04杆件的应力、强度和刚度

null第4章 杆件的应力、强度和刚度第4章 杆件的应力、强度和刚度 返回总目录 null截面的几何性质 轴向拉伸和压缩 杆件的剪切和扭转 梁的弯曲应力及强度计算 杆件的组合变形 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 本章内容null 教学要求：了解平面图形的静矩、形心、惯性矩、截面模量、惯性半径等几何性质的概念及计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ；熟悉内力、应力、应变等基本概念；了解材料在轴向拉、压时的力学性能；掌握虎克定律及其应用；熟悉剪切虎克定律、剪应力互等定理；掌握杆件轴向拉压、扭转、剪切、弯曲等基本变形的概念及内力、应力、变形、强度、刚度的计算；重点掌握轴向拉压、圆轴扭转、平面弯曲时梁的强度及刚度的计算。了解杆件组合变形的概念、掌握简单组合变形时杆件的强度计算。null 平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和变形不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量W、极惯性矩和抗扭截面模量等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆件强度、刚度、稳定性的必不可少的几何参数。 一、 静矩和形心 1. 静矩 如图4.1所示，一任意形状的平面图形，面积为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积dA，则微面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。即 截面的几何性质 平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的静矩之和，称为平面图形对z轴(或对y轴)的静矩，用Sz(或Sy)表示，即 (4-1a)(4-1b)null 从静矩的定义可以看出，静矩是对特定的坐标轴而言的。选择不同的坐标轴，静矩也不同。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。静矩常用的单位是m3或mm3。若 则 截面的几何性质 2. 形心 现设平面图形的形心C的坐标为(Zc，Yc)。 均质等厚薄板的形心在板平面zoy中的坐标为(4-2a)(4-2b)则 由上述可知：平面图形对通过其形心的轴的静矩恒为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则此轴必过形心。 若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平面图形有两个或以上的对称轴，则形心在对称轴的交点上。null 【例4.1】 矩形截面尺寸如图4.2所示，以矩形的形心为原点建立坐标系zoy，z1通过矩形的底边。试求该矩形对z轴的静矩和对z1轴的静矩。图4.2 矩形截面 截面的几何性质解 : (1) 计算矩形截面对z轴的静矩。由于z轴是矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形对z轴的静矩等于零，即 。 (2) 计算矩形截面对Z1轴的静矩。 【例4.2】 试确定如图4.3所示的组合截面的形心位置，长度单位为cm。图4.3 组合截面解: 取坐标zoy，因为y为截面的对称轴，所以形心必在y轴上， 即。故只需确定yc。 该截面可视为由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ组合而成。 矩形Ⅰ的面积 ，形心纵坐标 。 矩形Ⅱ的面积 ，形心纵坐标 。null一、惯性矩、惯性积和惯性半径 1. 惯性矩图4.4 惯性矩 如图4.4所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系zoy。微面积dA与坐标y(或坐标z)平方的乘积y2dA或(Z2dA)称为微面积dA对z轴(或对y轴)的惯性矩。整个平面图形上所有微面积对z轴(或对y轴)的惯性矩之和，称为平面图形对z轴(或对y轴)的惯性矩，用Iz(或Iy)表示，即 截面的几何性质用积分精确表示为(4-3a)(4-3b) 微面积dA与坐标原点O的距离ρ的平方的乘积ρ2dA称为微面积dA对坐标原点O的极惯性矩，整个图形对坐标原点O的极惯性矩用积分表达为null所以由于存在几何关系： 即截面对任意两个互相垂直坐标轴的惯性矩之和等于截面对两轴交点的极惯性矩。 由惯性矩的定义可知，惯性矩是对坐标轴而言的。同一图形对不同坐标轴的惯性矩也不同。极惯性矩是对点而言的，同一图形对不同点的极惯性矩也不同。式(4-5)中，z2和y2恒为正值，故惯性矩也恒为正值，惯性矩常用的单位是m4或mm4。简单图形的惯性矩可以直接由式(4-5)计算。在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。 2. 惯性积 如图4.4所示，微面积dA与坐标y和坐标z的乘积zydA称为微面积dA对y和z两轴的惯性积，记为zydA。