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线性代数课后答案(同济版)

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线性代数课后答案(同济版)兰州交大化工学院 Bismarck孟 11.5整理 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acbbaccbabbbaaaccc 3abca3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (ab)(bc)(ca) (4) 解 x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3 3xy(xy)y33x2 yx3y3x3 2(x3y3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆...

线性代数课后答案(同济版)
兰州交大化工学院 Bismarck孟 11.5整理 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acbbaccbabbbaaaccc 3abca3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (ab)(bc)(ca) (4) 解 x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3 3xy(xy)y33x2 yx3y3x3 2(x3y3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解 逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解 逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为 (1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 (1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 (1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 abcdabcdad1 5 证明: (1) (ab)3; 证明 (ab)3 (2) ; 证明 (3) ; 证明 (c4c3 c3c2 c2c1得) (c4c3 c3c2得) (4) (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd); 证明 =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) (5) xna1xn1 an1xan 证明 用数学归纳法证明 当n2时 命题成立 假设对于(n1)阶行列式命题成立 即 Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则Dn按第一列展开 有 xD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于n阶行列式命题成立 6 设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转 依次得 证明 D3D 证明 因为Ddet(aij) 所以 同理可证 7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1) , 其中对角线上元素都是a 未写出的元素都是0 解 (按第n行展开) anan2an2(a21) (2) ; 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得 再将各列都加到第一列上 得 [x(n1)a](xa)n1 (3) ; 解 根据第6题结果 有 此行列式为范德蒙德行列式 (4) ; 解 (按第1行展开) 再按最后一行展开得递推公式 D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2 于是 而 所以 (5) Ddet(aij) 其中aij|ij|; 解 aij|ij| (1)n1(n1)2n2 (6) , 其中a1a2 an0 解 8 用克莱姆法则解下列方程组 (1) 解 因为 所以 (2) 解 因为 所以 9 问 取何值时 齐次线性方程组 有非零解? 解 系数行列式为 令D0 得 0或1 于是 当0或1时该齐次线性方程组有非零解 10 问取何值时 齐次线性方程组 有非零解? 解 系数行列式为 (1)3(3)4(1)2(1)(3) (1)32(1)23 令D0 得 0 2或3 于是 当0 2或3时 该齐次线性方程组有非零解 Bismarck-孟整理编篡第一章(完) 第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知 故 2 已知两个线性变换 求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解 由已知 所以有 3 设 求3AB2A及ATB 解 4 计算下列乘积 (1) 解 (2) 解 (132231)(10) (3) 解 (4) 解 (5) 解 (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 5 设 问 (1)ABBA吗? 解 ABBA 因为 所以ABBA (2)(AB)2A22ABB2吗? 解 (AB)2A22ABB2 因为 但 所以(AB)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗? 解 (AB)(AB)A2B2 因为 而 故(AB)(AB)A2B2 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A20 则A0 解 取 则A20 但A0 (2)若A2A 则A0或AE 解 取 则A2A 但A0且AE (3)若AXAY 且A0 则XY 解 取 则AXAY 且A0 但XY 7 设 求A2 A3 Ak 解 8 设 求Ak 解 首先观察 用数学归纳法证明 当k2时 显然成立 假设k时成立,则k1时, 由数学归纳法原理知 9 设A B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵 证明 因为ATA 所以 (BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而BTAB是对称矩阵 10 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA 证明 充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即AB是对称矩阵 必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以 AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 解 |A|1 故A1存在 因为 故 (2) 解 |A|10 故A1存在 因为 所以 (3) 解 |A|20 故A1存在 因为 所以 (4) (a1a2 an 0) 解 由对角矩阵的性质知 12 解下列矩阵方程 (1) 解 (2) 解 (3) 解 (4) 解 13 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 解 方程组可 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 故 从而有 (2) 解 方程组可表示为 故 故有 14 设AkO (k为正整数) 证明(EA)1EAA2 Ak1 证明 因为AkO 所以EAkE 又因为 EAk(EA)(EAA2 Ak1) 所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理2推论知(EA)可逆 且 (EA)1EAA2 Ak1 证明 一方面 有E(EA)1(EA) 另一方面 由AkO 有 E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak) (EAA2 A k1)(EA) 故 (EA)1(EA)(EAA2 Ak1)(EA) 两端同时右乘(EA)1 就有 (EA)1(EA)EAA2 Ak1 15 设方阵A满足A2A2EO 证明A及A2E都可逆 并求A1及(A2E)1 证明 由A2A2EO得 A2A2E 即A(AE)2E 或 由定理2推论知A可逆 且 由A2A2EO得 A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E 或 由定理2推论知(A2E)可逆 且 证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得 |A2A|2 即 |A||AE|2 故 |A|0 所以A可逆 而A2EA2 |A2E||A2||A|20 故A2E也可逆 由 A2A2EO A(AE)2E A1A(AE)2A1E 又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E (A2E)(A3E)4 E 所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 16 设A为3阶矩阵 求|(2A)15A*| 解 因为 所以 |2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A1)* 证明 由 得A*|A|A1 所以当A可逆时 有 |A*||A|n|A1||A|n10 从而A*也可逆 因为A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A 又 所以 (A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n1 证明 (1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得 AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 所以A*O 这与|A*|0矛盾,故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于 则AA*|A|E 取行列式得到 |A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n1 若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A*||A|n1 19 设 ABA2B 求B 解 由ABA2E可得(A2E)BA 故 20 设 且ABEA2B 求B 解 由ABEA2B得 (AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE) 因为 所以(AE)可逆 从而 21 设Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求B 解 由A*BA2BA8E得 (A*2E)BA8E B8(A*2E)1A1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E2A)1 8(2E2A)1 4(EA)1 4[diag(2 1 2)]1 2diag(1 2 1) 22 已知矩阵A的伴随阵 且ABA1BA13E 求B 解 由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E得 ABB3A B3(AE)1A3[A(EA1)]1A 23 设P1AP 其中 求A11 解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1. |P|3 而 故 24 设APP 其中 求(A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62) diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)] diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1 25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为 A1(AB)B1B1A1A1B1 而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆 即A1B1可逆 (A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A 26 计算 解 设 则 而 所以 即 27 取 验证 解 而 故 28 设 求|A8|及A4 解 令 则 故 29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求 (1) 解 设 则 由此得 所以 (2) 解 设 则 由此得 所以 30 求下列矩阵的逆阵 (1) 解 设 则 于是 (2) 解 设 则 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 (1) 解 (下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 ) ~ (下一步 r2(1) r3(2) ) ~ (下一步 r3r2 ) ~ (下一步 r33 ) ~ (下一步 r23r3 ) ~ (下一步 r1(2)r2 r1r3 ) ~ (2) 解 (下一步 r22(3)r1 r3(2)r1 ) ~ (下一步 r3r2 r13r2 ) ~ (下一步 r12 ) ~ (3) 解 (下一步 r23r1 r32r1 r43r1 ) ~ (下一步 r2(4) r3(3) r4(5) ) ~ (下一步 r13r2 r3r2 r4r2 ) ~ (4) 解 (下一步 r12r2 r33r2 r42r2 ) ~ (下一步 r22r1 r38r1 r47r1 ) ~ (下一步 r1r2 r2(1) r4r3 ) ~ (下一步 r2r3 ) ~ 2 设 求A 解 是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身 是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是 E(1 2(1)) 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 (1) 解 ~ ~ ~ ~ 故逆矩阵为 (2) 解 ~ ~ ~ ~ ~ 故逆矩阵为 4 (1)设 求X使AXB 解 因为 所以 (2)设 求X使XAB 解 考虑ATXTBT 因为 所以 从而 5 设 AX 2XA 求X 解 原方程化为(A2E)X A 因为 所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r阶子式 例如 R(A)3 是等于0的2阶子式 是等于0的3阶子式 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样? 解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩 8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0) 解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵 此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量 9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式 (1) ; 解 (下一步 r1r2 ) ~ (下一步 r23r1 r3r1 ) ~ (下一步 r3r2 ) ~ 矩阵的 是一个最高阶非零子式 (2) 解 (下一步 r1r2 r22r1 r37r1 ) ~ (下一步 r33r2 ) ~ 矩阵的秩是2 是一个最高阶非零子式 (3) 解 (下一步 r12r4 r22r4 r33r4 ) ~ (下一步 r23r1 r32r1 ) ~ (下一步 r216r4 r316r2 ) ~ ~ 矩阵的秩为3 是一个最高阶非零子式 10 设A、B都是mn矩阵 证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B) 证明 根据定理3 必要性是成立的 充分性 设R(A)R(B) 则A与B的标准形是相同的 设A与B的标准形为D 则有 A~D D~B 由等价关系的传递性 有A~B 11 设 问k为何值 可使 (1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3 12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A ~ 于是 故方程组的解为 (k为任意常数) (2) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A ~ 于是 故方程组的解为 (k1 k2为任意常数) (3) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A ~ 于是 故方程组的解为 (4) 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有 A ~ 于是 故方程组的解为 (k1 k2为任意常数) 13 求解下列非齐次线性方程组: (1) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B ~ 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解 (2) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B ~ 于是 即 (k为任意常数) (3) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B ~ 于是 即 (k1 k2为任意常数) (4) 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有 B ~ 于是 即 (k1 k2为任意常数) 14 写出一个以 为通解的齐次线性方程组 解 根据已知 可得 与此等价地可以写成 或 或 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 15 取何值时 非齐次线性方程组 (1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解? 解 (1)要使方程组有唯一解 必须R(A)3 因此当1且2时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解 必须R(A)R(B) 故 (1)(2)0 (1)(1)20 因此2时 方程组无解 (3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故 (1)(2)0 (1)(1)20 因此当1时 方程组有无穷多个解. 16 非齐次线性方程组 当取何值时有解?并求出它的解 解  ~ 要使方程组有解 必须(1)(2)0 即1 2 当1时 ~ 方程组解为 或 即 (k为任意常数) 当2时 ~ 方程组解为 或 即 (k为任意常数) 17 设 问为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解 解 B ~ 要使方程组有唯一解 必须R(A)R(B)3 即必须 (1)(10)0 所以当1且10时 方程组有唯一解. 要使方程组无解 必须R(A)R(B) 即必须 (1)(10)0且(1)(4)0 所以当10时 方程组无解. 要使方程组有无穷多解 必须R(A)R(B)3 即必须 (1)(10)0且(1)(4)0 所以当1时 方程组有无穷多解此时,增广矩阵为 B~ 方程组的解为 或 (k1 k2为任意常数) 18 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT 使AabT 证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为 即存在可逆矩阵P和Q 使 或 令 bT(1 0 0)Q1 则a是非零列向量 bT是非零行向量 且AabT 充分性 因为a与bT是都是非零向量 所以A是非零矩阵 从而R(A)1 因为 1R(A)R(abT)min{R(a) R(bT)}min{1 1}1 所以R(A)1 19 设A为mn矩阵 证明 (1)方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m 证明 由定理7 方程AXEm有解的充分必要条件是 R(A)R(A Em) 而| Em|是矩阵(A Em)的最高阶非零子式 故R(A)R(A Em)m 因此 