导数及偏导数运算

nullnull实验3 导数及偏导数运算null实验目的：1. 进一步理解导数概念及几何意义；2. 学习Matlab的求导命令与求导法。null学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数实验内容：null1. 学习Matlab命令建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：x=sym(‘x’)建立符号变量 x；syms x y z建立多个符号变量 x,y,z；nullMatlab 求导命令 diff 调用格式：diff(f(x))，diff(f(x),n)，diff(f(x，y), x)，nulldiff(函数f(x，y),变量名 x,n)，jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用格式： nullnull2. 导数的概念导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一点处的切线斜率。1). 点导数是一个极限值null例1 . 解：syms h; limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0)ans=1 null2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率画出 在x=0处(P(0,1))的切线及若 干条割线，观察割线的变化趋势.例2解:在曲线 上另取一点 ， 则PM的方程是:即null取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线.h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),'r');hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end axis square作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+xplot(x,x+1,’r’)null从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接 近曲线的割线. null3. 求一元函数的导数例3 . 1) y=f(x)的一阶导数解：输入指令syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)得结果: dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.pretty(dy_dx) cos(x) sin(x) ------ - ------ x 2 xnull在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示， log10(x) 表示 lgx。例4解：输入指令syms x; dy_dx=diff(log(sin(x)))得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x).null例5解：输入指令syms x; dy_dx=diff((x^2+2*x)^20)得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).null例6解：输入指令syms a x; a=diff([sqrt(x^2-2*x+5),cos(x^2)+2*cos(2*x), 4^(sin(x)),log(log(x))])Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。nulla = [ 1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x), 4^sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x)] null解：输入命令2) 参数方程确定的函数的导数例7 nulldy_dx = sin(t)/(1-cos(t))syms a t; dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t))); dy_dx=dy_dt/dx_dt.nullsyms x y z; du_dx=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),x) du_dy=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),y) du_dz=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),z) a=jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[x y,z])解：输入命令4. 求多元函数的偏导数例8nulldu_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*znull解：输入命令syms x y; diff(atan(y/x),y) ans = -y/x^2/(1+y^2/x^2)syms x y; diff(atan(y/x),x) ans = 1/x/(1+y^2/x^2)nullsyms x y; Jacobian([atan(y/x),x^y],[x ,y]) ans = [ -y/x^2/(1+y^2/x^2), 1/x/(1+y^2/x^2)] [ x^y*y/x, x^y*log(x)]null5. 求高阶导数或高阶偏导数例10syms x ; diff(x^2*exp(2*x),x,20)解：输入命令ans = 99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)null例11syms x y ; dz_dx=diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x,2) dz_dy=diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,y,2) dz_dxdy=diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2,x),y)解：输入命令 dz_dx = 30*x^4+4*y^2 dz_dy = -36*y^2+4*x^2 dz_dxdy =8*x*ynull6. 求隐函数所确定函数的导数或偏导数null例12syms x y ; df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),x) df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),y) dy_dx=-df_dx/df_dy解：df_dx = 1/x+y/x^2*exp(-y/x) df_dy = -1/x*exp(-y/x) dy_dx = -(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x)null例13syms x y z; a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(x*z),[x,y,z]) dz_dx=-a(1)/a(3) dz_dy=-a(2)/a(3)解：a = [ cos(x*y)*y+(1+tan(x*z)^2)*z, cos(x*y)*x-sin(y*z)*z, -sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)^2)*x] dz_dx = (-cos(x*y)*y-(1+tan(x*z)^2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)^2)*x) dz_dy = (-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)^2)*x)null输入命令：syms x y z; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)-z; pretty(-simple(diff(f,x))/diff(f,y));null练习：nullnull