解析几何课件(吕林根 许子道第四版)

nullnull解析几何课件(第四版)吕林根 许子道等编第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章 二次曲线的一般理论第一章 向量与坐标第三章 平面与空间直线第二章 轨迹与方程null第一章 向量与坐标§1.1 向量的概念§1.3 数乘向量§1.2 向量的加法§1.4 向量的线性关系与向量的分解§1.6 向量在轴上的射影 §1.5 标架与坐标§1.7 两向量的数性积§1.9 三向量的混合积§1.8 两向量的矢性积null第二章 轨迹与方程§2.1 平面曲线的方程 §2.2 曲面的方程§2.4 空间曲线的方程 §2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程null第三章 平面与空间直线§3.1 平面的方程§3.3 两平面的相关位置§3.2 平面与点的相关位置§3.4 空间直线的方程§3.6 空间两直线的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置§3.7 空间直线与点的相关位置null第四章 柱面锥面旋转曲面 与二次曲面§4.1 柱面§4.3 旋转曲面§4.2 锥面 §4.4 椭球面 §4.5 双曲面null第五章 二次曲线的一般理论§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.3 二次曲线的切线§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线§5.4 二次曲线的直径§5.6 二次曲线方程的化简与分类 §5.5 二次曲线的主直径和主方向null 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量(矢量)既有大小又有方向的量.向量的几何表示：两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段的方向表示向量的方向.有向线段的长度表示向量的大小,§1.1 向量的概念返回下一页null所有的零向量都相等.模为1的向量.零向量：模为0的向量.单位向量：＝ 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.上一页下一页返回null零向量与任何共线的向量组共线. 定义1.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回nullOAB这种求两个向量和的方法叫三角形法则.§1.2 向量的加法下一页返回nullOABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）上一页下一页返回nullOA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回null向量减法上一页下一页返回null上一页返回null§1.3 数乘向量下一页返回null定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）第一分配律：两个向量的平行关系（3）第二分配律：上一页下一页返回null证充分性显然；必要性两式相减，得上一页下一页返回null按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回null例1设AM是三角形ABC的中线，求证:证 如图 因为 所以 但 因而 即 上一页下一页返回null例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N，那么所以且上一页返回null§1.4 向量的线性关系与向量的分解下一页返回null上一页下一页返回null 例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3上一页下一页返回null 连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有 又因为AF是△ACD 的中线，所以又有上一页下一页返回null上一页下一页返回null上一页下一页返回null空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. §1.5 标架与坐标下一页返回null空间直角坐标系共有八个卦限2、坐标面与卦限 上一页下一页返回null空间的点特殊点的表示:称为点M的坐标，x称为横坐标, y称为纵坐标， z称为竖坐标.3、空间点的直角坐标 上一页下一页返回null4、空间向量的坐标 上一页下一页返回null显然，向量的坐标：向径：(点M关于原点O)上一页下一页返回5、利用坐标作向量的线性运算5、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式上一页下一页返回null解6、线段的定比分点坐标上一页下一页返回null由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意知：上一页下一页返回null定理1.5.4 已知两个非零向量7、其它相关定理则共线的充要条件是 定理1.5.6 已知三个非零向量，则共面的充要条件是 上一页返回null空间一点在轴上的射影 §1.6 向量在轴上的射影下一页返回null空间一向量在轴上的射影上一页下一页返回null关于向量的射影定理（1.6.1）证由此定义，上一页下一页返回null定理1的说明：射影为正；射影为负；射影为零；(4) 相等向量在同一轴上射影相等；上一页下一页返回null关于向量的射影定理（1.6.2）（可推广到有限多个）上一页下一页返回null关于向量的射影定理（1.6.3）上一页下一页返回null解上一页返回null启示实例两向量作这样的运算, 结果是一个数量.M1M2 §1.7 两向量的数量积下一页返回null数量积也称为“点积”、“内积”.结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积.定义上一页下一页返回null关于数量积的说明：证证上一页下一页返回null数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：上一页下一页返回null设数量积的坐标表达式上一页下一页返回null由勾股定理向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回null为空间两点. 空间两点间距离公式上一页下一页返回null空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回null非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.上一页下一页返回null由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.上一页下一页返回null向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回null方向余弦的特征上一页返回null两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回null解上一页下一页返回null证上一页下一页返回null §1.8 两向量的矢性积下一页返回null上一页下一页返回null上一页下一页返回null上一页下一页返回null上一页返回null定义设混合积的坐标表达式 §1.9 三向量的混合积下一页返回null（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：上一页下一页返回null解例1上一页下一页返回null解上一页下一页返回null式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回null水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例： §2.2 曲面的方程下一页返回null根据题意有化简得所求方程解上一页下一页返回null解根据题意有所求方程为上一页下一页返回null以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为上一页下一页返回null得上、下半球面的方程分别是：当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.由由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4上一页下一页返回null例4 方程 的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解以上方法称为截痕法.