方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m (2)方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)n 证明 注意 方程YAEn有解的充分必要条件是ATYTEn有解 由(1) ATYTEn有解的充分必要条件是R(AT)n 因此,方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)R(AT)n 20 设A为mn矩阵 证明 若AXAY 且R(A)n 则XY 证明 由AXAY 得A(XY)O 因为R(A)n 由定理9 方程A(XY)O只有零解 即XYO 也就是XY 第四章 向量组的线性相关性 1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T 求v1v2及3v12v2v3 解 v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T (10 11 01)T (1 0 1)T 3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T 2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a 其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解 由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得 (1 2 3 4)T 3 已知向量组 A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示 证明 由 知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示 由 知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示 4 已知向量组 A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明A组与B组等价 证明 由 知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式 故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价 5 已知R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示 证明 (1)由R(a2 a3 a4)3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R(a1 a2 a3)2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示 (2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为 所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为 所以R(B)3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关? a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由 知 当a1、0、1时 R(A)3 此时向量组线性相关 8 设a1 a2线性无关 a1b a2b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式 解 因为a1b a2b线性相关 故存在不全为零的数1 2使 1(a1b)2(a2b)0 由此得 设 则 bca1(1c)a2 cR 9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1b1 a2b2是否一定线性相关?试举例说明之 解 不一定 例如 当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有 a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a1 a2 am是线性相关的 则a1可由a2 am线性表示 解 设a1e1(1 0 0 0) a2a3 am0 则a1 a2 am线性相关 但a1不能由a2 am线性表示 (2)若有不全为0的数1 2 m使 1a1 mam1b1 mbm0 成立 则a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数1 2 m使 1a1 mam 1b1 mbm 0 原式可化为 1(a1b1) m(ambm)0 取a1e1b1 a2e2b2 amembm 其中e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2 am和b1 b2 bm均线性无关 (3)若只有当1 2 m全为0时 等式 1a1 mam1b1 mbm0 才能成立 则a1 a2 am线性无关, b1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当1 2 m全为0时 等式 由1a1 mam1b1 mbm 0 成立 所以只有当1 2 m全为0时 等式 1(a1b1)2(a2b2) m(ambm)0 成立 因此a1b1 a2b2 ambm线性无关 取a1a2 am0 取b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但a1 a2 am线性相关 (4)若a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为0的数 1 2 m使 1a1 mam0 1b1 mbm0 同时成立 解 a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T 1a12a2 0122 1b12b2 01(3/4)2 120 与题设矛盾 11 设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得 a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1 于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1 从而 b1b2b3b40 这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 12 设b1a1 b2a1a2 br a1a2 ar 且向量组a1 a2 ar线性无关 证明向量组b1 b2 br线性无关 证明 已知的r个等式可以写成 上式记为BAK 因为|K|10 K可逆 所以R(B)R(A)r 从而向量组b1 b2 br线性无关 13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组 (1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T 解 由 知R(a1 a2 a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线性无关 所以a1 a2是一个最大无关组 (2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7) 解 由 知R(a1T a2T a3T)R(a1 a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例 故a1T a2T线性无关 所以a1T a2T是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 (1) 解 因为 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) 解 因为 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 15 设向量组 (a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T 的秩为2 求a b 解 设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为 而R(a1 a2 a3 a4)2 所以a2 b5 16 设a1 a2 an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2 en能由它们线性表示 证明a1 a2 an线性无关 证法一 记A(a1 a2 an) E(e1 e2 en) 由已知条件知 存在矩阵K 使 EAK 两边取行列式 得 |E||A||K| 可见|A|0 所以R(A)n 从而a1 a2 an线性无关 证法二 因为e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 所以 R(e1 e2 en)R(a1 a2 an) 而R(e1 e2 en)n R(a1 a2 an)n 所以R(a1 a2 an)n 从而a1 a2 an线性无关 17 设a1 a2 an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一n维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设a为任一n维向量 因为a1 a2 an线性无关 而a1 a2 an a是n1个n维向量 是线性相关的 所以a能由a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 于是有 nR(e1 e2 en)R(a1 a2 an)n 即R(a1 a2 an)n 所以a1 a2 an线性无关 18 设向量组a1 a2 am线性相关 且a10 证明存在某个向量ak (2km) 使ak能由a1 a2 ak1线性表示 证明 因为a1 a2 am线性相关 所以存在不全为零的数1 2 m 使 1a12a2 mam0 而且2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则1a10 由a10知10 矛盾 因此存在k(2km) 使 k0 k1k2 m0 于是 1a12a2 kak0 ak(1/k)(1a12a2 k1ak1) 即ak能由a1 a2 ak1线性表示 19 设向量组B b1 br能由向量组A a1 as线性表示为 (b1 br)(a1 as)K 其中K为sr矩阵 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r 证明 令B(b1 br) A(a1 as) 则有BAK 必要性 设向量组B线性无关 由向量组B线性无关及矩阵秩的性质 有 rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K) 及 R(K)min{r s}r 因此R(K)r 充分性 因为R(K)r 所以存在可逆矩阵C 使 为K的标准形 于是 (b1 br)C( a1 as)KC(a1 ar) 因为C可逆 所以R(b1 br)R(a1 ar)r 从而b1 br线性无关 20 设 证明向量组1 2 n与向量组1 2 n等价 证明 将已知关系写成 将上式记为BAK 因为 所以K可逆 故有ABK 1 由BAK和ABK 1可知向量组1 2 n与向量组1 2 n可相互线性表示 因此向量组1 2 n与向量组1 2 n等价 21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x 且向量组x Ax A2x线性无关 (1)记P(x Ax A2x) 求3阶矩阵B 使APPB 解 因为 APA(x Ax A2x) (Ax A2x A3x) (Ax A2x 3AxA2x) 所以 (2)求|A| 解 由A3x3AxA2x 得A(3xAxA2x)0 因为x Ax A2x线性无关 故3xAxA2x0 即方程Ax0有非零解 所以R(A)3 |A|0 22 求下列齐次线性方程组的基础解系 (1) 解 对系数矩阵进行初等行变换 有 于是得 取(x3 x4)T(4 0)T 得(x1 x2)T(16 3)T 取(x3 x4)T(0 4)T 得(x1 x2)T(0 1)T 因此方程组的基础解系为 1(16 3 4 0)T 2(0 1 0 4)T (2) 解 对系数矩阵进行初等行变换 有 于是得 取(x3 x4)T(19 0)T 得(x1 x2)T(2 14)T 取(x3 x4)T(0 19)T 得(x1 x2)T(1 7)T 因此方程组的基础解系为 1(2 14 19 0)T 2(1 7 0 19)T (3)nx1 (n1)x2 2xn1xn0. 解 原方程组即为 xnnx1(n1)x2 2xn1 取x11 x2x3 xn10 得xnn 取x21 x1x3x4 xn10 得xn(n1)n1 取xn11 x1x2 xn20 得xn2 因此方程组的基础解系为 1(1 0 0 0 n)T 2(0 1 0 0 n1)T n1(0 0 0 1 2)T 23 设 , 求一个42矩阵B, 使AB0, 且 R(B)2. 解 显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解 因为 所以与方程组AB0同解方程组为 取(x3 x4)T(8 0)T 得(x1 x2)T(1 5)T 取(x3 x4)T(0 8)T 得(x1 x2)T(1 11)T 方程组AB0的基础解系为 1(1 5 8 0)T 2(1 11 0 8)T 因此所求矩阵为 24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为 1(0 1 2 3)T 2(3 2 1 0)T 解 显然原方程组的通解为 , 即 (k1 k2R) 消去k1 k2得 此即所求的齐次线性方程组. 