选修2-2第一章1.3一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案]C[解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.14－132．(2013北·师大附中高二期中)函数y＝x3x的极值点的个数为()4A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.当x变化时，y′、y的变化情况如下
表
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x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)y′－0－0＋y无极值极小值故选B.3．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1，则()3A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0[答案]D[解析]y′＝3ax2＋2bx由题设0和1是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.34．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9[答案]D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，∴ab≤(a＋b2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．2)5．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－2[答案]A[解析]∵a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，b＝1，b＝－1，∴ad＝2.∴或c＝2，c＝－2.6．(2013辽·宁实验中学期中x，则())函数f(x)＝－e(a
f(b)D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定[答案]C[解析]－x－x′·ex－－x·ex′f′(x)＝(e)′＝exx2x－1ex.当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数，∵af(b)．二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案]4x－y－3＝0[解析]y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.8．(2014·北冀州中学期中河)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．[答案][－1,1][解析]f′(x)＝1＋acosx，由条件知f′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时，1111∵－≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴01时，f′(x)>0；当－10，f(x)单调递增，当(2k－1)π6D．a<－1或a>2[答案]C[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.二、填空题14．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________________，b＝________.[答案]－3－9[解析]y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有－1＋3＝－2a3，a＝－3，b∴b＝－9.－3＝3.经检验a＝－3，b＝－9符合题意．三、解答题15．(2013·课标Ⅰ文，新20)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．[解析]x(1)f′(x)＝e(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，xx1f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(e－2)．令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．16．(2014三·峡名校联盟联考)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax.(1)当a＝－3时，求函数y＝f(x)的极值点；(2)当a＝－4时，求方程f(x)＋x2＝0在(1，＋∞)上的根的个数．[解析]21(1)f(x)＝lnx＋x－3x，f′(x)＝x＋2x－3，令f′(x)＝0，则x＝1或1x＝2，由f′(x)>0得01，∴f(x)在(0，11，1)上单调递减，2)和(1，＋∞)上单调递增，在(21∴f(x)的极大值点x＝2，极小值点x＝1.(2)当a＝－4时，f(x)＋x2＝0，即lnx＋2x2－4x＝0，设g(x)＝lnx＋2x2－4x，则14x2－4x＋1g′(x)＝x＋4x－4＝≥0，x则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2>0，所以g(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014温·州八校联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a、b∈R)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．[解析](1)∵f(x)＝－x3＋ax2＋b，∴f′(x)＝－22a3x＋2ax＝－3x(x－3)．当a＝0时，f′(x)≤0函数f(x)没有单调递增区间；当a>0时，令f′(x)>0，得00，得3027＋b>0.4a3∵对任意a∈[3,4]，b>－27恒成立，334a4×3∴实数b的取值范围是(－4,0)．
浙公网安备 33021202002483