整个图形上所有的微面积对z和y两轴的惯性积之和称为该图形对z和y轴的惯性积，用表示Izy，即 截面的几何性质(4-4) (4-5) (4-6)null 惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或mm4。 如图4.4所示，微面积dA与坐标y和坐标z的乘积yzdA称为微面积dA对z和y两轴的惯性积，记为yzdA。整个图形上所有的微面积对z和y两轴的惯性积之和称为该图形对z和y轴的惯性积，用Izy表示，即 截面的几何性质(4-6) 惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于x、y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是m4或mm4。 如图4.5所示，y轴是图形的对称轴，在y轴两侧各取一相同的微面积dA，显然，两者的y坐标相等，而z坐标互为相反数。所以对称轴两侧的两个微面积的惯性积也互为相反数，它们之和为零。对于对称图形来说，它们的惯性积必然等于零，即null如果z轴是图形的对称轴，同理可得， 3. 惯性半径 在工程中因为某些计算的特殊需要，经常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积，即 截面的几何性质(4-7)或写成(4-8)null 截面的几何性质 式中，iz、iy、iρ分别称为平面图形对z轴、y轴和极点的惯性半径，也叫回转半径，单位为m或mm。在建筑力学中，分析组合截面压杆的稳定性时，常用惯性半径来表示组合图形截面的几何特征。 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 图形的惯性半径可用公式直接计算，或查相关的图表，常用组合截面(如T形、L形截面)的惯性半径可查相关计算手册，也可直接由式(4-8)计算；型钢的惯性半径可查型 钢表。 4. 抗弯截面模量W 在计算抗弯构件的应力时，经常用到抗弯截面模量的概念，抗弯截面模量用表示，用下面公式计算：(4-9) 式(4-9)中是截面关于形心轴的惯性矩，ymax是截面上垂直并距离形心轴最远的点到形心轴的距离。对于低碳钢、铝合金等塑性材料抗拉强度和抗压强度一样大，抗弯截面模量w只有一个值，而对于铸铁等脆性材料抗拉强度和抗压强度不一样大，抗弯截面模量w有两个值，就是式(4-9)中的ymax分别取形心轴两侧距形心轴最远的点到形心轴的距离。 【例4.3】 矩形截面尺寸如图4.6所示。试计算矩形截面对形心轴z、y的惯性矩、惯性半径、惯性积和抗弯截面模量。null图4.6 矩形截面 解: (1) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩。取平行于z轴的微面积dA，dA到z轴的距离为y，则 截面的几何性质同理可得，矩形截面对y轴的惯性矩：(2) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性半径：null(3) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性积。因为z轴和y轴均是矩形的对称轴，所以：(4) 抗弯截面模量： 【例4.4】 直径为D的圆形截面，如图4.7所示。(1) 试计算截面对通过圆心的轴的惯性矩和惯性半径；(2) 计算抗弯截面模量。 解: (1) 以圆心为原点，建立平面坐标系yOz。 (2) 计算圆截面对原点O的极惯性矩，圆的直径为D，取圆的半径 ，ρ为截面上任一点到原点的距离，则截面对原点O的极惯性矩为： 截面的几何性质微面积(图中阴影部分)为：由于 ，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以 null可得： (3) 计算惯性半径 (4) 计算抗弯截面模量： 截面的几何性质图4.7 圆形截面 5. 惯性矩的平行移轴公式 前面我们介绍的惯性矩和惯性积的计算方法都是针对平面图形的形心轴的，实际上，惯性矩和惯性积可以针对平面内任意轴。图4.8 惯性矩的平行移轴 如图4.8所示C点是截面的形心。zc轴和yc轴通过截面形心。z轴和y轴是分别和zc轴和yc轴平行的坐标轴且y轴与yc轴相距为b，z轴与zc轴相距为a。若图形对通过形心的坐标轴的惯性矩和惯性积分别为Izc、Iyc及Izyc，下面计算图形对z轴和y轴的惯性矩。 微面积dA在两个坐标系中的坐标有如下关系：null 截面的几何性质根据惯性矩定义，图形对z轴的惯性矩为：式中： (截面面积对自身形心轴的静矩为零) 于是得到 (4-10a) 同理可得：(4-10b) 式(4-10a)、式(4-10b)分别为惯性矩的平行移轴公式。式中Izc和Iyc是对平面图形形心轴的惯性矩。式(4-10a)、式(4-10b)分别表明：图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴距离平方的乘积。由于a2 (或b2)恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。null【例4.5】 用平移轴公式计算图4.2中矩形截面对底边的惯性矩。 解： (1) 计算截面对z的惯性矩：(2) 根据惯性矩的平移轴公式，得： 截面的几何性质null轴向拉伸和压缩一、 轴向拉伸和压缩的概念 轴向拉伸变形和轴向压缩变形是杆件的基本变形之一，在工程中经常见到。