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用Excel求实对称阵的全部特征值和特征向量

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用Excel求实对称阵的全部特征值和特征向量 本栏目责任编辑:谢媛媛软件设计开发 Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术 第 6 卷第 12 期 (2010 年 4 月) 用 Excel求实对称阵的全部特征值和特征向量 杨 敏 (新乡医学院 计算机教研室,河南 新乡 453003) 摘要:给出了用 Excel 求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法,该方法简单、直观,不需要设计程序,也不需要专门的数学软 件,不仅为课堂教学,也为数值计算提供了方便。 关键词:Excel;特征值;特征向量;数值计算 中图...

用Excel求实对称阵的全部特征值和特征向量
本栏目责任编辑:谢媛媛软件设计开发 Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术 第 6 卷第 12 期 (2010 年 4 月) 用 Excel求实对称阵的全部特征值和特征向量 杨 敏 (新乡医学院 计算机教研室,河南 新乡 453003) 摘要:给出了用 Excel 求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法,该方法简单、直观,不需要设计程序,也不需要专门的数学软 件,不仅为课堂教学,也为数值计算提供了方便。 关键词:Excel;特征值;特征向量;数值计算 中图分类号:TP317 文献标识码:A 文章编号:1009-3044(2010)12-2968-02 The Calculation of All Eigenvalues and Eigenvectors of Real Symmetric Matrix by Excel YANG Min (Teaching Research Group of Mathematics, Xinxiang Medical University, Xinxiang 453003, China) Abstract: This paper introduces the simple and direct methods of calculating all eigenvalues and eigenvectors of real symmetric matrix by Excel. You didn't need make programs as well as use special mathematical software by use this methods. Key words: Excel; eigenvalues; eigenvectors; numerical calculation 文献[1]给出的用 Excel 实现求矩阵的特征值和特征向量的方法,既不需要设计程序,也不需要专门的数学软件,只须在 Excel 中 进行简单操作,就可以快速、直观地得到实矩阵的特征值和特征向量,且计算结果具有较高的精度。 本文给出了求实对称矩阵的全 部特征值和特征向量的方法。 首先,利用文献[1]中所给方法,我们可以在 Excel 的工作 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf Sheet1 中通过数组 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 和数组常量建立并命名实对称矩阵 A: 和 4 阶单位矩阵 I。 为求实对称矩阵的全部特征值,应先确定每个特征值所在区间,然后再搜索所有特征值的近似值。 1 确定矩阵的每个特征值所在区间 利用下述定理,可以确定矩阵 A 的所有特征值的上、下界,其证明详见文献[2]。 Gersgorin 圆盘定理[2] 设 ,则 A 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中 或者说,A 的特征值都在复平面上的 n 个圆盘的并集中。 例如上述矩阵 A 的所有特征值就包含在区间[0,4]内。 为确定每个特征值所在小区间,可以利用 Excel“插入”菜单中的“图表”命 令,在区间[0,4]内取若干个点作特征多项式 f(λ)=det(A-λI)的“平滑线散点图”类型曲线,使每个特征值所在的小区间能从图中简单、 直观地确定出来。 其操作步骤如下: 1)在工作表 Sheet3 中,在单元格区域 A1:A9 中分别输入:0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4; 2)在 B1 单元格中输入公式:=MDETERM(A-A1*I),按 Ctrl+Shift+Enter 键在 B1 中形成数组公式,则 B1 中的值 5 即为特征多项 式 f(λ)在 λ=0 的值; 3)选择单元格 B1,用鼠标向下拖动 B1 右下角的填充柄直到 B9 单元格; 4)选择单元格区域 A1:B9,单击“插入”菜单中的“图表”命令,选择“XY 散 点图”的“平滑线散点图”类型曲线,单击“完成”按钮可得图 1。 