07_状态空间分析

1 回顾 注重系统内部状态的变 化，内部描述 注重系统的外部联系， 给定输入看输出，外部 描述 研究观点 以状态空间表达式为研究 依据，采用直接的时域方 法 以传递函数为研究依 据，采用间接的频域方 法 研究方法 矩阵论和向量空间理论， 用计算机进行分析和计算 单变量、常系数的微分 方程，用拉氏变换法求 解，手工计算 数学工具 线性和非线性、单入单出 和多入多出、定常和时变 单输入单输出线性定常 系统 适用领域 现代控制理论经典控制理论 2 第七章 状态空间分析 状态空间的线性变换 线性定常系统状态方程的解 线性定常系统的可控性与可观测性分析 可控性与可观测性 可控可观标准型的变换 线性定常系统的极点配置 状态反馈与极点配置 习题课 3 线性变换 ◆定义：对同一系统进行描述的不同的状态空间表达式中状 态变量之间的变换，就是状态空间表达式的线性变换，或称 坐标变换。 设n阶线性定常系统{A,B,C,D}，选状态变量x=[x1,x2,…,xn]T时 有如下状态空间表达式， ⎩⎨ ⎧ += += DuCxy BuAxx & 若选另一组状态变量 T nxxxx ],,[ 21 L= 则有状态空间表达式 ⎩⎨ ⎧ += += uDxCy uBxAx& },,,{ DCBA记做系统 则存在非奇异常数矩阵P为坐标变换矩阵， DDCPCBPBAPPA ==== −− ,,, 11 xPx = ◆定义：能够通过线性变换矩阵实现相互转换的两个状态空 间表达式所描述的系统互为相似系统。 xPx 1−= 4 线性变换 ◆线性变换的不变性： ƒ线性系统的特征方程不变。 n阶线性定常系统{A,B,C,D}的特 征方程为 0)det()( =−= AIf λλ ƒ状态矩阵(系统矩阵)的特征根(值)不变。 ƒ传递函数阵不变。 DBAsICsG +−= −1)()( ◆线性系统的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 化 ƒ1.化对角阵标准型(1)：设n阶线性定常系统的状态矩阵A 有n个互异实数特征根λi， 则必然存在线性变换矩阵P将A变换为对角阵标准型∧， ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ==Λ − n APP λ λ λ O 2 1 1 ],,[ 21 npppP L= pi为A的特征向 量， iii App =λ 若有m重根，却 有m个线性独立的 特征向量。 DDCPCBPBAPPA ==== −− ,,, 11 5 线性变换 例 将下面状态空间表达式化为 对角阵标准型。 [ ] u x x x y u x x x x x x +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡+⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −− −− −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 012 1 0 0 5116 6116 110 & & & 【解】求特征根： 0=− AIλ 3,2,1 321 −=−=−=⇒ λλλ 求特征向量：由 111 App =λ 令 Tpppp ],,[ 3121111 = 则 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ×⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −− −− −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ×− 31 21 11 31 21 11 5116 6116 110 1 p p p p p p ,0, 213111 == ppp Tp ]101[1 = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡= 941 620 111 P ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−− −=− 15.11 343 25.23 1P ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −=− 1 3 2 1BP [ ]842=CP [ ] u x x x yu x x x x x x +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −+⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −− −= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 842, 1 3 2 300 020 001 & & & 变换矩阵 不唯一 6 线性变换 ◆线性系统的规范化 ƒ1.化对角阵标准型(2) ：设A阵为友矩阵，且有n个互异的实数 特征值λi， ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− = −1210 10000 0100 0010 naaaa A L MMMMM L L 最后一行为特征方程的系数，ak为λk的系数。 则下列范得蒙特矩阵P可使A对角化。 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =P 1111 L nλλλλ L321 22 3 2 2 2 1 nλλλλ L MMMMM 11 3 1 2 1 1 −−−− n n nnn λλλλ K 7 线性变换 ◆线性系统的规范化 ƒ2.化约当阵标准型：(1)当状态矩阵A的m重特征根λ1与之对 应的线性独立的特征向量只有一个p1。 