如图4.9(a)所示三角形托架中的斜杆，在荷载作用下就发生轴向压缩变形；还有桁架中的所有杆件(如图4.9(b)所示)，发生的都是轴向变形(拉伸或压缩)；屋架中的水平拉杆(图4.9(c)AB线上各杆)，发生轴向拉伸变形；建筑结构中的柱子(如图4.9(d)所示)发生轴向压缩变形等。这些杆件受力的共同特点是：作用在杆件上的外力的作用线与杆轴线重合，杆件的主要变形是轴向伸长或缩短。这类构件称为拉(压)杆。相应的变形分别称为轴向拉伸变形和轴向压缩变形，如图4.10所示。图4.9 轴向拉(压)杆 图4.10 轴向拉伸(压缩)变 null图4.11 截面法二、 轴向受拉(压)杆的内力 1. 内力的概念 杆件的内力是指杆件在外力作用下发生变形，引起内部相邻两部分的相对位置发生变化，从而产生附加内力，简称内力。 荷载作用F，杆件内力是由于外力而引起的，杆件所受的外力越大，内力也就越大，同时，变形也越大。内力与杆件的强度、刚度有密切的关系。讨论杆件的强度、刚度和稳定问题时，必须先求出杆件的内力。 2. 求杆件内力的方法——截面法 为了确定外力作用下杆件所产生内力的大小和方向，通常采用截面法。即先用一个假想的平面将杆件“截开”，使杆件在被截开处的内力显示出来；然后取杆件的任一部分作为研究对象，将另外部分对它的的作用以截面的内力代替；利用平衡条件求出杆件在被截断处的内力，这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。 如图4.11(a)所示，杆件受一对轴向拉力作用而产生轴向拉伸，计算杆上任一截面C上的内力。轴向拉伸和压缩null (1) 截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。如图4.11(b)、(c)所示，在C-C’处用假想面把杆截断。 (2) 代替：取截开后的任一部分作为研究对象，画受力图。现以左部分为研究对象，在截开截面处用该截面上的内力代替右部分对它的的作用，如图4.11(d)所示，用FN、FN’来表示两部分的相互作用力。 (3) 平衡：由于整体杆件本身处于平衡状态，因此被“截开”后。任一部分都处于平衡状态。对如图4.11(d)所示的杆件，列方程 ，得 ，内力方向如图4.11(d)图4.11(e)所示。 3. 轴向拉(压)杆的内力——轴力 轴向拉压杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的内力，习惯上称为轴力，用符号FN表示。通常规定，拉力(轴力FN的作用方向背离该力作用的截面)为正，压力(轴力FN的作用方向指向该力作用的截面)为负。轴力的常用单位是N(牛[顿])或kN(千牛)。 说明：(1) 截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力，在列平衡方程时，把FN作为正值来看待，这样如果计算结果为正，表示假设与实际相符，轴力为拉力；如果计算结果为负，表示假设与实际相反，轴力为压力。 (2) 列平衡方程时，轴力及外力在平衡方程中的正、负号由其投影的正负决定，与轴力本身正负无关。 (3) 计算轴力时，可以取被截开处截面的任意一侧研究，计算结果相同，但为了简化计算过程，通常取杆件上外力较少的一侧研究。 (4) 在计算杆件内力时，在将杆件截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能使用力的可传性原理，因为这样会改变杆件内部的内力及变形。轴向拉伸和压缩null 4. 轴力图 工程中有些拉(压)杆件受多个轴向外力而平衡，随着外力的变化，各段轴力也在变化。为了形象地表示杆的轴力随横截面位置而变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形，这种表明轴力随横截面位置而变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直观地看出最大轴力所在位置及大小、正负。习惯上将正轴力(拉力)画在x轴上方，负轴力(压力)画在x轴下方。 【例4.6】 一个杆件受力经简化后，其计算简图如图4.12(a)所示。试求杆件的轴力并画出轴力图。 解： (1) 在第一段内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，假设轴力为拉力，在截开处施加方向向右的力FNI，如图4.12(b)所示。由平衡条件： ， ，得 ，故假设轴力为拉力是正确的。 (2) 在第二段范围内任意取一截面将杆断开，取左段为隔离体，同样假设轴力为拉力，在截开处施加方向向右的力FN2，如图4.12(c)所示由平衡条件： ， ，得 ，如图4.12(d)所示。 (3) 用同样的方法可以得到 ，如图4.12(d)所示。 (4) 杆件的全部轴力已经求出来了，可根据前述方法作杆件的轴力图，如图4.12(e)所示 轴向拉伸和压缩null 1. 应力的概念 在确定了杆件的内力后，还不能解决工程中的强度问题。例如两根同种材料制成的但横截面积不同的拉杆，承受同样的拉力。显然二者的轴力相同。但当拉力逐渐增大时，截面积小的杆必定首先被拉断。这说明，杆的强度不仅与杆件上的内力有关，还与横截面的面积有关。要解决强度问题，仅研究内力的合力是不够的，还要研究分布内力在横截面上各点的集度。截面上的分布内力在某一点的集度，称为截面上这一点的应力。 