概率论课件（河海大学）

nullnull《概率论与数理统计》讲课系统制作：河海大学数理系 数学系列基础课程CAI课题组 二000年七月南京 概率论 与数理统计概率论 与数理统计 讲授: 夏乐天 河海大学数学系列基础课程CAI本课程与其他数学基础课的关系本课程与其他数学基础课的关系微积分 （高等数学） 线性代数序 言序 言一.确定性数学 初等数学、高等数学(微积分)、线性代数等二.随机数学---以概率论为代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 1.赌博 人口统计 出生率 性别等 2.非确定性现象: 抛硬币 掷骰子 发大水等 3.研究和揭示随机现象的统计规律性的科学 ---概率论 三.理论联系实际最活跃的学科三.理论联系实际最活跃的学科 1.应用性: 概率统计的理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科技等领域 2.渗透性: 与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。 例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、 数量经济等四.概率论的内容构成四.概率论的内容构成基础部分---概率论: 古典概率 随机变量及其分布 分布函数 数字特征等 应用部分---数理统计: 统计量构造 参数估计 假设检验 回归分析等 深入部分---随机过程: 马尔可夫过程 平稳过程 随机分析等 本课程的内容在数学上属于概率论范畴，它由如下三个部分所组成本课程只介绍基础部分和应用部分。概 率 论概 率 论第一章 随机事件与概率 第二章 离散型随机变量及其分布 第三章 连续型随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律和中心极限定理 第一章 随机事件和概率第一章 随机事件和概率随机试验 样本空间、随机事件 频率和概率 古典概型 几何概型 概率的公理化结构 条件概率 事件的独立性 贝努里概型1.1 随机试验 一、随机试验(简称“试验”)的例子1.1 随机试验 一、随机试验(简称“试验”)的例子 随机试验可表为E E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 抛两枚硬币，考虑可能出现的结果； E3: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数i; E4: 掷两颗骰子，考虑可能出现的结果及点数之和；二、随机试验的特征二、随机试验的特征E5: 记录电话交换台一分钟内接到的呼叫次数； E6: 对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果; E7: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命。 1.可在相同条件下重复进行; 2.试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。1.2 样本空间、随机事件 一、样本空间1.2 样本空间、随机事件 一、样本空间 1、样本空间：所有试验结果组成的集合称为样本 空间，记为={}； 2、样本点: 样本空间的元素称为样本点，样本点即 试验结果，记为. 例如 对应E1的样本空间为={H，T}； 对应E2的样本空间为 ={(H,H), (H, T), (T, H), (T, T)}； 对应E5的样本空间为={0, 1, 2, … }；二、随机事件二、随机事件 1.定义 试验中可能出现或可能不出现的事情叫 “随机事件”, 简称“事件”. 2.基本事件: 不可能再分解的事件, 即试验的结果， 常记为“”. 3.两个特殊事件: 必然事件Ω、不可能事件. 任何事件均是某些样本点组成的集合. 例 对于试验E2与E5 ，以下A 、 B即为两个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{(H,H), (H, T), (T, H)}； B＝“至少m次少于n次”＝{m, m+1, …, n－1}。三、事件之间的关系　 三、事件之间的关系　 1.包含关系:“ A发生必导致B发生”记为AB A＝B  AB且BA. 2.和事件: AB 3.积事件: AB＝AB 4.差事件、对立事件(余事件)：A－B称为A与B的差事件 5.互不相容性：AB＝  A、B互为对立事件 AB＝ , 且AB＝  四、事件与集合对应关系类比四、事件与集合对应关系类比 概率论 集合论 样本空间 ＝{} 事件 子集 事件A发生 A 事件A不发生 A 必然事件  不可能事件  事件A发生导致事件B发生 AB null概率论 集合论 事件A与B至少有一个发生 AB 事件A与B同时发生 AB(或AB) 事件A发生而B不发生 A－B 事件A与B互不相容 AB＝五、事件的运算五、事件的运算1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律： 1.3 频率与概率 一、频率1.3 频率与概率 一、频率 1.定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n.null2.频率的性质 (1) 非负性： fn(A) ≥0； (2) 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 性： fn()＝1； (3) 可加性：若AB＝ ，则 fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B). 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个定值。二. 概率二. 概率 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 0.50null 1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件 A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： (1)非负性：对任一事件A，有P(A) ≥0； (2) 规范性： P()＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2, …, 是一列两两互不相容的事件 ，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1  A2  … )＝ P(A1) ＋P(A2)+ … . (1.1) 则称P(A)为事件A的概率。null 2.