5)从图中可以清晰地看出,A 的特征多项式与 x 轴相交 4 点,且这 4 点 分别在区间[0,0.5], [1,1.5], [2.5,3], [3.5,4]中。 2 求实对称矩阵的全部特征值 接下来我们就可以使用 Excel“工具”菜单中的“规划求解”命令 [3]求出每 收稿日期:2010-04-06 作者简介:杨敏(1982-),女,硕士,主要从事迭代算法的研究。 图 1 特征多项式 f(λ)的平滑线散点图 ISSN 1009-3044 Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术 Vol.6,No.12, April 2010, pp.2968-2969 E-mail: xsjl@cccc.net.cn http://www.dnzs.net.cn Tel:+86-551-5690963 5690964 2968 软件设计开发本栏目责任编辑:谢媛媛 Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术第 6 卷第 12 期 (2010 年 4 月) 个特征值的近似值。 操作步骤如下: 1)选择 Excel 的工作表 Sheet4,注意进行以下的操作之前,我们已预留出 A1,A2,A3,A4 四个单元格作为规划求解的可变单元 格。 2)在 B1 单元格中输入公式:=MDETERM(A-A1*I),按 Ctrl+Shift+Enter 键,形成数组公式:{=MDETERM(A-A1*I)}; 3)选择单元格 B1,用鼠标向下拖动 B1 右下角的填充柄直到 B4 单元格,即可在 B2,B3,B4 中分别形成数组公式:{=MDETERM (A-A2*I)},{=MDETERM(A-A3*I)},{=MDETERM(A-A4*I)}; 4)单击“工具”菜单中的“规划求解”命令,打开“规划求解参数”对话框; 5)在“设置目标单元格(E)”中输入 B1,单击“等于”栏中的“值为”输入 0,在“可变单元格(B)”中,输入或选择单元格区域 A1:A4; 6)单击“添加(A)”按钮,在“添加约束”对话框中分别添加条件:A1>=0, A1<=0.5, A2>=1, A2<=1.5, A3>=2.5, A3<=3, A4>=3.5, A4<=4, B2=0, B3=0, B4=0; 7)单击“求解”按钮完成操作。此时单元格 A1,A2,A3,A4 中的值:0.381966011,1.381965969,2.618033989,3.618033989 就是实对 称矩阵 A 的全部特征值。 3 求每个特征值对应的特征向量 在文献[1]中,我们已介绍了在 Excel 中如何利用数值计算中的逆幂法,求上例矩阵 A 的特征值 λ1=0.381966011 所对应的特征向 量(0.618033989,1,1, 0.618033989)的操作方法。 本文我们说明: 若还要求上例矩阵 A 对应于其他特征值的特征向量, 在 Excel 中将变得更为简便。 例如, 为求对应于 λ3= 2.618033989 的特征向量,只须作如下操作:仍在工作表 Sheet2 中,选择单元格区域 B1:B4,按 F2 键(或单击编辑栏中的编辑框)使 在文献 [1]中已输入的 B1 中的公式处于编辑状态,并将其修改为:=MMULT(MINVERSE(A-2.6*I),A1:A4),再按 Ctrl+Shift+Enter 键,完 成数组公式的修改; 最后将 B1:C5 中的公式利用填充柄向右拖动 复制,即得图 2。 从图中可以看出:对应于 A 的特征值 λ3=2.618033989 的近似 特征向量为(1,-0.6180339…, -0.6180339…,1)。 4 结束语 通过开发 Excel 的强大计算功能,可以方便、直观地解决大量 数值计算问题[1,4-5],注意到 Excel 软件在各类计算机上随处可见,这为我们解决 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 计算问题或课堂教学带来了极大便利。 参考文献: [1] 杨明波,卢建立.Excel 中矩阵的命名与特征值特征向量的计算[J].电脑知识与技术,2007(3):1295-1296. [2] 李庆杨,王能超,易大义.数值分析[M].4 版.北京:清华大学出版社,2001:295-296. [3] 卢秋根.中文版 Office 应用基础教程[M].上海:上海科学普及出版社,2005,151-152. [4] 彭海静.基于 Excel 求高次方程的解[J].计算机应用与软件,2006,23(2):142-144. [5] 杨明波,卢建立,杨敏.利用 Excel 的循环引用自动完成迭代计算[J].计算机应用与软件,2008,25(12):103-105. 图 2 用逆幂法求对应于特征值 λ3的特征向量 2969
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