如图4.13所示，在受力杆件横截面上任一点C的周围取一微面积ΔA (图中阴影)，设作用在微面积ΔA上的分布内力的合力为ΔF，取ΔF和ΔA的比值为ΔA上的平均应力。一般来说，杆件横截面上的应力不是均匀分布的，因此，习惯上将微面积ΔA无限缩小而趋向于零时平均应力的极限值称为C点的内力集度，即C点的总应力，用p表示：一、轴向拉压杆的应力图4.12 杆件轴力图轴向拉伸和压缩null 总应力p是一个矢量，通常情况下，既不与截面垂直，也不与截面相切。为了研究问题时方便，习惯上将它分解为与截面垂直的分量σ和与截面相切的分量τ，如图4.13(b)所示。σ称为正应力，τ称为切应力。 应力的常用单位为Pa(帕)，MP(兆帕)，换算关系为图4.13 应力轴向拉伸和压缩(4-11) 关于应力的几点说明。 (1) 应力是针对某杆件的某一截面上的某点而言的，所以提及应力时，必须指明杆件、截面和点的位置。 (2) 应力是矢量，不仅有大小，还有方向。对于正应力，通常规定拉应力为正，压应力为负，对于切应力τ，通常规定使研究对象内部顺时针抟动为正，反之为负。 (3) 内力与应力的关系。内力是对杆件的整个截面而言，是整个截面上各点处的应力总和；应力是对截面上一点而言的，是内力在截面某一点的集度。null 2. 轴向拉压杆上的应力 轴向拉压杆上的内力只有轴力，截面上的应力只能是与横截面垂直的正应力。通过实验证明正应力在杆件横截面上均匀分布，由此可导出轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。 若用A表示拉(压)杆横截面的面积，则拉(压)杆横截面上的正应力为轴向拉伸和压缩(4-12) 正应力的正负号规定与轴力FN一致，拉应力为正，压应力为负。 对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。 习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力称为工作应力，并且通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面，产生最大工作应力的点称为危险点。可见，对于产生轴向拉压变形的等截面直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任意一点都是危险点。null【例4.7】 某轴向受力柱如图4.14(a)所示，柱子顶部所受压力为Fp，柱子材料的重度为γ，横截面为矩形，尺寸为 ，柱高为H，求柱子的最大工作应力。由 可得 解: (1) 求轴力。该柱需要考虑自重，在距柱顶处用m-m截面把柱子截开，m-m截面处的轴力用FN(x)表示，取m-m截面以上部分研究，画出受力图，列平衡方程。 轴向拉伸和压缩图4.14 轴向受力柱 由此可见，柱子各横截面上的轴力随x位置变化而变化，轴力随x位置变化的函数称为轴力方程当x=0时， 当x=H时， (2) 求应力。该柱为等截面柱，柱子底部截面的内力和应力最大，是危险截面。其应力值为：null四、 轴向拉压杆的变形及虎克定律 实验结果表明，直杆在轴向荷载作用下既产生沿轴线方向的纵向变形。也产生垂直于轴线方向的横向变形。杆的变形量与所受外力有关，也与杆件尺寸与选用材料有关。 1. 杆的纵(横)向变形 如图4.15所示正方形截面杆，受轴向力作用，产生轴向拉伸和压缩变形，设杆变形前的长度为，其横截面的边长为a，变形后长度为l1，横截面边长为a1。则杆的纵向变形量为 ，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负值。杆的横向变形量为 ，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。轴向拉伸和压缩图4.15 杆的纵、横向变形 杆件的纵向变形量和横向变形量只能说明纵向和横向总的变形量，不能说明变形程度。为了消除杆件尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆件的变形程度，将杆件的纵向变形量Δl除以杆的原始长度l，得到杆件单位长度的纵向变形(4-13a) null ε称为纵向线应变，简称线应变。ε的正负号与Δl相同，杆在轴向拉伸时为正值，压缩时为负值。ε是一个无量纲的量。同理，将杆的横向变形量Δa除以杆的截面原边长a，得到杆件单位长度的横向变形轴向拉伸和压缩(4-13b) ε’称为横向线应变。ε’的正负号与Δa相同，杆在轴向拉伸时为负值，压缩时为正值。ε’也是一个无量纲的量。 2. 泊松比 从上述分析可知，杆件在轴向拉压变形时，纵向线应变ε与横向线应变ε’总是正负相反的。 通过试验表明：当轴向拉压杆的应力不超过材料的比例极限时，对同一材料，横向线应变ε’与纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数，用μ表示。(4-14) 泊松比是一个无量纲的量，它的值与材料有关，可由实验测出。建筑工程中常用材料的泊松比见表4-1。 泊松比建立了某种材料的横向线应变与纵向线应变之间的关系。在工程中，一般先根据受力情况计算纵向线应变，然后通过泊松比确定横向变形。 由于杆件的横向线应变ε’与纵向线应变ε总是符号相反，所以null 3. 虎克定律 计算杆件变形时，关键是计算杆件的纵向变形量。试验表明，工程中使用的材料都有一个弹性范围，在弹性范围内杆的变形量与杆所受的轴力成正比，与杆的横截面积成反比，用公式表示为： 引进比例常数E后，得 这一公式是英国科学家虎克提出来的，故称为虎克定律。