概率的性质 (1) 不可能事件概率零：P()＝0； (1.2) (2) 有限可加性：设A1，A2, …,An , 是n个两两互不相容的 事件，即AiAj＝  ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1  A2  …  An)＝ P(A1) ＋P(A2)+…+ P(An); (1.3) (3) 单调不减性：若事件BA，则P(B)≥P(A) , 且 P(B－A)＝P(B)－P(A)； (1.4) null(6) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) . (1.7)(4) 互补性：P(A)＝1－ P(A)，且P(A) 1 ; (1.5)(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) (1.6) 公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；null一般的，有如下定义 定义 事件组A1，A2，…，An (n可为)，称为样 本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：1.4 古典概型 一、古典概型的特征1.4 古典概型 一、古典概型的特征1.有限性：样本空间＝{1,  2 , … ,  n }; 2.等可能性：P(i)＝1/n, (i＝1, 2, … , n). 古典概型也称为等可能概型。 二、古典概型的计算公式二、古典概型的计算公式 P(A)＝ 设事件A中包含k个样本点(基本事件) null例1、掷一颗骰子，求出6点的概率。 例2、做试验E：“将一枚硬币连抛2次” , 观测出正、反面的情形。 (1) 写出E的样本空间； (2) 设A1＝“恰有一次出正面” ，求P(A1)； (3) 设A2＝“至少出一次正面” ，求P(A2). null例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中 取二次，每次取一只(分别考虑有放回和无放回 取球的情形)。求 (1) 全是白球的概率； (2) 两球色相同的概率； (3) 至少一只白球的概率。三、古典概型的几类基本问题三、古典概型的几类基本问题1、抽球问题 设袋中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰有k个白球的概率是多少? 2、取数问题 设有1～7七位数字，从中任取三个不同的数字组成一个三位数，求这三位数是偶数的概率。 null3、分配问题 把n个球随机地 分配到m个盒子中去，问每盒中 至多有一球的概率是多少？ 4、配对问题 从五双不同的鞋 子中任意地取出四只，问其中至 少有两只成双的概率是多少? null例4、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任意一间去住(nN)，求下列事件的概率： (1)指定的n个房间每个房间各有一人; (2)恰好有n个房间，每个房间各有一人。 例5、某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？ (例1.11 p10)null例6、(De Mere问题)一颗骰子掷4次至少得一个六点 与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪 一个有更多的机会遇到？P1=1(5/6)4 = 0.5177; P2=1(35/36)24 = 0.4914.1.5 几何概型 一、几何概型的特征1.5 几何概型 一、几何概型的特征1.基本事件数无限：＝{}， 充满区域， 且可测 ； 2.等可能性：随机点落在某区域g的概率与区域 g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其 位置及形状无关。二、几何概型的计算公式二、几何概型的计算公式其中Ag表示“在区域中随机地取一点落在区域g中” 这一事件。 null 例2、(蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国 科学家蒲丰提出了下列著名问题： 平面上画着一些平行线，它们 之间的距离都等于a，向此平面上任 投一长度为l(I0， (i＝1，…，n)，则对任何事件BF，有 式(1.7.5)就称为全概率公式。null例3、某厂有三个车间生产同一种产品，已知三个车间 的产量分别占总产量的1/4、1/4、1/2，且次品率分别 为 2％、1％、3％，试求该厂这种产品的次品率。定理2、设A1，…, An是的一个划分，且P(Ai) > 0， (i＝1，…，n)，则对任何事件BF，有 式(1.7.6)就称为贝叶斯公式或逆概率公式。null例4、 在无线电通讯中，由于随机因素的影响，当发 出短号“” 时, 收到“” 、“不清” 和长号“－” 的概率分别 是0.7、0.2和0.1，当发出长号“－” 时，收到“－” 、“不 清” 和 “” “的概率分别是0.9、0.1和0.若在整个发报过 程中信号“” 及“－” 出现的概率分别是0.6和0.4，当收 到信号“不清” 时，试推测原发信号。 1.8 事件的独立性 一、两事件独立1.8 事件的独立性 一、两事件独立定义1、设A、B是两事件，若 P(B)＝P(B|A) (1.8.1) 则称事件A与B相互独立。 式(1.8.1)等价于： P(AB)＝P(A)P(B) (1.8.2)二、多个事件的独立二、多个事件的独立定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。定义2、若三个事件A、B、C满足： (1)P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足： (2) P(ABC)＝P(A)P(B)P(C), (1.8.3) 则称事件A、B、C相互独立。 三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用 一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 …  ik n，具有等式 P(A i1 A i2 … A ik )＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik) (1.8.4) 称n个事件A1，A2，…，An相互独立。1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则 P(A1A2  …  An)＝2、在可靠性理论上的应用1.9贝努里概型 一、贝努里(Bernoulli)概型1.9贝努里概型 一、贝努里(Bernoulli)概型 1.只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E。 E也叫做“成功—失败”试验,“成功” 的概率常用p＝P(A) 表示，其中A＝“成功”。 2.把E重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里 试验，记为En。 3.把E重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重 贝努里试验，记为E。二、贝努里概型中几个重要事件的概率二、贝努里概型中几个重要事件的概率以上三种贝努里试验统称为贝努里概型。