双学位 微分null第五节第五节二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用一、微分的概念 函数的微分一、微分的概念 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于△x 的线性主部故当 x 在取变到边长由其定义: 若函数定义: 若函数的微分,( A 为不依赖于△x 的常数)则称函数记作即定理: 函数即在点可微,定理 : 函数定理 : 函数证: “必要性” 已知则故且在点 处可导,且即...
null第五节第五节二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用一、微分的概念 函数的微分一、微分的概念 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于△x 的线性主部故当 x 在取变到边长由其定义: 若函数定义: 若函数的微分,( A 为不依赖于△x 的常数)则称函数记作即定理: 函数即在点可微,定理 : 函数定理 : 函数证: “必要性” 已知则故且在点 处可导,且即定理 : 函数定理 : 函数在点 处可导,且即“充分性”已知即则说明:说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当微分的几何意义微分的几何意义则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记例如,例如,又如,二、 微分运算法则二、 微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为一阶微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数例1.例1.求 解:null例2.求解：因为所以例3.设例3.设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有由方程例4.设例4.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得解得求于是故例5.例5.方程两边求微分, 得已知求解：方程两边求导, 得另解：三、 微分在近似计算中的应用三、 微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:特别当特别当很小时,常用近似公式:例6. 求例6. 求的近似值 .解: 设取则例7. 计算例7. 计算的近似值 .解:例8.有一批半径为1cm 的球 , 例8.有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 四、 微分在估计误差中的应用四、 微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差称为a 的相对误差若称为测量 A 的绝对误差限称为测量 A 的相对误差限误差传递公式 :误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,例9.设测得圆钢截面的直径 例9.设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积 ,解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为试估计面积的误差 . 计算(mm)
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