第八章 常微分方程组的数值解

nullnull 在工程和科学技术的实际问题中，常需求解微分方程，但常微分方程中往往只有少数较简单和典型的常微分方程（例如线性常系数常微分方程等）可求出其解析解,对于变系数常微分方程的解析求解就比较困难，而一般的非线性常微分方程的求解困难就更不用说了。大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级数解法、逐次逼近法等;另一类是数值解法，它给出方程在一些离散点上的近似值。null其中 x 是质量，m是离开平衡位o的距离，t为时间，c为弹簧系数。 在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方程和定解条件合在一起组成定解问题。定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。null 我们现在讨论常微分方程的数值解法。先从最简单的一阶常微分方程的初值问题出发开始讨论。 由常微分方程理论可知：只要上式中的函数f(x,y)在区域 G={a≤x≤b,－∞＜y＜∞}内连续，且关于 y 满足Lipschitz条件，即存在与 x, y 无关的常数L，使null 下面 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 均假定满足上述条件。nullnullnull 这就是Euler公式（ 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ）。 利用它可由初值 出发逐步算出 。 这类形式的方法也称为差分方法。定义：如果局部截断误差为 ，则这种数值算法的精度为p阶，故Euler格式的精度为一阶。 从几何意义上来看，如图， 当假定 为准确值，即在 的前提下来估计误差 ，这种截断误差称为局部截断误差。 由（2）、（3）知Euler公式在 处的局部截断误差为：nullnullnullnull即为Euler格式（3）。 nullnull 显式与隐式两类方法各有特点，使用显式算法远比隐式算法方便，但考虑数值稳定性等因素，人们常选用隐式算法。null 隐试算法（6）常用迭代法来实现，而迭代过程实质上是逐步 显式化。nullnullnullnull对右端利用左矩形公式可得 即 Euler格式 nullnull梯形公式也是隐式的，可用迭代法求解，与后退Euler方法一样，仍用Euler方法提供迭代初值，其迭代格式为：null为分析迭代过程的收敛性，将（12）与（8）相减得： （12）k=0，1，2，…..L为f(x,y)关于y的Lipschitz常数.如果选取h充分小使得 则 . 时有 这表明迭代过程（12）是收敛于（8）的解的。 nullnull null 由表可见，与精确解 相比，改进的Euler公式的精度较Euler 公式有明显的提高。 下面再看两步Euler公式（9），除了给出初值 外，还需要借助 其它单步法（如Euler公式，后退Euler公式及梯形公式等）再提供一个Euler公式改进的Euler公式精确解01110.10.20.310.90000000.81000000.72900000.34867840.90500000.81902500.74121760.36854100.90483740.81873080.74081820.3678794null启动值 然后才能启动 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 依次计算 用两步Euler公式与梯形公式相匹配，又可得到下面预测-校正 系统： （18）两步法优美是由于它调用了两个节点上的信息，从而能以较少的 计算量获得较高的精度。 预测：null与改进的Euler公式（13）（14）相比较易见（17）（18）的一个 突出特点是它的预测公式与校正公式具有同阶精度。据此可以比较 方便的估计截断误差，并基于这种估计，可以提供一种提高精度的 简易方法。 若预测公式（17）中的 和 都是准确的。即 则由两步Euler公式的截断误差公式（10）知：nullnullnull 而具体则有: nullnullnullnullnullnullnullnull（9）null则根据（2）有：于是三阶Ｔａｙｌｏｒ展开nullnullnullnullnull解：三种方法如下： Euler格式：改进的Euler格式：(h=0.05)经典的R-K格式：(h=0.1)nullEuler法h=0.025 改进Eulerh=0.05R-K法h=0.1 精确解yx=0.1x=0.2x=0.30.9036878900.8166518030.7379983450.9048765620.8188015930.740914370.9048375000.8187309010.7408180.904837480.818730750.74081822x这里采用了不同的步长h值，是为了使他们所耗的计算工作量 大致相同，以便于比较。由上表可见，经典的R-K方法的精确度 较改进的Euler方法又有很大的提高。这一结论也可以从理论上 大致的分析出来。null析出来：Euler方法的局部截断误差为：计算四步后的而经典R-K方法的局部截断误差则为：可见，当为大致相同数量级的常数时有：但要注意的是：R-K方法的导出利用了Taylor展开，因此要求 所求的解有教好的光滑性，如果解的光滑性差，则采用经典的 R-K方法所的数值解，其精度有可能反而不及改进的Euler方法， 因此在实际计算中应根据问题的具体情况来选择适合的算法。 null 在应用数值法求解微分方程中，选择适当的步长是至关重要的。步 长太大则达不到要求，步长太小则步数增多，不但增加计算工作量， 还可能导致舍入误差的严重积累。尤其是当微分方程的解y(x)变化 激烈时，步长的合理取法是在变化激烈处步长取小些，在变化平缓 时取大些，也就是采取自动变步长的方法，即根据精度的要求先估 计出下一步长的合理大小，然后按此计算。null 作为近似值，则 的精确度都要高。 当p=4时，可以取这种修正方法与Romberg的数值积分的思路是一样的。（15） 除以（14）得：由此可以得出误差 事后估计式：null 由上面的分析可见，微分方程数值解的基本思想是，通过nullnullnullnullnullnullnullnullnull0.0250.0500.0750.100123450-1-2-3xy其方程时间常数为因此有（10）知，要使Euler法稳定 则步长如果取步长h=0.025则Euler格式为：null其结果在准确解上下波动不稳定，再看后退Euler格式 H=0.025时，形式为：计算结果稳定。具体结果如下：节点Eule方法后退Euler方法0.025-1.50.28570.050.2.250.08160.075-3.3750.02330.1005.06250.0067nullnullnullnullnull例如 k=3 时有： （7） （7）称为Adams四步显式法。它用到了四个节点上的f值，是 一种最常用的多步法，其精度为四阶。 如果利用共k+1个数据来构造一个Newton内插多次式，则与上面类似推导可得：局部截断误差为：nullnullnullnullnull如下列定解问题： 其Adams三步隐式格式为：很难化为yi+1的显式表达式，只能用迭代发求解，这就增加了计算工作量。在实际计算中，往往仿照改进的Euler格式的构造方程，把显式和隐式俩种Adams方法结合起来构成预测一校正系统。Adams隐式方法在计算过程中,对于一般的情形往往要解超越方程。null以四阶Adams方法为例。先由显式方法算出近似值，作为隐式方法的预测值，然后再作校正。上式计算yi+1既要用到它前一步的信息yi和fi,还要用到更前面三步的信息fi-1 , fi-2 , fi-3 。它是一种一步法，无法自动启动，需要用其他四阶单步法（如四阶R-K法）先从y0求出y1， y2， y3作为初值。然后按(11)进行迭代。null例：用Admas预测校正方法求解下列初值问题：nullnullAdams预测一校正方法与Richardson外推法相结合，可以提高计算精度而不会增加过大的计算工作量。预测公式的局部截断误差为：校正公式的局部截断误差为：null设pi和ci分别为第i步的预测值和校正值，则可取：null(14)null用上式计算yi+1时, 需要用到前几步的 信息yi, fi ,fi-1 , fi-2 , fi-3 和 ci-pi, 故无法自动启动, 需要用其他一阶单步法(如四阶R-K法)算出y1 ,y2 ,y3作为处值, 然后再按(14)计算, 而令c3 -p3=0。nullnullnullnullnullnullnullnull