则必然存在线性变换矩阵P将A变换为约当阵标准型J： ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + n m J λ λ λ λ λ O O O 0 01 1 1 1 1 1 ],,,,[ 121 nmm pppppP LL += pi，i=1,m+1,…n为A的特 征向量， iii App =λ pi，i=2,3,…m为广义特征 向量， mjAppp jjj ,3,2,11 L==+− λ [ ] [ ]mm pppAppp LOOL 21 1 1 1 21 1 1 = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ λ λ λ或 8 线性变换 (2) 当状态矩阵A的m重特征根λ1与之对应的线性独立的特征 向量有k个，则此时约当阵标准型中会有k个约当块。 [ ]021 JJJJJ kL= 约当块 对角型 ◆线性系统的规范化 ƒ2.化约当阵标准型： 9 状态方程的解 ◆给定线性定常系统非齐次状态方程为 两边左乘e-At得 将上式由0积分到t，得 故可求出其解为 为系统的状态转移矩阵。 或 eAt称为矩阵指数函数。 x∈Rn, u∈Rr,A∈Rn╳n,B∈Rn╳r，且初始条件为x(t)|t=0 =x(0)。 将上面方程改写为 ◆当B=0时为齐次状态方程。 ( ) )0(xetx At= 当t0≠0时 ( ) ( ) )( 00 txetx ttA −= [ ])()( tAxtxe At −− & [ ])(txe dt d At−= )(tBue At−= ( ) ( ) ( )tButAxtx +=& ( ) ( ) ( )tButAxtx =−& ( ) ( ) τττ dBuextxe t AAt ∫ −− =− 0 )(0 ( ) ( ) ( ) τττ dBuexetx t tAAt ∫ −+= 0 )(0( ) ( ) ( ) ( ) τττ dButxttx t∫ −Φ+Φ= 0 )(0 ( ) Atet =Φ 10 状态转移矩阵 ◆性质 线性定常系统状态转移矩阵具有如下性质： I=Φ )0( AttAt )()()( Φ=Φ=Φ& [ ] )()( ntt n Φ=Φ )()()()()( 122121 tttttt ΦΦ=ΦΦ=+Φ )()(1 tt −Φ=Φ− )()()( 1122 txtttx −Φ= )()()( 020112 tttttt −Φ=−Φ−Φ ◆求解的相关性质 PAtePAPtPe 1 1 −− = 若矩阵A和B可交换，则 tBAeBteAte ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ∑∞ = =+++= 0 22 ! 1 !2 1 k kkAt tA k tAAtIe L ◆定义设A为n╳n的常数阵，则eAt称为矩阵指数函数。 Atet =Φ )( 11 状态转移矩阵 ƒ若矩阵 mm A × ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 1 1 1 λ λ λ O O 则 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = t t t At e e e e 1 1 1 λ λ λ O ◆求解的相关性质 ƒ若矩阵A=diag[λ1,λ2,…λn]， 则 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = te te te Ate nλ λ λ O 2 1 ◆状态转移矩阵求解的方法 ƒ直接计算法 ∑∞ = =+++= 0 22 ! 1 !2 1 k kkAt tA k tAAtIe L ƒ对角线标准形与Jordan标准形法：若 ( ) ( )11 )( −− −==Φ AsILet Atƒ拉氏变换法 !1 !1 1 1 t t te te λ λ O M L )!1( 11 − − m et tm λ ,1 APP −=Λ 1−Λ= PPee tAt则 12 矩阵指数函数 例 【解】由|λI-A|=0得矩阵A有三个相重 特征值λ=1，将矩阵A变换为Jordan标 准形的变换矩阵为 【例】求eAt ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡= 121 011 001 P ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−= − 121 011 001 1P ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡==− 100 110 011 1 JAPP ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = te ttete tetttete Jte 00 0 2 2 1 L=−= 1PJtPeAte PAtePJte 1−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −= 331 100 010 A 13 【解】1.对角矩阵法 由于A的特征值为0和-2，故可求得所 需的变换矩阵P为 矩阵指数函数 例 【例】试用对角矩阵法和拉氏变换法计算eAt 。 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 20 10A ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 20 11P ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=− 2/10 2/111P ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=Λ=− 20 001 APP 1−Λ= PPee tAt ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −= − − t t e e 2 2 0 )1( 2 11 2.拉氏变换法 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−=− 20 1ssAsI ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + +=− − 2 10 2 11 0 12 2 11 s sss s s ss AsI ( )[ ]11 −− −= AsILe At 14 状态转移矩阵 例 【例】 试求如下线性定常系统的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移 矩阵的逆Ф-1(t) 。 