1.3乘法表

nullnull1.3 乘法 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 一、乘法表： 对有限群，群元素的数目有限，我们有可能把元素的乘积全部列出，构成一个表，称群的乘法表，简称群表。 乘法表的建立： RS=T：R—左乘元素，S—右乘元素，T—乘积元素 表的最左一列：列出全部群元素，作为左乘元素 表的最上一行：列出全部群元素，作为右乘元素 通常：左乘、右乘元素排列顺序相同，且恒元E排第一位nullσvRS=TEEEEnull练 习写出正方形对称变换群（D3群）的乘法表。E为恒等变换；A,B,C是3个二重转动变换；D、F是2个三重转动变换，分别是逆时针转动±2π/3角的变换。要求乘法表中元素顺序为E D F A B C。ACBacbonull二、重排定理 1. 复元素 把群的子集，即群中部分元素的集合 R={R1,R2,...,Rn} 看作一个整体，称为复元素。1）复元素中，每个群元素只出现一次，不考虑排序null3）普通元素与复元素相乘仍为复元素 若 T 为普通元素，R 为复元素，则 TR={TR1,TR2,...,TRn} RT={R1T,R2T,...,RnT}4）两复元素的乘积： 设复元素S={S1,S2,...,Sm}，则 RS={R1S1,...,R1Sm,...,RnS1,...,RnSm}5）复元素的乘积满足结合律6）若复元素的集合，按照复元素的乘积规则符合群的四个条件，则构成群。null2. 重排定理 设 T 是群 G={E,R,S,...} 中任一确定元素，则下面三个集合与原群G相同 TG={T,TR,TS,...} GT={T,RT,RS,...} G-1={E,R-1,S-1,...} 即： TG=GT=G-1=G 等价表述： 群元素在乘法表的每一行（列）出现一次且只有一次 null反之，群 G 的任意群元素 R 都可以表示成据两复元素相等的条件 TG=Gnull三、群的生成元 1. 循环群及其生成元 由一个元素R及其幂次构成的有限群，称为由R生成的循环群，常记作 Cn。 n：循环群的阶 R：循环群的生成元nulln 阶循环群的一般形式为 Cn={E,R,R2,...,Rn-1}, Rn=E,R-1=Rn-11）对有限群，若Rn=E，n是R自乘得到恒元的最低次幂 则 n 称为元素R的阶 R生成的循环群称为R的周期2）恒元且只有恒元的阶为1.3）同一个有限群中，不同元素的阶可以相同 不同元素的周期也可有重复和重合 即一个有限群可以包含几个循环群4）只有循环群，生成元的阶才等于群的阶null举 例1. 二阶群 设为{E，R}ER R=R2=E，R-1=R 二阶群必为循环群3. 三阶群S 设为{E，R，S}EERR S=E，R R=S R3=E （S3=E） 三阶群必为循环群null1）循环群是阿贝尔群，任意元素乘积可对易 2）循环群的乘法表有一个共同的特点 当表中元素按幂次排列时，表的每一行可由前一行向左移动一个格得到，最左面的元素移到最右面null2. 有限群的生成元● 循环群是特殊的有限群● 有限群中任元素R的周期构成群的一个子集 R= {R，R2,...，Rn=E}● 以此类推，最后总能充满整个群, 群中所有元素可表示为若干元素 乘积 T=RmSW... ● 适当选择这些元素，使有限群中的 元素表示为尽可能少的若干元素 的乘积 null定义：在有限群中选择一些元素的最小集合， 这些元素的幂和乘积可以生成该群的所有元素， 则称此集合的元素为有限群的生成元 秩：有限群生成元的数目称为有限群的秩举 例由两个元素A、B生成一个群G，要求A2=B3=(AB)2=E解：1）由已知，群G中必有 E，A，B 2）B3=E，群G中必有 B2null要求A2=B3=(AB)2=E 3）由乘积封闭性，群G中必有 AB，BA可证二者不等. 若AB=BA，由(AB)2=E 得 E=AB AB=A2 B2=B2 由步骤2）可知 B2 是新元素 4）BAB，AB2，B2AAB2=AB B=B2A B=B2 B2A=(BA) 不是新元素以此类推，可得群G={ E，A，B，B2，AB，BA}null练 习1、证明{ E，A，B，B2，AB，BA}构成群。 2、由（A，B2）生成一个群G， 要求A2=B3=(AB)2=Enull四、建立乘法表的另一种方法 以正方形对称变换群为例说明 把正方形的对称变换 看成 平面上点的变换 变换前的坐标记为 （x，y） 变换后的坐标记为 （x'，y'） 变换操作用2×2矩阵表示，即如：C4操作 将变换前后，正方形各点坐标带入上式null四、DN群 （正N多边形对称变换群）1. 群元素 1) N重对称轴：通过中心垂直于正N多边形的轴（Z轴） 绕Z轴转动 2π/N角的变换记作 TN个对称变换：T，T2，...，TN-1，TN=E2) 二重对称轴：在xy平面上 N为偶数：两相对顶点连线 （N/2个） 两对边重点连线 （N/2个） N为奇数：顶点到对边中点连线（N个） 这样的转动轴共N个，它们与x轴夹角为jπ/N， 相应的变换记作 Sj （0 ≤ j ≤ N-1）DN群由2N个元素：N个T， N个Sjnull2. DN群元素乘积规则 N个对称变换T：T，T2，...，TN-1，TN=E （N阶循环群） Sj： Sj2=E （2阶循环群）设与Sj相应的二重转动轴上有一点Anull1. 对 A 点作 TSj 操作（先Sj，后T）A 点 在 Sj 对应轴上→ A 在 Sj 变换后位置不变 A 在 T 变换后，转过2π/N角，到达 A' 点 (TSj)A→ A相对角AOA'角平分线转π角→某变换Sj'Sj'Sj' Sj'轴与x轴的夹角为：jπ/N+π/N=(j+1)π/N→Sj+1TSj=Sj+1null2. 对 A 点重复操作 A'→A' Sj+1 → A→A'' Sj+2 以此类推， Sj+N 与 Sj 夹角为 Nπ/N=π 是同一个轴Sj+N=SjnullTN=Sj2=E TSj=Sj+1, j mod N (Sj+N=Sj) TmSj=Sj+m, j,m mod N Tm=Sj+mSj=SjSj-m SjTm=Sj-m上面一组公式给出有限群群元素乘积规则的另一种方法，当群的阶数较高时，这个方法方便；阶数较低时，用乘法表更方便。可取DN群生成元为T和S0，而Sm=TmS0 可得到整个群。mod是一种常用的数学符号，定义为：取值相差N的两个j是相同的