上一页下一页返回null以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．上一页返回二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程例7 求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程.注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.null抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程： 三、母线平行与坐标轴的柱面方程下一页返回null从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面，双曲柱面 ，抛物柱面，母线// 轴母线// 轴母线// 轴上一页下一页返回椭圆柱面ab椭圆柱面上一页下一页返回 双曲柱面yo 双曲柱面上一页下一页返回抛物柱面抛物柱面上一页返回null空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：下一页返回§2.4 空间曲线的方程null例1 方程组 表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.上一页下一页返回null例2 方程组解上半球面,圆柱面,交线如图.表示怎样的曲线？上一页返回null空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程下一页返回null 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程取时间t为参数，解上一页下一页返回null螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比． 即上升的高度螺距上一页返回null 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知必有 一、平面的点法式方程§3.1 平面的方程下一页返回null平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量已知点上一页下一页返回null解所求平面方程为化简得上一页下一页返回null化简得所求平面方程为解上一页下一页返回二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程由平面的点法式方程法向量？，为一平面.上一页下一页返回null平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；上一页下一页返回null设平面为由平面过原点知所求平面方程为解上一页下一页返回null设平面为将三点坐标代入得解上一页下一页返回null代入所设方程得平面的截距式方程上一页下一页返回null设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解上一页下一页返回null化简得所求平面方程为上一页返回null解§3.2 平面与点的相关位置下一页返回null上一页下一页返回null点到平面距离公式上一页下一页返回null在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），上一页返回null定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.§3.3 两平面的相关位置下一页返回null按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：上一页下一页返回null例1 研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角上一页下一页返回null两平面平行两平面平行但不重合．两平面平行上一页返回null定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程（注：两平面不平行）一、空间直线的一般方程§3.4 空间直线的方程下一页返回二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．直线的对称式方程 （点向式方程）上一页下一页返回null上一页下一页返回null因此,所求直线方程为 已知平面的法向量已知直线的方向向量上一页下一页返回三、空间直线的参数式方程三、空间直线的参数式方程方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程上一页下一页返回null例2 用对称式方程及参数方程表示直线解上一页下一页返回null因所求直线与两平面的法向量都垂直对称式方程得参数方程令上一页下一页返回null解所以交点为所求直线方程上一页返回null定义§3.5 直线与平面的相关位置下一页返回null直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：上一页下一页返回null解为所求夹角．上一页下一页返回直线与平面的交点直线与平面的交点上一页下一页返回null分析: 关键是求得直线上另外 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 例2 求过点 M (-1,2,-3), 且平行于平面 又与直线相交的直线方程.解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1 上一页下一页返回null求平面 P1与已知直线 L的交点上一页返回null定义两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）两直线的夹角公式§3.6 空间两直线的相关位置下一页返回null两直线的位置关系：例如，上一页下一页返回null解设所求直线的方向向量为根据题意知所求直线的方程上一页下一页返回null解先作一过点M且与已知 直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N,MNL上一页下一页返回null代入平面方程得 ,取所求直线的方向向量为所求直线方程为上一页返回nullP1点到直线的距离公式§3.7 空间直线与点的相关位置下一页返回null解上一页返回null水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：§4.1 柱面下一页返回null观察柱面的形成过程: 定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线上一页下一页返回null柱面举例：抛物柱面平面抛物柱面方程：平面方程：上一页下一页返回null从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面，双曲柱面 ，抛物柱面，母线// 轴母线// 轴母线// 轴上一页下一页返回1. 椭圆柱面1. 椭圆柱面2. 双曲柱面上一页返回null 定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.这些直线都叫做锥面的母线.那个定点叫做锥面的顶点.锥面的方程是一个三元方程.特别当顶点在坐标原点时：§4.2 锥面下一页返回null n次齐次方程F(x,y,z)= 0的图形是以原点为顶点的锥面；方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：准线顶点F(x,y,z)= 0. 反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程 锥面是直纹面 锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线.上一页下一页返回null请同学们自己用截痕法 研究其形状.椭圆锥面上一页下一页返回null解 圆锥面方程或上一页返回null 定义4.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．这条曲线叫旋转曲面的母线．§4.3 旋转曲面下一页返回null曲线 CC绕 z轴上一页下一页返回.曲线 CC绕z轴.上一页下一页返回.曲线 C旋转一周得旋转曲面 SCSMNzPy zo绕 z轴.f (y1, z1)=0M(x,y,z). S上一页下一页返回.曲线 C旋转一周得旋转曲面 SCSMNzP.