对于长度相同，所受轴力相等的构件，分母EA越大，则杆的纵向变形越小；分母EA越小，则杆的纵向变形越大。由此可见，EA反映了拉压杆抵抗变形的能力，所以称为拉压杆的抗拉压刚度。 将式(4-16)两边除以l，并把 和 代入，于是得(4-15)(4-16)轴向拉伸和压缩(4-17) 式(4.17)是虎克定律的另一种表达方式，它表明在线弹性范围内，正应力与线应变成正比，比例系数即为材料的弹性模量E。工程中常用的材料的弹性模量E见表4-1。 弹性模量En5应力σ有相同的量纲，单位为Pa、MPa和GPa。null轴向拉伸和压缩表4-1 常用工程材料的弹性模量和泊松比 【例4.8】 试计算如图4.16所示柱子顶点的位移。已知柱子材料的弹性模量为E，重度为γ。图4.16 求柱子顶点位移解 ： 例4.7已计算出柱子任意高度x处的轴力为：(0≤x≤H) 则高度x处的正应力为(0≤x≤H) null根据虎克定律，高度x处的应变为图4.17 杆的轴力图轴向拉伸和压缩(0≤x≤H) 则应变在高度H上积分，可得柱子顶点处的位移(方向向下) 顶点位移由两部分组成， 部分是由顶点集中力FP引起的， 部分是由柱子自重引起的。 【例4.9】 如图4.17所示，杆受轴向力作用， ， ，材料为钢材，弹性模量为 ，杆件的截面面积 ，求杆的总的纵向变形。解: 杆的总的纵向变形就是沿着杆的长度方向各段纵向变形之和。 (1) 求轴力，并做出轴力图，如图4.17(b)所示。该杆可分三段计算轴力。nullAB段： FNAB=FP=20KN BC段： FNBC=0KN CD段： FNCD=-20KN (2) 求杆总的纵向变形。总的变形： 轴向拉伸和压缩AB段： BC段： CD段： 【例4.10】 一个矩形截面杆件如图4.18所示，其截面尺寸为 ，材料的弹性模量 。杆件两端受拉力FP作用，在纵向100的长度内，杆伸长了0.05，在横向60范围内，杆的尺寸缩小了0.0093，试求：(1)该钢材的泊松比；(2)杆件所受的轴向拉力FP。 轴向拉伸和压缩图4.18 矩形截面杆解 : (1) 求泊松比。要想通过上述试验测出的数值计算泊松比，首先要计算出纵向线应变及横向线应变。 杆件的纵向线应变 杆件的横向线应变求泊松比μ (2) 计算杆受到的轴向拉力。由虎克定律 ，计算图示杆件在作用下任一横截面上的正应力又按照应力的计算公式 ，可求得在FP作用下，杆件横截面上的轴力： 轴向拉伸和压缩 该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即 ，所以该杆受到的轴向外力 。五、材料在拉伸和压缩时的力学性质 在对杆件进行强度、刚度和稳定性的计算时，必须知道材料在外力作用下的力学性能，如4.2.4小节提到的弹性模量和泊松比，都属于材料的力学性能。材料的力学性能要通过试验来测定，本节主要介绍工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能。 1. 低碳钢的力学性质 低碳钢是建筑工程中最常用的材料之一，在拉伸时表现出的力学现象比较全面。 1) 低碳钢的拉伸实验 实验通常是在常温、静载条件下进行的。按照国家标准的规定，将材料做成标准试件。常用标准试件有圆形截面和矩形截面两种。图4.19(a)和4.19(b)分别为圆截面试件和矩形截面试件。试件中间一段为等截面，在该段中标出长度为l0的一段称为工作段，工作段的长度l0称为“标距”。它与横截面尺寸有规定的比例。常用的标距比例有两种： 轴向拉伸和压缩圆形截面： 和矩形截面： 和图4.19 标准试件 试验时，将试件安装在试验机上，然后缓缓加载使试件承受轴向拉伸。试验过程中，测量并 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 试件的受力和变形，直到试件拉断时为止。一般试验机均附有自动绘图装置，能自动绘出荷载值FP与伸长量Δl之间的关系曲线，该曲线反映了试件所受拉力F与相应伸长量Δl之间的关系，称为试件的拉伸图。如图4.20所示为低碳钢的拉伸实验时的荷载-变形图。 图4.20 低碳钢拉伸的荷载-变形图 FP—比例极限荷载；Fs—屈服荷载；Fb—最大荷载 显然，试件的拉伸量与试件尺寸有关。为了消除试件尺寸的影响，将横坐标除以试验段的标距l0，即 ；将纵坐标Fp除以杆件的横截面面积A，即 ，画出以ε 轴向拉伸和压缩 为横坐标，以σ为纵坐标的曲线，由此得到的曲线称为应力-应变曲线，也称 为 曲线。该曲线只反映材料本身的力学性质，与构件的几何尺寸无关。如图4.21所示为低碳钢拉伸的应力-应变曲线。图4.21 低碳钢拉伸的应力-应变曲线 2) 低碳钢变形发展的四个阶段 从图4.21中可以看出，低碳钢在整个拉伸过程中，大致可分为四个阶段。 (1) 弹性阶段：图4.21中的Ob段，若试件内应力不超过b点的应力值。卸除载荷后，应力和应变沿bo线回到原点O，变形可以全部消失，即变形全部是弹性的，这一阶段称为弹性阶段，弹性阶段的最高点所对应的应力值称为弹性极限，用σe表示。 这一阶段又可分为两部分：Oa段为直线段，应力与应变成正比，材料符合虎克定律，该段最高点的应力值称为比例极限，用符号σP表示。低碳钢的比例极限大约为200MPa。ab段是一段很短的微弯曲线。 虽然弹性极限和比例极限意义不同，但是弹性极限和比例极限的数值十分接近，工程中常将这两个名字不加区别，统称为弹性极限，近似认为在弹性极限内材料服从虎克定律。 