【解】该系统的状态转移矩阵 由于 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−=− 32 1ssAsI ( ) ( ) 23 11 ++=− − ss AsI ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ ss 2 13 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ++++ − ++++ + = 2121 2 21 1 21 3 ss s ss ssss s ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+− −−=Φ −−−− −−−− tttt tttt eeee eeeet 22 22 222 2 ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+− −−=Φ− tttt tttt eeee eeeet 22 22 1 222 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 1 32 10 x x x x & & ( ) ( )[ ]11 −− −==Φ AsILet At 15 状态转移矩阵 例 【例】求下列系统的时间响应，其中u(t)为t = 0时作用于系统的单 位阶跃函数，即u(t)=1(t)。 【解】该系统状态转移矩阵为 因此，系统对单位阶跃输入的响应为： 即 ux x x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 1 0 32 10 2 1 2 1 & & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+− −−==Φ −−−− −−−− tttt tttt At eeee eeeeet 22 22 222 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dButxttx t∫ −Φ+Φ= 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ττττττ ττττ d eeee eeeexetx t tttt tttt At 1 1 0 222 20 0 22 22 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+− −−+= ∫ −−−−−−−− −−−−−−−− ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − +−+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+− −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −− −−−− −−−− tt tt tttt tttt ee ee x x eeee eeee tx tx 2 2 2 1 22 22 2 1 2 1 2 1 0 0 222 2 16 状态转移矩阵 例 【例】已知线性定常系统的状态转移矩阵Ф(t)，求系统的状 态矩阵A。 ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+− −−=Φ −−−− −−−− tttt tttt eeee eeeet 22 22 2332 452 【解】 I=Φ )0( AttAt )()()( Φ=Φ=Φ& 0|)( =Φ= ttA & 0 2 = − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= t te ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −= 14 28 tttt tt eeee ee 22 2 4362 24 −−−− −− −− +−te 210 −+ 17 可控性定义 ◆定义：考虑线性连续时间系统 ƒ如果能找到一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔[t0,tf] 内，使系统从任意初始状态转移到任意终止状态， 则称该系统为状态完全可控的。 ƒ如果能找到一个无约束的控制向量，在有限的时间间隔 内，使任一给定的初始输出转移到任一最终输出， 则称系统为输出完全可控的。 ◆状态可控性判断方法一：代数判据 n阶线性定常系统是状 态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的秩为n。 BuAxx +=& [ ]BQ rankrank = AB L BAn 1− n= 若是方阵⇒ 0det ≠Q 18 状态可控性 例 【解】由于 【例】考虑由下式确定的系统： u x x x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0 1 10 11 2 1 2 1 & & 所以该系统是状态不可控的。 【解】由于 因此系统是状态可控的。 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 0 1 rankrankQ 0 1 1= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 1 0rankrankQ 1 1 − 2= 【例】考虑由下式确定的系统 uxx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 11 10 30 12& 【解】矩阵B已经是2阶了，因此系统是状态可控的。 