25 设四元齐次线性方程组 I II 求 (1)方程I与II的基础解系 (2) I与II的公共解 解 (1)由方程I得 取(x3 x4)T(1 0)T 得(x1 x2)T(0 0)T 取(x3 x4)T(0 1)T 得(x1 x2)T(1 1)T 因此方程I的基础解系为 1(0 0 1 0)T 2(1 1 0 1)T 由方程II得 取(x3 x4)T(1 0)T 得(x1 x2)T(0 1)T 取(x3 x4)T(0 1)T 得(x1 x2)T(1 1)T 因此方程II的基础解系为 1(0 1 1 0)T 2(1 1 0 1)T (2) I与II的公共解就是方程 III 的解 因为方程组III的系数矩阵 所以与方程组III同解的方程组为 取x41 得(x1 x2 x3)T(1 1 2)T 方程组III的基础解系为 (1 1 2 1)T 因此I与II的公共解为xc(1 1 2 1)T cR 26 设n阶矩阵A满足A2A E为n阶单位矩阵, 证明 R(A)R(AE)n 证明 因为A(AE)A2AAA0 所以R(A)R(AE)n 又R(AE)R(EA) 可知 R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n 由此R(A)R(AE)n 27 设A为n阶矩阵(n2) A*为A的伴随阵 证明 证明 当R(A)n时 |A|0 故有 |AA*|||A|E||A|0 |A*|0 所以R(A*)n 当R(A)n1时 |A|0 故有 AA*|A|E0 即A*的列向量都是方程组Ax0的解 因为R(A)n1 所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此R(A*)1 当R(A)n2时 A中每个元素的代数余子式都为0 故A*O 从而R(A*)0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 (1) 解 对增广矩阵进行初等行变换 有 与所给方程组同解的方程为 当x30时 得所给方程组的一个解(8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组同解的方程为 当x31时 得对应的齐次方程组的基础解系(1 1 1 0)T (2) 解 对增广矩阵进行初等行变换 有 与所给方程组同解的方程为 当x3x40时 得所给方程组的一个解 (1 2 0 0)T 与对应的齐次方程组同解的方程为 分别取(x3 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系 1(9 1 7 0)T 2(1 1 0 2)T 29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1 2 3是它的三个解向量 且 1(2 3 4 5)T 23(1 2 3 4)T 求该方程组的通解 解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得 21(23)(12)(13) (3 4 5 6)T 为其基础解系向量 故此方程组的通解 xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T (kR) 30 设有向量组A a1( 2 10)T a2(2 1 5)T a3(1 1 4)T 及b(1 1)T 问 为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示 (2)向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一 (3)向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 (1)当4 0时 R(A)R(A b) 此时向量b不能由向量组A线性表示 (2)当4时 R(A)R(A b)3 此时向量组a1 a2 a3线性无关 而向量组a1 a2 a3 b线性相关 故向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一 (3)当4 0时 R(A)R(A b)2 此时向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 当4 0时 方程组(a3 a2 a1)xb的解为 cR 因此 b(2c1)a3(3c1)a2ca1 即 b ca1(3c1)a2(2c1)a3 cR 31 设a(a1 a2 a3)T b(b1 b2 b3)T c(c1 c2 c3)T 证明三直线 l1 a1xb1yc10 l2 a2xb2yc20 (ai2bi20 i1 2 3) l3 a3xb3yc30 相交于一点的充分必要条件为 向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 即 有唯一解 上述方程组可写为xaybc 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a b唯一线性表示 而c能由a b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关 32 设矩阵A(a1 a2 a3 a4) 其中a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3 向量ba1a2a3a4 求方程Axb的通解 解 由ba1a2a3a4知(1 1 1 1)T是方程Axb的一个解 由a12a2 a3得a12a2a30 知(1 2 1 0)T是Ax0的一个解 由a2 a3 a4线性无关知R(A)3 故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量 因此(1 2 1 0)T是方程Ax0的基础解系 方程Axb的通解为 xc(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T cR 33 设*是非齐次线性方程组Axb的一个解, 1 2 nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 (1)* 1 2 nr线性无关 (2)* *1 *2 *nr线性无关 证明 (1)反证法, 假设* 1 2 nr线性相关 因为1 2 nr线性无关 而* 1 2 nr线性相关 所以*可由1 2 nr线性表示 且表示式是唯一的 这说明*也是齐次线性方程组的解 矛盾 (2)显然向量组* *1 *2 *nr与向量组* 1 2 nr可以相互表示 故这两个向量组等价 而由(1)知向量组* 1 2 nr线性无关 所以向量组* *1 *2 *nr也线性无关 34 设1 2 s是非齐次线性方程组Axb的s个解 k1 k2 ks为实数 满足k1k2 ks1. 证明 xk11k22 kss 也是它的解. 证明 因为1 2 s都是方程组Axb的解 所以 Aib (i1 2 s) 从而 A(k11k22 kss)k1A1k2A2 ksAs (k1k2 ks)bb 因此xk11k22 kss也是方程的解 35 设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为r 1 2 nr1是它的nr1个线性无关的解 试证它的任一解可表示为 xk11k22 knr1nr1 (其中k1k2 knr11). 