中考压轴题分类专题一——抛物线中的三角形面积 中考压轴题分类专题一——抛物线中的三角形面积 基本题型： 为 与抛物线 相交，点 在抛物线上。 （1）已知 ，求点 的坐标： 利用斜弦长公式求出 ，进而求出 边上的高 。设点 为 ，利用点到直线的距离公式列出点 到直线 的距离 ，而 ，则可求得点 的坐标。 （2）如图，若点 在 上方的抛物线上时，求 的最大值： 利用斜弦长公式求出 。作 ∥ 且与抛物线相切，则切点为所求。 设 为 代入抛物线 ，因为它们只有一个交点。所以有： ，则可求出 ，利用平行线之间的距离公式求出 与 的距离（即 边上的高 ），进而可求得 的最大值。 所需知识点： （1）点到直线的距离公式： 已知点 与直线 ，点P到直线 的距离记作 ，则有 。 （2）弦长公式 抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故 。 （3）斜弦长公式： 一次函数 的图像 与二次函数 的图像 两个交点 ，由于 、 是方程 的两个根， （4）两平行线之间的距离公式： 已知两平行线 ，与 ， 与 之间的距离记作 ，则有 。 典型例题： 例一（08深圳）：如图9，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝ ． （1）求这个二次函数的
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达式． （2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. 解：（1）二次函数的表达式为： ；（2）、（3）略。 （4）易得G（2，－3），直线AG为 ． 例二（09深圳）：已知， 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直接坐标系中，使其斜边AB与 轴重合（其中 ），直角顶点C落在 轴正半轴上（如图11）。 （1）求线段OA、OB的长和过点A、B、C的抛物线的解析式。（4分） （2）如图12,点D的坐标为（2，0），点 是该抛物线上的一个动点（其中 ），连接DP交BC于点E。 ①当 是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分） ②又连接CD、CP（如图13）， 是否有最大面积？若有，求出 的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分） 图11 图12 图13 例三（广大附中09一模）：已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ ，试求m的值； （2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值. 例四（09茂名模拟）：如图，矩形OABC的长OA= ，AB=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P点坐标为＿＿＿＿＿ （2）若P、A两点在抛物线 上，求抛物线的解析式，并判断点C是否在这抛物线上。 （3）在（2）中的抛物线CP段上（不含C、P点）是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求这个最大值和M点坐标，若不存在，说明理由。 同步训练： 1、如图（16），抛物线 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中点 的坐标为 ；直线 与抛物线交于点 ，与 轴交于点 ，且 ． （1）用 表示点 的坐标； （2）求实数 的取值范围； （3）请问 的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由． 2、（09安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 ， ， ，将此三角板绕原点 顺时针旋转 ，得到 ． （1）如图，一抛物线经过点 ，求该抛物线解析式； （2）设点 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形 的面积达到最大时点 的坐标及面积的最大值． 3、（09甘肃定西）如图14（1），抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0， ）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］ （1） ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）设抛物线 的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线 上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． 4、（09肇庆）已知一元二次方程 的一根为 2． （1）求 关于 的关系式； （2）求证：抛物线 与 轴有两个交点； （3）设抛物线 的顶点为 M，且与 x 轴相交于A（ ，0）、B（ ，0）两点，求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式． 5、（2009年山东临沂市）如图，抛物线经过 三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作 轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 的面积最大，求出点D的坐标． 6、（09永州）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 点 在 轴上．已知某二次函数的图象经过 、 、 三点，且它的对称轴为直线 点 为直线 下方的二次函数图象上的一个动点（点 与 、 不重合），过点 作 轴的平行线交 于点 （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点 的横坐标为 用含 的代数式表示线段 的长． （3）求 面积的最大值，并求此时点 的坐标．
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