函数!"#$%&
’
(%)
*+(#,-(*的最小值求法探究
).../0 北京市日坛中学"延静里校区$ 张留杰 周合江
众所周知1函数 2"3$% *34 5)*,
*345/*"5)6 5/$的最小值为 *5)4 5/*1此时
37 85)15/9:这不仅可以利用函数图像求得1
也可用绝对值不等式的性质很快得出结果:
若将函数推广为 2"3$% &
;
<%)
*34 5<*"5<
7=1<7>?$:同样可以结合这类函数的图像
特征1求出相应的最小值1并且发现有规律可
循:但是1当绝对值内3的系数不全为)时1函
数的最小值该如何求出1是否具有一般性的
规律呢@下面就借助函数 2"3$%&
;
<%)
*34 5<*
做进一步的探究:
首先给出函数 2"3$% &
;
<%)
*34 5<*的最
小值的求法:
命题 函数2"3$%*345)*,*345/*
, A , *345;*"5)6 5/6 A 65;1;7>?$
一定有最小值:
")$若 ;% /B4 )"B7>?$1则当3%5B
时12"3$的最小值为
2"5B$%*"5),5/, A,5B4)$4"5B,),5B,/
, A , 5/B4)$*:
"/$若 ;% /B "B7 >?$1则当 37
85B15B,)9时12"3$的最小值为
2"5B$%*"5),5/,A,5B$4"5B,),5B,/,
A , 5/B$*:
证明 ")$当 ;% /B4 )"B7 >?$时1
2"3$%*345)*,*345/*,A,*345B*
, A , *34 5/B4)*1
且 5)6 5/A 6 5B6 A 6 5/B4):
由绝对值不等式的性质得
*34 5)*, *34 5/B4)*C 5/B4)4 5)1
当且仅当 37 85)15/B4)9时取等号D
*34 5/*, *34 5/B4/*C 5/B4/4 5/1
当且仅当 37 85/15/B4/9时取等号D
AA
*34 5B4)*, *34 5B,)*C 5B,)4 5B4)1
当且仅当 37 85B4)15B,)9时取等号D
*345B*C.1当且仅当3%5B时取等号:
又 5B7 85B4)15B,)9E 85B4/15B,/9E A E
85)15/B4)91所以当且仅当 3% 5B时1以上各式
能同时取等号:
故 2"3$C2"5B$%5/B4)45),5/B4/45/,
A , 5B,)4 5B4)% *"5), 5/, A , 5B4)$4
"5B,), 5B,/, A , 5/B4)$*:
"/$当 ;% /B"B7 >?$时1同理可得
*34 5)*, *34 5/B*C 5/B4 5)1
当且仅当 37 85)15/B9时取等号D
*34 5/*, *34 5/B4)*C 5/B4)4 5/1
当且仅当 37 85/15/B4)9时取等号D
AA
*34 5B*, *34 5B,)*C 5B,)4 5B1
当且仅当 37 85B15B,)9时取等号:
又85B15B,)9E 85B4)15B,/9E A E 85)15/B91所
以当且仅当3785B15B,)9时1以上各式中能同
时取等号:
故 2"3$C 2"5B$% 5/B4 5), 5/B4)4 5/,
A ,5B,)45B% *"5),5/, A,5B$4"5B,)
, 5B,/, A , 5/B$*:
从以上证明的过程可知1如果函数
2"3$%&
;
<%)
*34 5<*中的常数5<"<% )1/1A1
;$有相等量1只需对 5<从小到大排序1同样可
以按照上述方法求出其最小值及相应的3值:
于是可得
推论 对于函数
2"3$%&
;
<%)
*F<3, 5<*"F<7 G且 F?$1总可以写成2"3$% )I8*343)*
, *343/*, A , *343;*9"3)J 3/J A
J 3;1IK;7 >?$的形式:
")$若;%/B4)"B7>?$1则当3%3B
LM/..N年第0期 中学数学
时!"#$%取值最小&
#’%若 () ’* #*+ ,-%!则当 $+
.$*!$*/01时!"#$%取值最小&
下面结合例题谈谈该推论的应用&
例 2 求函数 3) 4’$5 04/ 4$5 04
/ 4$5 ’4的最小值!并求出3最小时的$的
取值&
解 6 3) 4’$5 04/ 4$5 04/
4$5 ’4) 4$5 0’4/ 4$5
0
’4/ 4$5 04
/ 4$5 ’4!