在弹性阶段还可以看出，Oa段直线的斜率为，可见，此阶段可以通过测定直线的斜率来确定材料的弹性模量。低碳钢的弹性模量约为(200～210)GPa。 (2) 屈服阶段：(对应图4.21中的段)图中接近水平的锯齿形线段，此时应力几乎不变，而应变却急剧增加，表明材料已失去抵抗变形的能力。这种现象称为屈服或流动。屈服阶段最低点所对应的应力称为屈服极限或流动极限，用σs表示。低碳钢的屈服极限约为240MPa。 如果试件表面光滑，当材料屈服时在试件表面将出现与试件轴线约成45°角的倾斜条纹。此条纹称滑移线。它由于轴向拉伸时45°斜面上产生了最大剪应力，使材料内部晶格间发生相对滑移而引起的。屈服阶段材料将产生很大的塑性变形，工程中的杆件不允许产生很大的塑性变形，所以设计中常取屈服极限为σs材料的强度指标。 (3) 强化阶段：图4.21中的cd阶段。材料在经过了屈服阶段后又增强了抵抗变形的能力。此时，要使材料继续变形需要增大拉力，这种现象称为强化。强化阶段的最高点所对应的应力，称为材料的强度极限，用σb表示。低碳钢的强度极限约为480MPa。 (4) 颈缩阶段：图4.21中的de段，在应力达到强度极限σb后，应力-应变曲线开始出现下降段。此时，试件某一局部范围内横截面积显著缩小产生所谓的颈缩现象。颈缩现象出现后，继续拉伸所需荷载迅速减小，最后导致试件断裂。 综上所述，低碳钢在整个拉伸过程中，经历了弹性、屈服、强化和颈缩四个阶段，并存在三个特征点，其相应的应力分别为比例极限、屈服极限和强度极限，其中屈服极限和强度极限是衡量其强度的主要指标。 轴向拉伸和压缩 轴向拉伸和压缩 3) 低碳钢的冷作硬化 在应力超过屈服极限之后，如果在强化阶段某一点(如图4.21中的k点)卸载，则卸载时应力-应变曲线将沿直线kO’回到应力零点O’，直线O’k几乎平行于线段Oa，这说明在卸载过程中，卸去的应力与卸去的应变成正比，图4.21中卸载后消失的应变O’k’为弹性应变，保留下的应变OO’为塑性应变。 若卸载后再加载，则应力-应变曲线大致沿着卸载时的路径(直线O’k)，直到k点后才开始出现塑性变形，以后的应力-应变曲线与第一次加载时大致相同。第二次加载的应力-应变曲线，在k点以前，材料的变形是弹性的，过k点后开始出现塑性变形，即第二次加载时，材料的比例极限提高，而塑性变形有所降低，这种现象称为冷作硬化。工程中经常利用冷作硬化提高材料在弹性范围内的承载能力。例如把钢筋冷拉，以提高抗拉强度。但是，经过冷拉的材料，强度提高了，其塑性会有所降低。 4) 塑性指标 试件拉断后，弹性变形全部消失，而塑性变形则保留了下来，工程中常用试件拉断后保留下来的塑性变形的大小来表示材料的塑性性质。表征材料塑性性质的有延伸率和断面收缩率两个指标。 (1) 延伸率。将拉断的试件拼在一起，量出断裂后的标距长度l1，习惯上把断裂后的标距长度l1与原标距长度l0的差值除以原标距长度l的百分率称为材料的延伸率，用符号δ表示： 轴向拉伸和压缩(4-18) 低碳钢的延伸率约为20%~30%。 延伸率表示试件直到拉断时塑性变形所能达到的最大程度。δ越大，表示材料的塑性越好。工程中常按延伸率的大小将材料分为两类：δ≥5%的材料为塑性材料，例如低碳钢、低合金钢、铝合金等；δ<5%的材料为脆性材料，例如混凝土、铸铁、砖、石材等。拉伸试验表明，低碳钢是一种抗拉能力良好的塑性材料。 (2) 断面收缩率。测出断裂试件颈缩处的最小横截面面积A1，原试件的横截面面积A0与A1的差值除以原试件的横截面面积A0的百分率称为断面收缩率，用符号Ψ表示：(4-19) 低碳钢的断面收缩率约为60%~70%。 2. 铸铁的力学性质 铸铁是一种典型的脆性材料。 如图4.22所示的曲线1为(虚线表示)铸铁拉伸时的应力-应变图。从图中可以看出，图线没有明显的直线部分，没有屈服阶段。试验表明构件在拉应力很小的情况下就被突然拉断了，并且拉断之前没有明显的颈缩现象，变形也很小，拉断时的应力是衡量它强度的惟一指标，称为抗拉强度，用σb表示。可见铸铁的拉伸强度很小，抗拉能力差，在工程中不宜用作抗拉构件。 轴向拉伸和压缩图4.22 铸铁拉伸、压缩时的应力-应变曲线 铸铁压缩时的应力-应变曲线如图中曲线2(实线表示)。将曲线1与曲线2比较可以看出，铸铁压缩时也没有明显的直线部分及屈服阶段。压坏时的应力是衡量它强度的唯一指标，称为抗压强度，用σbc表示。铸铁的抗压强度大约是抗拉强度的(4~5)倍，压缩时的变形也比拉伸时大。可见，铸铁是一种抗压性能好而抗拉性能差的材料，工程中常用作抗压构件，也常用来做动力机械、桥梁的底座。 3. 其他常用材料的力学性质 建筑工程中用到的材料很多 ，按延伸率可以分为塑性材料和脆性材料两类。塑性材料拉伸和压缩时的弹性极限、屈服极限基本相同，应力超过弹性极限后有屈服现象，破坏前有明显的预兆，延伸率和断面收缩率都较大。脆性材料(混凝土、砖石等)压缩强度大于拉伸强度，破坏前没有明显的预兆，是突然发生的，延伸率较小。 一般情况下，塑性材料的抗拉、抗压能力都较好，既能用于受拉构件，也能用于受压构件。但在工程中实际选用材料时，不但要考虑材料的力学性能，还要考虑经济因素。例如建筑工程中很少用低碳钢作为受压构件，而常用混凝土等材料做成受压构件。 影响材料力学性能的因素是很多的，上述材料的性质是在常温、静荷载条件下得出的。若环境因素发生变化(如温度变化、动力荷载)，则材料的性质也会发生变化。 