【例】考虑由下式确定的系统 ux x x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 1 0 12 11 2 1 2 1 & & 19 状态可控性 例 uxx ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −− +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ = 11 11 12 310 020 231 & [ ] ⎢⎢⎣ ⎡ −− = 11 11 12 2BAABB 【例】判断系统的状态可控性： 【解】 22 22 23 −− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ −− 44 44 45 秩为2，系统状态不完全可控。 AB ( )ABABA =⇒ 2 20 状态可控性 例 【例】判断系统的状态可控性： BuAxx +=& ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− = −1210 1 0100 0010 naaaa A L MMMM L L ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 MB 【解】 [ ]BAABBQ n 1−= L ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 M 1 1 0 0 −− na M ∗ ∗ N L 0 ∗ L M 1 0 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∗ ∗ ∗ M 1 秩为n，因此系统状态完全可控。 ◆状态可控性判断方法二：可控标准型。 2 12 1 1 0 −− − +− − nn n aa a M 21 状态可控性 ◆状态可控性判断方法三：对角阵标准型判据。 若系统的状态矩阵A具有n个互异特征根，并为对角阵标准型， 则系统状态完全可控的充要条件是输入矩阵没有全零行。 具有重根，但仍然具有n个线性无关的特征向量？ 上述判据不适用！ ◆状态可控性判断方法四：约当阵标准型判据。 若系统的状态矩阵A为约当阵标准型， 则系统状态完全可控的充要条件是 ƒ状态矩阵中没有两个约当块与同一特征值有关， ƒ且输入矩阵中对应每个约当块的最后一行没有全零行。 22 状态可控性 例 uxx ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − − = 7 5 2 100 050 007 & uxx ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − − = 0 1 0 100 050 007 & uxx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= 2 0 40 14& ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 2 1 20 02 00 10 3000 1300 0040 0014 u uxx& uxx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 1 1 20 02& uxx ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − − = 3 1 0 300 030 013 & 可控 不完全 可控 不完全可控 可控 不完全 可控 不完全可控 若有重根而又不符合约当标准形判据的前提，是否一定不可 控？ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ 100 010 001 23 输出可控性 ⎩⎨ ⎧ += += DuCxy BuAxx& x∈Rn, u∈Rr,A∈Rn╳n,B∈Rn╳r ,C∈Rm╳n ,D∈Rm╳r。 ◆输出可控性判断方法：系统输出可控的充要条件为： 当且仅当m×(n+1)r维输出可控性矩阵的秩为m(输出的阶次) 时，系统为输出可控的。 在输出方程中存在Du项，对确定输出可控性是有帮助的。 [ ]DBCABCACABCBQ n MMLMMM 12 −=′ 24 可观性定义 ◆定义：考虑零输入时的状态空间表达式 式中x∈Rn, y∈Rm,A∈Rn╳n,C∈Rm╳n 如果每一个状态x(t0) 都可通过在有限时间间隔内，由y(t)观 测值确定，则称系统为完全可观测的。 为何只需考虑零输入系统？ 若采用如下状态空间表达式 因此，为研究可观测性的充要条件，只考虑零输入系统就 可以了。 ⎩⎨ ⎧ = = Cxy Axx& ⎩⎨ ⎧ += += DuCxy BuAxx& ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dBuexetx t tAAt ∫ −+= 00则 ( ) ( ) ( ) ( ) DuC0Cy 0 ++= ∫ − τττ dBuexet t tAAt从而 25 状态可观测性 ◆状态可观测性判断方法一：秩判据：由 所描绘的n阶线性定常系统是状态完全能观的充要条件是 n×nm维可观测性矩阵的秩为n，即： cxy BuAxx = +=& n CA CA C n = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −1 rank M 若是方阵 ⇒ 0det 1 ≠ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −nCA CA C M 26 状态可观测性 例 【例】判断系统的可控性和 可观测性。 【解】◆可控性矩阵 秩为2，故该系统是状态可控的。 秩为1，故该系统是输出可控的。 ◆输出可控性矩阵 秩为2，故此系统是可观测的。 ◆可观测性矩阵 [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 1 2 1 01 1 0 12 11 x xy ux x x x & & [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −== 11 10ABBQ [ ] [ ]10==′ CABCBQ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 21 01 CA C 27 状态可观测性 例 【例】证明下列系统是不可观测的。 【解】由于可观测性矩阵 其行列式值为0，故该系统是不可观测的。 