间估计null 例7.3.1 设总体X ~ N(μ, 0.09)，有一组样本值：12.6，13.4，12.8，13.2，求参数μ的置信度为0.95的置信区间.解：有1－α=0.95，σ0=0.3，n = 4,是μ的无偏估计量, 是优良估计量，且从而null 在标准正态分布表中查得上侧分位数 uα/2=u0.025=1.96得μ的置信区间为null 代入样本值算得 , 得到μ的一个区间估计为[12.706，13.294].注：该区间不一定包含μ.总结此例，做了以下工作：1）根据优良性准则选取统计量来估计参数；null查找临界值uα/2，构造一个关于U的概率为置信水平1－α的随机事件.4）由上式解出关于待估参数μ的不等式，建立起关于μ的置信区间.#null是μ的优良估计，且分析：1.求得置信区间？例7.3.2 设X~N(μ,σ2)，未知σ2 , 求参数μ的置信度为1-α的置信区间.未知参数的替换null选S2不行！选一个统计量去替代σ2 ，因为未知σ2 ，故 U 不是统计量.因它是σ2 的无偏、有效、相合估计.选下统计量作为枢轴变量，根据抽样定理null由 t 分布的对称性，令整理后得μ的置信区间为比较已知σ2= σ02 时, μ的置信区间为#零件长度的方差零件长度的方差解设零件长度为X，可认为X 服从正态分布.求方差的估计值和置信区间(α=0.05). 例7.3.3 从自动机床加工的同类零件中任取16件测得长度值如下(单位：mm)null求方差的置信区间由于μ未知, S2 是σ2 的优良估计, 选取枢轴变量相应的置信区间为null查χ2分布表可得σ2 的置信度为 0.95 的置信区间为比较：σ2 的点估计值为 s2= 0.005.#婴儿体重的估计婴儿体重的估计例7.3.4 假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机抽取12 名婴儿，测得体重为：（单位：克） 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540 试以 95% 的置信度估计初生婴儿的平均体重以及方差.解设初生婴儿体重为X 克，则 X~N(  , 2 ),(1) 需估计 ,而未知2.null作为枢轴变量. 有 = ，n= ，t0.025(11)= ，null (2) 需估计2 ,而未知 ，有 20.025(11)= ，20.975(11)= ，#null 例7.3.5 甲、乙两种稻种分别种在10块试验田中, 每块田中甲、乙稻种各种一半。假设两种稻种产量X、Y 服从正态分布，且方差相等. 10块田中的产量如下表 (单位：公斤) ，求两稻种产量的期望差 1－ 2 的置信区间(α=0.05).null 解设X~N(1,12) , Y~N(2,22) , 12 = 22 = 2 ，估计1－ 2，取统计量由样本表可计算得null查t 分布表得： t0.025(18)=2.1009 两稻种产量期望差的置信度为95%的置信区间为null另解因枢轴变量～t(n－1)，null 可得两稻种产量期望差的置信度为95%的置信区间为#单正态总体的区间估计单正态总体的区间估计null双正态总体的区间估计双正态总体的区间估计#

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