轴向拉伸和压缩六、轴向拉伸杆件的强度计算 根据杆件承受外力的大小便可算出截面上应力的大小，当外力增大时，截面上的应力也加大。但是任何材料的杆件其截面应力的增长都存在一个固有的极限，超过此极限时，杆件就要破坏，例如杆件断裂或虽不断裂，但出现不可恢复的塑性变形而丧失承载能力，不能正常工作。这时的材料应力称为极限应力，即材料丧失工作能力时的应力，以符号σ0表示，其值由试验确定。 在设计杆件时，有很多情况难以估计。为了保证构件有足够的强度，还必须有足够的安全储备，使杆件在荷载作用下所引起的最大应力小于材料的极限应力。通过大量调查研究，给各种材料分别规定了一个可以作为设计依据，且比极限应力小得多的应力，即杆件在工作时允许承受的最大工作应力，我们称为许用应力或容许应力(见表4-2)，以符号[σ]表示。许用应力等于极限应力除以安全系数n， 即 (4-20) 式中，σ0表示材料的极限应力。 安全系数n是一个大于1的系数，安全系数的确定应考虑以下几个方面的因素。 轴向拉伸和压缩 (1) 实际荷载与设计荷载的出入。 (2) 材料性质的不均匀。建筑力学假设材料均匀连续、各向同性，但实际情况并非 如此。 (3) 计算结果的近似性。在计算杆件的内力、应力和变形时，都对具体结构做了不同的简化和近似性的假设，这就使得计算结果与实际情况有了差距。 (4) 施工 文明施工目标施工进度表下载283施工进度表下载施工现场晴雨表下载施工日志模板免费下载 、制造和使用时的条件影响。施工、制造和使用条件不同，也会影响杆件的强度。例如，混凝土是机械拌制还是人工拌制，是现场浇注还是工厂预制都会影响杆件的强度，对木结构、钢结构，大气的含水量、温度变化都会影响其强度。 综上所述，安全系数的确定涉及工程的方方面面，不仅仅是力学问题。选取安全系数的原则是：在保证杆件安全可靠的前提下，尽可能减小安全系数，提高容许应力。确定材料的安全系数是一项严肃的工作，安全系数低了，不安全，安全系数高了，浪费材料。通常安全系数由国家指定的专门机构制定。目前建筑工程中的安全系数取值，对塑性材料，破坏前有明显的预兆，一般取1.4~1.7；脆性材料破坏前没有明显的征兆，破坏是突然的，所以安全系数取得较大，一般取2.5~3.0。 轴向拉伸和压缩表4-2 常用材料的容许应力值 轴向拉压杆要满足强度要求，就必须保证杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力。即(4-21a)对等截面杆，上式可写成(4-21b) 式(4-21) 就是拉(压)杆的强度条件。如果最大应力与许用应力相等，则说明安全与经济达到了统一。如果最大应力远小于容许应力，则说明材料浪费了。如果最大应力大于容许应力，说明强度储备不足，安全程度没有达到标准。 根据强度条件公式，可以解决实际工程中的三类问题。 轴向拉伸和压缩 ① 强度校核：已知杆件所受的荷载、杆件尺寸及材料的容许应力，根据式(4-21)可校核杆件是否满足强度要求。 ② 截面选择：已知杆件所受的荷载及材料的容许应力，确定杆件所用的最小截面积，可用下式计算 ，求出截面积后，可进一步根据相关条件，确定有关尺寸。 ③ 确定许用荷载：已知杆件的横截面积和材料的容许应力，确定许用荷载，先用下式计算最大许用轴力 ，然后可根据实际情况下轴力与荷载的平衡关系，进一步计算许用荷载。 说明：利用强度条件对受压直杆进行计算，仅对由强度较低的材料制成、横截面尺寸较大的杆件适用(如由木材、素混凝土、砌体材料制成的受压柱)。而对于由高强度材料制成的受压杆件，承载能力主要取决于稳定性，例如由低碳钢制成的受压杆，一般在工作应力远小于其材料容许应力的情况下，突然发生失稳破坏。 轴向拉伸和压缩 【例4.11】 一钢筋混凝土组合屋架的计算简图如图4.23所示。其中 ，屋顶的上弦杆由钢筋混凝土制成，下弦杆为圆截面钢拉杆，直径为2.2cm。钢的容许拉应力为 ，试校核该拉杆的强度。图中尺寸单位为mm。图4.23 钢筋混凝土组合屋架解: (1) 求支座反力FA和FB。把屋架整体作为研究对象，根据 和 ，可求出FA和FB。结构和荷载均左右对称，FA和FB必相等，所以 (2) 求拉杆的内力FN。用截面法取左边部分为隔离体，如图4.23(b)所示，以铰C为矩心，建立平衡方程 轴向拉伸和压缩(3) 求拉杆上的正应力σ，先求拉杆的横截面面积由于 ，所以拉杆安全。 【例4.12】 如图4.24所示，一铸铁圆筒，顶部承受压力 ，筒的外径 ，已知铸铁的容许应力 ，试求筒壁的厚度t，筒的自重略去不计。 解: 先求所需的横截面积A，将 及 代入，得圆环面积为 轴向拉伸和压缩圆筒的内径值图4.24 铸铁圆筒由此可得筒的内壁厚为实际工程中可选用 ，即筒的内径为20cm。 【例4.13】 如图4.25所示的三角架，AB为钢拉杆长1.5m，横截面积为 ，容许应力 ，倾角为45°；BC为木杆，横截面积为120cm2，容许应力为 。试求结构的容许荷载。解: (1) 取B结点为隔离体。 轴向拉伸和压缩由 ，得 ①由 ，得 ② 联合求解①和②可得③④图4.25 三角架 (2) 根据拉压杆的应力强度条件求出杆件的最大轴力。 假设杆AB充分发挥作用，使其应力达到容许值时相应的最大轴力为：将此值代入③，求得容许荷载 再假设杆BC充分发挥作用，使其应力达到容许值时相应的最大轴力为： 轴向拉伸和压缩将此值代入④，求得容许荷载 取 和 取较小者，即为结构的容许荷载 。 