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ 154 2CA CA C 176 −−− 156 − Cxy BuAxx = +=& [ ]154, 1 0 0 , 6116 100 010 , 3 2 1 =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−− =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ = CBA x x x x 28 状态可观测性 例 【例】判断系统的可观测性。 BuAxx +=& Cxy = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = −1 1 0 100 001 000 na a a A L MMMM L L [ ]100 L=C 【解】由于可观测性矩阵 ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −1nCA CA C rank M 1000 L 1100 −− naL ∗∗NM 0 ∗∗ L10 ∗∗∗ L1 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ 秩为n，因此系统状态完全可观测。 ◆状态可观测性判断方法二：可观测标准型。 29 状态可观测性 ◆状态可观测性判断方法三：对角阵标准型判据。 若系统的状态矩阵A具有n个互异特征根，并为对角阵标准型， 则系统状态完全可观测的充要条件是输出矩阵没有全零列。 具有重根，但仍然具有n个线性无关的特征向量？ 上述判据不成立！ ◆状态可观测性判断方法四：约当阵标准型判据。 若系统的状态矩阵A为约当阵标准型， 则系统状态完全可观测的充要条件是 ƒ状态矩阵中没有两个约当块与同一特征值有关， ƒ且输出矩阵中对应每个约当块的第一列没有全零列。 30 状态可观测性 例 [ ]xy xx 546 100 070 005 = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − − =& xy xx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − = 100 001 100 030 013 & xy xx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − = 220 210 100 030 013 & 状态完全 可观测 状态完全 可观测 状态不完 全可观测 若有重根而又不符合约当标准形判据的前提，则是否一定 不可观测？ 不一定。必须用秩判据来判断。 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ 100 010 001 xy xx ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − − = 220 210 100 030 003 & 31 可控性与可观测性 ◆对偶系统：线性系统S1:{A,B,C}与系统S2:{AT ,CT,BT}是一对对 偶系统。 ◆对偶原理 当且仅当系统S1状态完全可观测（状态可控）时， 系统S2才是状态完全可控（状态可观测）的。 ◆传递函数矩阵与可控性和可观测性的关系 ƒ若系统既能控又能观，则传递函数完全反映系统，否则传函只 能部分反映系统。 只有当系统可控又可观测的条件下，传递函数描述与状态空间 描述才是等价的。 ƒ若系统不可控或不可观，则系统的传递函数会出现极、零点相 消。 ƒ若系统的传递函数出现零极点相消现象时，则该系统的可控性 和可观测性至少有一个被破坏，视状态变量的选择而定。 32 传函与可控可观测性 例 【例】已知系统的传递函数，当a取何值时系统将不可控或不 可观测？ ( ) 8147 23 +++ += sss assG 【解】 ( ) ( )( )( )421 +++ += sss assG 则当a取1，2或4时系统将不可控或不可观测。 ƒ单输入-单输出系统状态可控可观的充要条件是由动态方程导 出的传递函数不存在零极点相消。 ¾状态可控的充要条件是(sI-A)-1b不存在零极点相消。 ¾状态可观测的充要条件是c(sI-A)-1不存在零极点相消。 传递函数存在零极点相消时是否一定既不可控又不可观测？ 33 变换到标准型 ◆线性变换不改变系统的状态完全可控性和可观测性。 ◆可控标准型的化简 ƒ如果系统{A,B}可控，则一定存在线性变换矩阵P，使得系统 {P-1AP, P-1B}成为可控标准型。 ƒ对于可控的单输入系统，线性变换矩阵P是唯一的。且 [ ][ ] 111 1 1 1 1 1 1000, −− − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = BAABBP AP AP P P n n LLM 最后一行 多输入系统？ 变换矩阵不唯一。⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− = −1210 1 0100 0010 n c aaaa A L MMMM L L ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 McB 记 ！ 34 变换到标准型 ◆可观测标准型的化简 ƒ如果系统{A,B,C}可观测，则一定存在线性变换矩阵P，使得 系统{P-1AP, P-1B,CP}成为可观测标准型。 ƒ对于可观测的单输入系统，线性变换矩阵P是唯一的。且 [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ == − − −− 1 0 0 , 1 1 11 1 11 1 M ML n n CA CA C PPAAPPP 最后一列 多输入系统？ 变换矩阵不唯一。 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = −1 1 0 00 01 00 n o a a a A L L L L [ ]100 L=oC 记 ！ 35 变换到标准型 例 【例】将系统化为可控标准型。 