傅里叶变换性质证明

2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和fJ口的傅里叶变换分别为Fi（旧）和少）,则对于任意的常数a和b,有Mt）+f2（t）］=aF＞］+bF2（B将其推广，若珂训冋佃）i=123……□，则F£必（；）i-l=£印耳（田）i-L其中E为常数，n为正整数。由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即F［酋斛=加［/〔勿］叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和尸［/卫）斗兀⑴卜Fl/］。）卜F区⑹2.6.2反褶与共轭性设f（t）的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。（1）反褶f(-1)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为砒（-纠=伫/（号诙也===\=jgfJ-c>:>J—co=『畑汁“'怙=巩-对共轭nf(t)]=rf(t-)s-^dtJ1—i.O訂：氏0十心£>)严Fw—―.：4：二f因为dt是实数，所以(dtf=dtLT」斗習共袒提到积分之外二严(-对根据傅里叶娈换的定义既反褶又共轭F[厂G)]二匚厂G)厂能切=-’「屮1*二二二匚㈣严dx=r(w)■■本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-1)，h(t)=g*(t)，贝V设旗皿麥们，则■①)=F[-oo),Fh(oo)=F/(-®)=F'(®)在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质FLAY)]=Ft-便)Wd©)Fg]二FZ2・6・3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即(2-33^呎口)-arctanF®)=只如門凶=盹)+声阈显黙冈绷工戏讼)斗尸⑧)根据定义，上式还可以写成F(ca)==Juoe朋)j匸&(0win点肚[2-34]下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。(1)f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得凤①)=J(/?)CCIE过肚直(l.l)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-1)X(Q的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X@)=0，于是F(pS)=2£H/p)cos^/可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即=R(m)=叭⑹左边反褶，右边共轭(1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-1)R@)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R@)=0，于是F(劲=-2j£sin(凶问可见，若f(t)是实奇函数，则F(小是虚奇函数，即巩切匸畑叫上匸炖畑―匸畑皿必左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。2.6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知F@)=F[f(t)]则有F[f(t)]=2nf(—Q证明：因为\O：i■.于昱将变量t与互换，再将2乘过来，得上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)所以F[F(t)]=2nf(—•)若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-1),则有F[F(t)]=2f@)从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立一一即f(t)的频谱是F@),F(t)的频谱为f@)。若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-1),则有F[F(t)]=-2f@)利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举些例子来说明这一点。^2.2试根据FT的对茹性「利用沖谢信号的傅里叶变换乘義直遵信号的傅里叶变换。解；已知冲激信号的偉里叶变换対巩,将E视为常数函数,它是偶函数>根据FT的对称性>得F[E]€7IE歹(«■)-例23饶根据FT的对称性』利用矩形脉冲信号的傅里叶变擬来求解S通数的傅里叶变擬口解；已知矩形屎冲信号的傅里叶变换対厅比&卫)卜总烏竺I?丿根据FT的对翰性，可潯F2血电⑺)即2逼數的FT星脉宽如脉高为p的注形脉冲-拒我脏沖信号減形与频谱、5邇數的派形与频谱如下團所示--101^團2-12根据ET的对称性董£趣数的FT例呂4试根据FT的对称性，利用符号函数的俾里叶变换来我解玳信号fCt）=L/t的傅里叶变换-解：已知符号函数的傅里叶变换再F［ggn（f）卜2』根据FT的线性可得J出F別⑵=-2J6.：'根据FT的对称性，考虑S1卸⑴是奇函数」有r12冗逅Sgtl(-6J)=-j^sgn(w)2.6.5尺度变换若F[f(t)]=F@),则这里a是非零的实常数。下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。证明:因为—/—DO令at二x.当a>。时鬥F［伽）］一-r)◎Iaa上述两种情况可综合成如下表达式:兀/3)]=由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。2.6.6时间平移（延时）若F圧出]帀（耐,则F[f氏-⑴]=F（少冷7①r°F面进行证明证明:因为F[f〔t一t0f（t一0倉」曲毗上式右边的积分项为傅里叶变换定义式,于是可以得到F[f(t-tJ]=f(映同理可以得到F[fatJl=F(tu)K2.6.7时域微分若F[f(t)]=F@),则FJ窗(由)at■■F茫旦=TF9)证明:因为⑴哙以畅％，两边对t求导，可得所以欢)■di=(J研F(to)同理，可以推出由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F@)乘以(j)n.下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FT2.6.8频域微分若F［f（t）］=F@）,则严｛今型］=（_划沖）_dco_证明：因为瓦*y如，故，两边分别对⑷求导，可得巩⑹二匚山）厂曲所以F-1=（-用W）例ZE利用频域微分特性柬F［th解:由于』［门=纱珥如，根据频域徽分特性可得再由FT的线性可得/[-7[gJI百(co)2.6.9时域积分若F[f(«))j则尸[仁扌⑺妣=(购尸尸(劲+阳F(Q)占(田)证明:变换积分次序J并且利用阶跃信吕■的傅里叶变换关茶式耳[真(f-7)]=応观®)+—厂曲'"抄■■于是f/(r)[fu(i-T)e必]处丄8_I-CDJ丁(「)兀凤ah'*必十=(Jqj)-1十疋F(0)占(劲特别地，如果竺也胡处有界,则■■Fj[w)几=(』少)7*3)■■7利用时域积分特性求F[u(t)]解：由于FL^Ct)]=i，且塚©=f8(t)dtJ—ri=-由时域积分特性可猖”[肚(列=-^―+丸凤世ja可见，这与利用符号函数求得的结果一致。2.6.10频域积分若F[f(t)]=F@)，则有叫匸血1=创1W)+2.6.11时域卷积定理证明：匸匚/（方T血■1齐匕）匸Ee-©厂就血（卷积和FT的定义）咬换积分次序）二匚弘）》［£（£）］严认（TT运义及苴时移特性〕二卩儒⑵］匸/（叹一吧仇朕于积分妾量的常函數提出来〕=列£（£）］.巩久（幼］=F林⑵］•礼驰）］由上可见■两平时间函数卷程的频请等于各亍时间函数频请的乘积』也就呈说」两信号时感卷积等效于頻请相乘n2.6.12频域卷积定理与时域卷积定理类似，砒①/⑹二护/⑹心⑹证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说,两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。2.6.13帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。若F[f(t)]=F@)，贝U]3存扛卩冋九这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。dt[IFT定义)匚丄滋丄滋门\d(nI：交换积分次序)〔FT定义)式中LF⑦3是信号f(t)的总能量，为信号f(t)的能量谱密度。帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f(t)|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量|fCb)|Z-/2在整个频率范围内积分来得到。此定理也可以如下证明。由相关性定理可得[丿⑴八L◎几=f|月(旧)『严畑取t=0,即得帕斯瓦尔定理。