证明 因为1 2 nr1均为Axb的解 所以121 231 nr nr11均为Axb的解 用反证法证 1 2 nr线性无关 设它们线性相关 则存在不全为零的数1 2 nr 使得 11 22 nr nr0 即 1(21) 2(31) nr(nr11)0 亦即 (12 nr)11223 nrnr10 由1 2 nr1线性无关知 (12 nr)12 nr0 矛盾 因此1 2 nr线性无关 1 2 nr为Axb的一个基础解系 设x为Axb的任意解 则x1为Ax0的解 故x1可由1 2 nr线性表出 设 x1k21k32 knr1nr k2(21)k3(31) knr1(nr11) x1(1k2k3 knr1)k22k33 k nr1nr1 令k11k2k3 knr1 则k1k2k3 knr11 于是 xk11k22 knr1nr1 36 设 V1{x(x1 x2  xn)T | x1  xnR满足x1x2 xn0} V2{x(x1 x2  xn)T | x1  xnR满足x1x2 xn1} 问V1 V2是不是向量空间?为什么? 解 V1是向量空间 因为任取 (a1 a2  an)T V1 (b1 b2  bn)T V1 R 有 a1a2 an0 b1b2 bn0 从而 (a1b1)(a2b2) (anbn) (a1a2 an)(b1b2 bn)0 a1a2 an(a1a2 an)0 所以 (a1b1 a2b2  anbn)TV1 (a1 a2  an)T V1 V2不是向量空间 因为任取 (a1 a2  an)T V1 (b1 b2  bn)T V1 有 a1a2 an1 b1b2 bn1 从而 (a1b1)(a2b2) (anbn) (a1a2 an)(b1b2 bn)2 所以 (a1b1 a2b2  anbn)TV1 37 试证 由a1(0 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 1 0)T所生成的向量空间就是R3. 证明  设A(a1 a2 a3) 由 知R(A)3 故a1 a2 a3线性无关 所以a1 a2 a3是三维空间R3的一组基, 因此由a1 a2 a3所生成的向量空间就是R3. 38 由a1(1 1 0 0)T a2(1 0 1 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1(2 1 3 3)T b2(0 1 1 1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1V2. 证明 设A(a1 a2) B(b1 b2) 显然R(A)R(B)2 又由 知R(A B)2 所以R(A)R(B)R(A B) 从而向量组a1 a2与向量组b1 b2等价 因为向量组a1 a2与向量组b1 b2等价 所以这两个向量组所生成的向量空间相同 即V1V2. 39 验证a1(1 1 0)T a2(2 1 3)T a3(3 1 2)T为R3的一个基, 并把v1(5 0 7)T v2(9 8 13)T用这个基线性表示. 解 设A(a1 a2 a3) 由 知R(A)3 故a1 a2 a3线性无关 所以a1 a2 a3为R3的一个基. 设x1a1x2a2x3a3v1 则 解之得x12 x23 x31 故线性表示为v12a13a2a3 设x1a1x2a2x3a3v2 则 解之得x13 x23 x32 故线性表示为v23a13a22a3 40 已知R3的两个基为 a1(1 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 0 1)T b1(1 2 1)T b2(2 3 4)T b3(3 4 3)T 求由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵P 解 设e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则 于是 由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵为 第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1) 解 根据施密特正交化 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (2) 解 根据施密特正交化方法 2 下列矩阵是不是正交阵: (1) ; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 (2) 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵 3 设x为n维列向量 xTx1 令HE2xxT 证明H是对称的正交阵 证明 因为 HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T E2(xT)TxTE2xxT 所以H是对称矩阵 因为 HTHHH(E2xxT)(E2xxT) E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT) E4xxT4x(xTx)xT E4xxT4xxT E 所以H是正交矩阵 4 设A与B都是n阶正交阵 证明AB也是正交阵 证明 因为A B是n阶正交阵 故A1AT B1BT (AB)T(AB)BTATABB1A1ABE 故AB也是正交阵 5 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) ; 解 故A的特征值为1(三重) 对于特征值1 由 得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1)T 向量p1就是对应于特征值1的特征值向量. (2) ; 解 故A的特征值为10 21 39 对于特征值10 由 得方程Ax0的基础解系p1(1 1 1)T 向量p1是对应于特征值10的特征值向量. 对于特征值21, 由 得方程(AE)x0的基础解系p2(1 1 0)T 向量p2就是对应于特征值21的特征值向量 对于特征值39 由 得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/2 1/2 1)T 向量p3就是对应于特征值39的特征值向量 (3) . 