BuAxx +=& ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −= 1210 061 000 A ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ = 0 0 1 B 【解】 [ ] ⎢⎢⎣ ⎡ == 0 0 1 2BAABBQ 0 1 0 ⎥⎥⎦ ⎤ − 1 6 0 系统状态完全可控。 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ =− 2 1 1 1 1 AP AP P P [ ] 1 1 100 610 001 100 − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −=P [ ]100= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ =− 100 1P 1210 − 144181 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ = 001 0112 11872 P ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −− == − 18720 100 010 1 APPAc ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ == − 1 0 0 1BPBc λλλ λ 7218 23 ++= − AI 36 极点配置 ◆定义：使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题， 称为极点配置问题。 ◆途径：考虑线性定常系统{A,B,C}： ⎩⎨ ⎧ = += Cxy BuAxx& B 1/s C A x. x + u y - H r ƒ输出反馈：输出反馈到参考输入 Hyru −= BrxBHCAx +−= )(& ( ) BBHCAsICsH 1)]([ −−−=Φ 不改变系统的可控可观测性！ ƒ状态反馈： Kxru −= BrxBKAx +−= )(& ( ) BBKAsICsK 1)]([ −−−=Φ 不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性！ 改变原系统的 极点分布 K 37 极点配置 例 已知闭环传递函数，希望将系统的闭环极 点配置到-1和-3。 23 12)( 2 ++ += ss ssG 【解】为便于分析，建立可控标准型。 [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 2 1 2 1 21 1 0 32 10 x xy ux x x x & & ƒ输出反馈：u=r-Hy，则反馈 阵H=h， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−=− hhBHCA 232 10 特征多项式 =++++ hh 2)23(2 λλ )3)(1( ++ λλ 342 ++= λλ 无法实现极点的配置！ ƒ状态反馈： u=r-Kx， 21× 12 2 2)3( kk ++++ λλ 342 ++= λλ 1,1 21 == kk 可以实现极点的配置！ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−=− 21 32 10 kkBKA 12× 设反馈阵K=[k1 k2]， 38 极点配置 ⎩⎨ ⎧ = += Cxy BuAxx& ƒ输出反馈：输出反馈到参考输入 Hyru −= BrxBHCAx +−= )(& ƒ状态反馈： Kxru −= BrxBKAx +−= )(& ƒ输出量反馈到状态微分： 则 B 1/s C A x& x + u y − H r K B 1/s C A x& x + u yr CxyhyBuAxx =−+=& ( ) CxyBuxhCAx =+−=& 条件：状态完全可观测。 39 极点配置定理 ◆极点配置定理 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配 置闭环极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。 ◆证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 BuAxx +=& 状态完全可控系统可以通过线性变换化为可控标准型： ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− = −1210 1 0100 0010 naaaa A L MMMM L L ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 MB xPxuBxAx =+= ,& Kxru −= xKr −= KPK = 则系统矩阵变为 =− KBA [ ]110 −= nkkk L ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−−−−− −− 11221100 1 0100 0010 nn kakakaka L MMMM L L 40 极点配置定理_充分性 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−−−−− =− −− 11221100 1 0100 0010 nn kakakaka KBA L MMMM L L 特征方程( ) 0)()()( 0011111 =+++++++=−− −−− kaskaskasKBAsI nnnn L BuAxx +=& xPxuBxAx =+= ,& Kxru −= xKr −= KPK = 若闭环系统的期望极点为μ1 , μ2 ,… μn，则期望的特征多项式( )( ) ( ) 011121 ∗∗−−∗ ++++=−−− asasassss nnnn LL μμμ 可见，选择适当的控制系数K可以实现极点的任意配置。 充分性得证。 2、必要性 [ ]110 −= nkkkK L [ ]110 −= nkkk L 1−= PKK [ ]1* 11*10*0 −− −−−= nn aaaaaa L 41 极点配置定理_必要性 2、必要性 即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。 