杆件的剪切和扭转一、剪切和挤压的概念 在工程中常遇到这样一类构件：构件受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的横向外力，如图4.26所示，在外力作用下，两力之间的截面沿着力的方向产生相对错动，习惯上称为剪切变形，如图4.27所示。通常把相对错动的截面叫剪切面，剪切面上的内力称为剪力，与剪力相应的应力为剪应力。 图4.27只有一个剪切面(单剪)，而图4.28有两个剪切面(双剪)。图4.26 剪切null 杆件的剪切和扭转图4.27 单剪 图4.28 双剪 构件在受剪切时，常伴随着挤压现象。挤压面上的内力称为挤压力，引起的应力称为挤压应力。 二、剪切和挤压的实用计算 1. 剪切实用计算 如图4.29所示，假定剪应力在剪切面上是均匀分布的，为使构件不发生剪切破坏，要求剪应力不超过材料容许剪应力，即 (4-22) 杆件的剪切和扭转 式中，FQ、As分别表示剪切面上的剪力和面积；[τ]为容许剪应力，容许剪应力是仿照连接件的实际受力情况进行剪切实验测定的，对于钢材，根据试验结果，常取 [τ]=(0.6~0.8) [σ]，式中的 [σ]为其容许拉应力。图4.29 均匀分布的剪应力 2. 挤压实用计算 如图4.30所示，受剪的构件常常伴随发生挤压受力。图4.30 挤压 两接触面上的压力称为挤压力FC、挤压面面积为AC，挤压面上产生的应力叫挤压应力σC。在实用计算中通常用承压面在直径面上的正投影面积A’C除挤压力FC，所得到的平均值作为计算挤压应力。 即 杆件的剪切和扭转(4-23)式中，A’C为钉孔直径d与板厚δ的乘积 。挤压强度条件为：(4-24)式(4-24)中，[σC]为材料的容许挤压应力。三、扭矩和扭矩图 扭转变形是杆件的基本变形之一。在垂直于杆件轴线的两平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。圆轴扭转的变形特点是杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动。其中杆件在两横截面间相对转动的角度称为扭转角，用ψ表示，如图4.31所示。 杆件的剪切和扭转图4.31 扭转变形 工程中，以扭转变形为主的杆件很常见，例如汽车方向盘的操纵杆，搅拌器的主轴，钻井机的钻杆等。 作用于轴上的外力偶矩，由轴所传递的功率和轴的转速计算可得：(4-25) 式中，P为轴传递的功率(KW)；n为轴的转速(转/分)；Me为轴上的外力偶矩 。 扭转圆轴横截面上的内力扭矩仍可以通过截面法来分析，一般用右手螺旋法则规定扭矩的正负号，即按右手螺旋法则将扭矩T用矢量表示，若矢量T的指向离开截面，则该扭矩为正，反之为负。T的单位与力偶矩相同，为 或 。 反映圆轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化的图形称为扭矩图。扭矩图的绘制与轴力图相似，可由截面法求得。 四、 剪应力互等定理和剪切虎克定律 杆件的剪切和扭转 1. 剪应力互等定理 取受纯剪(四周只有剪应力无正应力)的微平面单元体，分别由力的和力偶的平衡条件很容易得到剪应力互等定律：两个互相垂直平面上的剪应力大小相等，其方向共同指向(或背离)两个平面的交线，如图4.32(d)所示。 2. 剪切虎克定律 试验发现，材料在线弹性范围内，剪应力τ和剪应变γ成正比：(4-26) 式(4-26)称为材料的剪切虎克定律，其中G为比例系数，也称为材料的剪切弹性模量，单位与弹性模量相同，为Pa、MPa和GPa，其数值由试验测得。 γ为剪切变形中直角的改变量，如图4.32(d)所示。 根据理论研究和试验证实，对于各向同性材料，在弹性变形范围内，剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比μ之间有下列关系：(4-27) 杆件的剪切和扭转五、 圆轴扭转的应力和强度条件 1. 横截面上的应力 受扭实心圆轴横截面上的应力分布要从三个方面考虑：几何方面、物理方面和静力学方面。图4.32 圆轴扭转的应力 几何方面：假设实心圆轴在扭转过程中，横截面刚性转动，保持平面。 在图4.32(b)中，取微段杆长dx，杆两端横截面上的扭矩为T，两横截面的相对转角为dψ，杆外表面上任意一点的剪应变为γ，杆的半径为R，由几何关系有：得 (4-28)若横截面上半径为ρ处剪应变为γρ，则有 (4-29) 杆件的剪切和扭转 式中，为单位长度的扭转角，给定截面上为常量，由此可知，在同一半径ρ的圆周上各点的剪应变相等，大小与ρ成正比。 物理方面：由剪切虎克定律可知，在线弹性范围内，剪应力与剪应变成正比。即式(4-26)：故可得 (4-30) 受扭圆轴横截面上剪应力与剪应变的分布规律相同。同一半径ρ的圆周上各点的剪应力τρ大小均相等，其值与ρ成正比，方向与圆周周边相切。 静力学方面：横截面上的内力元素τρdA的合力为零，组成一个力偶即扭矩T。 由平衡条件可得 (4-31)整理可得 (4-32) 杆件的剪切和扭转综合以上三方面，得等直圆杆扭转时横截面上任意一点剪应力的计算公式 (4-33)(4-34) 当ρ等于半径时，即为圆杆实心圆轴为外表面的剪应力，也是该截面上最大的剪应力τmax。(4-35) 式中，Wp——圆轴横截面抗扭截面模量，等于IP/R，实心圆轴为 、空心圆轴 为 ，单位m3。 【例4.14】 横截面积相等的两根圆轴，其一为实心圆截面，另一根为空心圆截面。两轴的材料，长度以及所受的外扭矩均相等。已知实心圆轴的直径D1=100mm，空心圆轴