绕 z轴..f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0. S上一页下一页返回null建立旋转曲面的方程：如图得方程上一页下一页返回null方程上一页下一页返回null例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．旋转双叶双曲面上一页下一页返回null旋转单叶双曲面上一页下一页返回null旋转椭球面上一页下一页返回null旋转抛物面上一页下一页返回几种 特殊旋转曲面几种 特殊旋转曲面1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面上一页下一页返回1 双叶旋转双曲面x01 双叶旋转双曲面绕 x 轴一周上一页下一页返回.x0.绕 x 轴一周1 双叶旋转双曲面上一页下一页返回1 双叶旋转双曲面x0.1 双叶旋转双曲面.绕 x 轴一周上一页下一页返回2 单叶旋转双曲面a2 单叶旋转双曲面上题双曲线绕 y 轴一周上一页下一页返回.a.上题双曲线绕 y 轴一周2 单叶旋转双曲面上一页下一页返回.a...2 单叶旋转双曲面上题双曲线绕 y 轴一周上一页下一页返回3 旋转锥面3 旋转锥面两条相交直线绕 x 轴一周上一页下一页返回..两条相交直线绕 x 轴一周3 旋转锥面上一页下一页返回..两条相交直线绕 x 轴一周得旋转锥面.3 旋转锥面上一页下一页返回4 旋转抛物面o4 旋转抛物面抛物线绕 z 轴一周上一页下一页返回.o.抛物线绕 z 轴一周4 旋转抛物面上一页下一页返回.y.oxz生活中见过这个曲面吗？.4 旋转抛物面抛物线绕 z 轴一周得旋转抛物面上一页下一页返回.卫星接收装置例.上一页下一页返回5环面5环面rR绕 y轴 旋转所成曲面上一页下一页返回5环面5环面绕 y轴 旋转所成曲面.上一页下一页返回5环面5环面绕 y轴 旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？..上一页下一页返回.救生圈.5 环面上一页返回二次曲面二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．§4.4 椭球面下一页返回椭球面截痕法用z = h截曲面用y = m截曲面用x = n截曲面abc椭球面上一页下一页返回椭球面的方程椭球面的方程 椭球面与三个坐标面的交线：椭球面上一页下一页返回null椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.上一页下一页返回null椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为上一页下一页返回null球面截面上圆的方程方程可写为上一页返回null单叶双曲面一、单叶双曲面§4.5 双曲面下一页返回null与平面 的交线为椭圆.截得中心在原点的双曲线.上一页下一页返回null单叶双曲面图形（3）用坐标面 ，与曲面相截均可得双曲线.上一页下一页返回二、双叶双曲面二、双叶双曲面双叶双曲面上一页下一页返回双曲面及其渐进锥面 单叶：双叶：... 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面及其渐进锥面上一页返回第五章 二次曲线的一般理论第五章 二次曲线的一般理论 在平面上，由二元二次方程 所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。下一页返回null为了方便起见，特引进一些记号：上一页下一页返回null上一页返回null讨论二次曲线与直线的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方程（1）然后讨论关于t的方程（1）（2）§5.1 二次曲线与直线的相关位置下一页返回null（3）（4）对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：上一页下一页返回null上一页下一页返回null上一页返回null1.二次曲线的渐近方向 定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.即1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I2<0§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线下一页返回null2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是： 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含x与y的一次项.上一页下一页返回null二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定： 如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：上一页下一页返回null 定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线. 定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上 成为二次曲线的组成部分.上一页返回null 定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点. 定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)= F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.§5.3 二次曲线的切线下一页返回null 定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：上一页下一页返回null 例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切线方程 解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0, 且 F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0 所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在 点(2,1)的切线方程为： 5/2 (x-2)-2(y-1)=0 即：5x-4y-6=0上一页返回null1.二次曲线的直径 定理5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线. 定义5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径.§5.4 二次曲线的直径下一页返回null 推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦直径方程为 F1(x,y)+kF2(x,y)=0 定理5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，即曲线的中心直线2.共轭方向与共轭直径 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向. 定义5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径.上一页返回null 定义5.5.1 二次曲线的垂直与其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.§5.5 二次曲线的主直径和主方向下一页返回null 定义5.5.2 方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根定理5.5.1 二次曲线的特征根都是实数.定理5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零. 定理5.5.3 由二次曲线(1)的特征根λ确定的主方向X:Y，当λ≠0时，为二次曲线的非渐近主方向；当λ＝0时，为二次曲线的渐近主方向. 定理5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径.上一页返回null1.平面直角坐标变换为转轴公式，其中α为坐标轴的旋转角.§5.6 二次曲线方程的化简与分类下一页返回null2.二次曲线方程的化简和分类 定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个： 定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程的一种形式：上一页下一页返回null上一页返回null