现利用反证法证明。 先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK 的特征值不可能由线性状态反馈来控制。 则必有状态变量与控制u无关， 因此，不可能实现全状态反馈，则不可控子系统的特征值就不 能任意配置。 必要性得证。 假设原线性系统 状态不完全可控，则其可控性 矩阵的秩小于n，即 BuAxx +=& [ ] nqBAABB n <=−1rank MLMM 42 极点配置定理 ◆极点配置定理 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配 置闭环极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。 ◆证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性 该定理对多输入多输出系统也成立。 43 极点配置的算法1 给定单输入单输出线性定常系统，可由下列步骤确定线性反馈 矩阵K，使闭环系统的期望极点为μ1 , μ2 ,… μn。 ◆1、考察系统的可控性条件。如果系统是状态完全可控的，则 可按下列步骤继续。 ◆2、计算系统矩阵A的特征多项式，确定a0,a1…an-1的值。 ◆3、确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若 给定的状态方程已是可控标准形，则P = I。 ◆4、利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为 ◆5、矩阵K为 从而确定出a0* , a1 *,… an-1 *的值。 01 1 1 asasasAsI n n n ++++=− −− L ( )( ) ( ) 011121 ∗∗−−∗ ++++=−−− asasassss nnnn LL μμμ [ ] 11* 11*10*0 −−− −−−= PaaaaaaK nnL 44 极点配置 例 【例】 考虑线性定常系统 利用状态反馈控制，希望该系统的 闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试 确定状态反馈增益矩阵K。 【解】第一步：首先检验该系统的可控性。 该系统是状态完全可控的，可任意配置极点。 第二步：计算系统矩阵A的特征多项式， ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−−= 651 100 010 A ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡= 1 0 0 B BuAxx +=& ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +− −=− 651 10 01 s s s AsI 156 23 +++= sss 第三步： P = I 第四步：期望的特征多项式( )( )( ) 2006014 104242 23 +++= +++−+ sss sjsjs 第五步：[ ] 1−= PK 199 55 8 [ ]855199= 45 极点配置的算法2 给定状态完全可控的单输入单输出线性定常系统，可由下面等 式确定线性反馈矩阵K(1╳n矩阵)，使闭环系统的期望极点为 μ1 , μ2 ,… μn: ( ) 期望的特征多项式=−− BKAsI 【例】 考虑线性定常系统 利用状态反馈控制，希望该系统 的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。 试确定状态反馈增益矩阵K。 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−−= 651 100 010 A ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡= 1 0 0 B BuAxx +=& 【解】第一步：检验该系统的可控性。 第二步：设K=[k1,k2,k3]，则 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++++ − −=+− 362511 10 01 kskk s s BKAsI ( ) ( ) ( ) ( ) 112536 251136 23 2 ksksks kskkssBKAsI ++++++= ++++++=+− ( )( )( ) 2006014 104242 23 +++= +++−+= sss sjsjs 83,552,1991 ===⇒ kkk [ ]855199=K 46 习题课 已知状态矩阵A，求状态转移矩阵 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0000 1000 0100 0010 A ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 1000 100 !2 10 !3!2 1 2 32 t tt ttt e At ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − t t t tmt t At e te e m ettee e 1 1 1 111 1 !1 )!1(!1 λ λ λ λλ λ O MO L 【解】 47 习题课 ◆方阵：行列式=0则矩阵不满秩。 【例】求使系统可观测时参数的条件。 ∫∫ −= tt vduuvudv 00◆求积分： [ ]xy xb ax 11 0 1 −= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=& 【解】可观测性矩阵 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ baCA C 1 11 要使系统状态完全可观测，需可观测性矩阵满秩，即行列 式不为零。 01det ≠+−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ abCAC 1≠− ab