7 当 $+ .0’!01
时!
389:) 40’/
0
’5 05 ’4) ’&
例 ; 若不等式 4$4/ 40’$5 04/
4$5 04< =恒成立!求实数 =的取值范围&
解 不等式可化为
4’$4/ 4$5 ’4/ 4’#$5 0%4< ’=&
即 4$4/ 4$4/ 4$5 04/ 4$5 04/
4$5 ’4< ’=恒成立&
6 函数"#$%)4$4/4$4/4$504
/ 4$5 04/ 4$5 ’4最小值为 "#0%) >!
7 只需 ’=? >!得 =? >’&
故 =的取
值范围为#5 @!>’%&
通过对函数"#$%)A
(
B)0
4CB$/DB4#CB+E
且CBFG!DB+H!B+,-%的最小值的探究!使
我们掌握了一种简捷的求解方法!它回避了
描点画图和繁琐的运算!为研究相关的绝对
值不等式问题提供了有力的工具!在实际生
产生活中也具有一定的应用价值&
#收稿日期
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
J’GGKG0G>%
一道国家集训题的导数证明
L>GG0G 湖北省武汉二中 余水能 熊学韬 黄承浩
’GGM年国家集训题J从任意(#(N’%个给
定的正数 C0!C’!O!C(中!每项取 *个数作乘
积!所有这种乘积的算术平均值的*次方根!称
为这 (个数的 *次对称平均!记为 P*&即
P*)
C0C’OC*/C0C>OC*/0/O /C(/05*OC(50C(
QR S*(
0
*
求证J若 0T *0? *’T (!则有 P*0N P*’&
为证明问题!先给出如下引理J
引理 对于实根多项式
"#$%)#$5C0%#$5C’%O#$5C(%#这里不
妨设G?C0TC’T O TC(%!其导函数"U#$%
必有(5 0个实根 V0!V’!O!V(50!若 V0T V’T
O T V(50!且这 (5 0个实根满足 CBT VBT
CB/0#B) 0!’!O!(5 0%&
简证 其实这一结论是显见的&
6 "U#$%)#$5C’%#$5C>%WOW#$
5 C(%/ #$5 C0%#$5 C>%O#$5 C(%/ O
/ #$05 C0%#$5 C’%O#$5 C(50%!
7 "U#CB%"U#CB/0%)#CB5C0%#CB5C’%O
#CB5 CB50%#CB5 CB/0%O#CB5 C(%W
#CB/05 C0%#CB/05 C’%O#CB/05 CB50%W
#CB/05 CB%O#CB/05 C(%
) 5 #CB5CB/0%’.#CB5C0%#CB/05C0%1WOW
.#CB5 CB50%#CB/05 CB50%1.#CB5 CB/’%#CB/0
5 CB/’%1O.#CB5 C(%#CB/05 C(%1T G&
则在.CB!CB/01内必存在 VB!使 "U#VB%) G&
引理成立&
下面对问题给出证明J
为了 方 便!记 D* ) C0C’OC* / O /
C(/05*C(50OC(#*) 0!O!(%!且设
"#$%) #$5 C0%#$5 C’%O#$5 C(%!则
"#$%)$(5D0$(50/D’$(5’/O /#50%*0W
D*0$
(5*0/O/#50%*’D*’$
(5*’/O/D(!"#$%
的#(5 *’%阶导函数为J
"#(5*’%#$%) X(5*’( $*’5 X(5*’50(50 $*’50/ O /
#50%*0X(5*’(5*0D*0$
*’5*0/O /#50%*’#(5*’%YD*’&
由引理知J"#(5*’%#$%必有 *’个正数根!记为
30!3’!O!3*’!
ZL 中学数学 ’GGK年第M期
函数f(x)=∑ni=1|aix+bi|的最小值求法探究
作者： 张留杰， 周合江
作者单位： 100025,北京市日坛中学(延静里校区)
刊名： 中学数学
英文刊名： MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS
年，卷(期)： 2006，""(5)
被引用次数： 1次
引证文献(1条)
1.胡如松 也谈函数f(x)=n∑i=1|aix+bi|的最小值[期刊论文]-中学数学 2006(12)
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