解 故A的特征值为121 341 对于特征值121 由 得方程(AE)x0的基础解系p1(1 0 0 1)T p2(0 1 1 0)T 向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量 对于特征值341 由 得方程(AE)x0的基础解系p3(1 0 0 1)T p4(0 1 1 0)T 向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量 6 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 证明 因为 |ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以AT与A的特征多项式相同 从而AT与A的特征值相同 7 设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n 证明A与B有公共的特征值 有公共的特征向量 证明 设R(A)r R(B)t 则rtn 若a1 a2 anr是齐次方程组Ax0的基础解系 显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量 类似地 设b1 b2 bnt是齐次方程组Bx0的基础解系 则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量 由于(nr)(nt)n(nrt)n 故a1 a2 anr b1 b2 bnt必线性相关 于是有不全为0的数k1 k2 knr l1 l2 lnt 使 k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0 记 k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr) 则k1 k2 knr不全为0 否则l1 l2 lnt不全为0 而 l1b1l2b2 lnrbnr0 与b1 b2 bnt线性无关相矛盾 因此 0 是A的也是B的关于0的特征向量 所以A与B有公共的特征值 有公共的特征向量 8 设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2 证明 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则 (A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为x0 所以2320 即是方程2320的根 也就是说1或2 9 设A为正交阵 且|A|1 证明1是A的特征值 证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为1或1 因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1是A的特征值 10 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值 证明 设x是AB的对应于0的特征向量 则有 (AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而是BA的特征值 且Bx是BA的对应于的特征向量 11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值 故 |A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318 12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 解 因为|A|12(3)60 所以A可逆 故 A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E 令()61322 则(1)1 (2)5 (3)5是(A)的特征值 故 |A*3A2E||6A13A2E||(A)| (1)(2)(3)15(5)25 13 设A、B都是n阶矩阵 且A可逆 证明AB与BA相 似 证明 取PA 则 P1ABPA1ABABA 即AB与BA相似 14 设矩阵 可相似对角化 求x 解 由 得A的特征值为16 231 因为A可相似对角化 所以对于231 齐次线性方程组(AE)x0有两个线性无关的解 因此R(AE)1 由 知当x3时R(AE)1 即x3为所求 15 已知p(1 1 1)T是矩阵 的一个特征向量 (1)求参数a b及特征向量p所对应的特征值 解 设是特征向量p所对应的特征值 则 (AE)p0 即 解之得1 a3 b0 (2)问A能不能相似对角化?并说明理由 解 由 得A的特征值为1231 由 知R(AE)2 所以齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量 因此A不能相似对角化 16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: (1) ; 解 将所给矩阵记为A 由 (1)(4)(2) 得矩阵A的特征值为12 21 34 对于12 解方程(A2E)x0 即 得特征向量(1 2 2)T 单位化得 对于21, 解方程(AE)x0 即 得特征向量(2 1 2)T 单位化得 对于34, 解方程(A4E)x0 即 得特征向量(2 2 1)T 单位化得 于是有正交阵P(p1 p2 p3) 使P1APdiag(2 1 4) (2) 解 将所给矩阵记为A 由 (1)2(10) 得矩阵A的特征值为121 310 对于121 解方程(AE)x0 即 得线性无关特征向量(2 1 0)T和(2 0 1)T 将它们正交化、单位化得 对于310, 解方程(A10E)x0 即 得特征向量(1 2 2)T 单位化得 于是有正交阵P(p1 p2 p3) 使P1APdiag(1 1 10) 17 设矩阵 与 相似 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP 解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然5 4 y是的特征值 故它们也是A的特征值 因为4是A的特征值 所以 解之得x4 已知相似矩阵的行列式相同 因为 所以20y100 y5 对于5 解方程(A5E)x0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)T (1 2 0)T 将它们正交化、单位化得 对于4 解方程(A4E)x0 得特征向量(2 1 2)T 单位化得 于是有正交矩阵 使P1AP 18 设3阶方阵A的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p1(0 1 1)T p2(1 1 1)T p3(1 1 0)T 求A. 解 令P(p1 p2 p3) 则P1APdiag(2 2 1) APP1 因为 所以 19 设3阶对称阵A的特征值为11 21 30 对应1、2的特征向量依次为p1(1 2 2)T p2(2 1 2)T 求A 解 设 则Ap12p1 Ap22p2 即 ① ② 再由特征值的性质 有 x1x4x61230 ③ 由①②③解得 令x60 得 x20 因此 20 设3阶对称矩阵A的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p1(1 1 1)T 求A. 解 设 因为16对应的特征向量为p1(1 1 1)T 所以有 即 ① 233是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A3E)1 利用①可推出 因为R(A3E)1 所以x2x43x5且x3x5x63 解之得 x2x3x51 x1x4x64 因此 21 设a(a1 a2 an)T a10
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分类:英语六级
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