1.En中成功k次的概率是3.E中第r次成功发生在第k次试验的概率是2.E中首次成功发生在第k次试验的概率是第二章 离散型随机变量及其分布第二章 离散型随机变量及其分布随机变量的概念 一维离散型随机变量的分布律 二维离散型随机变量 离散型随机变量函数的分布律 2.1 随机变量的概念2.1 随机变量的概念实例 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间 ＝{}＝{H,T} 可规定随机变量 X＝X()＝ 随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。null定义 设随机试验E的样本空间是，X＝X(), 是定义 在上的一个单值实函数。若对任意实数x，样本点的 集合{| X()x}＝{Xx}是一随机事件，则X()称为随机 变量，简记为X. 随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z 等表示 ，也可用希腊字母、、等表示。 随机变量的分类： 随机变量 2.2 一维离散型随机变量的分布律 一、分布律2.2 一维离散型随机变量的分布律 一、分布律1. 定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率 依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或 X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … null2. 分布律的性质 (1) pk  0, k＝1, 2, … ; (2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3 只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2二、几个常用的离散型分布二、几个常用的离散型分布1. 退化分布(单点分布) X～P{X＝a}＝1，其中a为常数。 2. (0－1)分布(两点分布) X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (00, 则称 pi|j＝ 为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律;null同理，若对固定的i, pi. >0, 则称 pj|i＝ 为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律; 条件分布律也满足分布律的性质例1 一射手进行射击，命中目标的概率为p (00的指数分布。 易知，例 已知 X～解 (1) 由得, k＝1/2;(2)null3. 伽马分布 若 X～则称X服从参数为>0， >0的伽马分布，记为 (, )。 易知， ()称为伽马函数，它具有以下几个性质： (1)  (+1)=  (); (2)  (n+1)=n! ;null4. 正态分布 若随机变量其中 >0 ，为实数，则称X服从参数为2，的正态分布, 记为N(, 2)，可表为X～N(, 2). 易知 f(x)0; 令可得 正态分布有三个特性：null (1) 单峰对称 其图形关于直线x=对称；f()＝max f(x)＝ .(2)有两个拐点 ( －，f (－) )；( ＋，f (＋) )， (3) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲线又矮又胖； 越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲线又高又瘦。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布。null5. 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布 参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布， 可表为N(0, 1)。为了区别于一般的正态分布，其密度函 数表示为分布函数表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。null注解：(1) (x)＝1－ (－x)； (2) 若X～N(, 2)，则F(x)＝P{X x}＝ 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 3.3二维连续型随机变量及其分布 一、联合分布及边缘分布3.3二维连续型随机变量及其分布 一、联合分布及边缘分布1、联合分布函数 设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称 F(x, y)=P{Xx, Yy} 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 几何意义：对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1< x2， y10且y>0时，有综上得 (3)由f (x, y)的性质知（见下图）null y 2 1 D 0 1 2 3 x 2x+3y=6 3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为则称(X, Y)在区域G上(内) 服从均匀分布。 该分布的密度函数显然满足密度函数的两个 充要性质,即非负性和完备性。null 其中，1、2为实数，1>0、2>0、|  |<1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布N(1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为 可以验证：f (x, y)满足密度函数的两个充要性质，事 实上，(1) f (x, y)0；(2)三、边缘密度函数三、边缘密度函数 设(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则称为(X, Y)关于X的边缘密度函数； 同理，称为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。 易知N(1, 2, 1, 2, )的边缘密度函数fX(x)是N(1, 1) 的密度函数，而fY(y)是N(2, 2)的密度函数，故二维正态 分布的边缘分布也是正态分布。四、条件密度函数四、条件密度函数 FX|Y(x|y)＝P{Xx|Y=y} ＝ 称为已知Y＝y条件下，X的条件分布函数。 若已知(X, Y)～f (x, y), (x, y)R2, 则由于null可见， 为已知Y＝y条件下，X的条件密度函数; 同理，称为已知X＝x条件下，Y的条件密度函数。五、随机变量的独立性五、随机变量的独立性 1、随机变量相互独立的一般定义 设X1，X2，…，Xn为n 个随机变量，若对任意 (x1, x2, …, xn)Rn，有 P{X1x1, …