数值分析部分

数值分析讲义1第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x*的近似值x，差e＝x－x*称为近似值x的误差(绝对误差误差限近似值x的误差限e是误差e的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。相对误差er是误差e与精确值x*的比值，。常用计算。相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。绝对误差的运算：)。(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。关于有效数字：x准确到该位。从(1)设精确值x*的近似值x，x＝±0.a1a2⋯an×10ma1，a2，⋯，an是0～9之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n则x有l位有效数字.设近似值x＝±0.a1a2⋯an×10m有n位有效数字，则其相对误差限设近似值x＝±0.a1a2⋯an×10m的相对误差限不大于则它至少有n位有效数字。要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4位小数。一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926的数x＝20.7426只有三位准确数字2，0，7。一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为其相对误差为1%的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为二、实例例1设x*＝p＝3.1415926⋯10%的量级；有二位准确数字，相对于0.1%的量级。近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526⋯，有|x－x*|＝0.001526⋯≤0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14有3位有效数字。x＝3.14准确到小数点后第2位。又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074⋯，有|x－x*|＝0.0000074⋯≤0.5×101－5即m＝1，l＝5，x＝3.1416有5位有效数字。而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926⋯，有|x－x*|＝0.0000926⋯≤0.5×101－4即m＝1，l＝4，x＝3.1415有4位有效数字。这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s－1位有效数字。s位有效数字；若末位数字例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004－0.0020090009000.00解因为x1＝2.0004＝0.20004×101，它的误差限0.00005＝0.5×101―5，即＝2.0004有5位有效数字。相对误差限。m＝1，l＝5，故x1数值分析讲义2x2＝－0.00200，误差限0.000005，因为误差限er＝0.000005/0.00200＝0.25%。m＝－2，l＝3，x2＝－0.00200有3位有效数字。相对x3＝9000，绝对误差限为0.5，因为m＝4，l＝4，x3＝9000有4位有效数字，相对误差限er＝0.5/9000＝0.0056%。x4＝9000.00，绝对误差限0.005，因为m＝4，l＝6，x4＝9000.00有6位有效数字，相对误差限为er＝0.005/9000.00＝0.000056%。由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。例3ln2＝0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是e＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。ln2≈0.693。三、练习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是。2.设某数x*，它的精确到10－4的近似值应取小数点后位。3.()的3位有效数字是0.236×102。(A)235.54×10－1(B)235.418(C)2354.82×10－2(D)0.0023549×1034.设a*＝2.718181828⋯，取a＝2.718，则有()，称a有四位有效数字。(A)|a－a*|≤0.5×10－4(B)|a－a*|≤0.5×101－4(C)|a－a*|≤10－4(D)|a－a*|≤0.00035.设某数x*，对其进行四舍五入的近似值是()，则它有3位有效数字，绝对误差限是0.5×10－4。(A)0.315(B)0.03150(C)0.0315(D)0.00315以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为0.25×10－3。(A)0.01234(B)–12.34(C)–2.20(D)0.2200将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。(1)2.1514(2)－392.85(3)0.003922已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1)13267er＝0.1%(2)0.896er＝10%已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。(1)0.3941e＝0.25×10－2(2)293.481e＝0.10.00381e＝0.1×10－4已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。(1)1.8921er＝0.1×10－2(2)22.351er＝0.15(3)48361er＝1%四、 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 答案1．该数有效数字第四位的一半。2.五3.(A)4.(B)5.(C)6.(D)7.(1)2.15,e＝－0.14×10－2，er＝0.65×10－3；(2)－393，e＝－0.15，er＝0.38×10－3；(3)0.00392，e＝－0.2×10－5，er＝0.51×10－3(1)e＝0.13×102；(2)0.9×10－1(1)2；(2)3；(3)210.(1)3；(2)1；(3)2第15章线性方程组的数值解法数值分析讲义3一、重点内容高斯顺序消去法解线性方程组AX＝b，对增广矩阵顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中，。注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。把第2.高斯列主元消去法在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元(k＝1，2，3，⋯，n－1)r行作为主方程，做第k次消元。，把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。3.雅可比迭代法(简单迭代法)解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为(k＝0，1，2，⋯)4.高斯――赛德尔迭代法解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为(i＝1，2，⋯，n；k＝0，1，2，⋯)5．解的收敛性定理【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式X(k＝B(k)X＋f收敛的充分必要条件是,其中λi(i＝1，2，⋯，n)为迭代矩阵B的特征根。当λ复数时，|λi|表示λi的模。0；＋1)i为【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AX＝b，若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；若A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵A＝[aij]n，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵。二、实例例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解x3＝－1，x2＝1，x1＝1，原线性方程组的解为X＝(1，1，－1)T。例2取初始向量X(0)＝(0，0，0)T，用雅可比迭代法求解线性方程组解建立迭代 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 (k＝1，2，3，⋯)数值分析讲义4第1次迭代，k＝0X(0)＝0，得到X(1)＝(1，3，5)T第2次迭代，k＝1X(2)＝(5，－3，－3)T第3次迭代，k＝2X(3)＝(1，1，1)T第4次迭代，k＝3X(4)＝(1，1，1)T例3填空选择题：用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。解选a21＝2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1＋2x2＋3x3＝3，消元得到是应填写的内容。2.用选主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了(A)提高计算速度(B)减少舍入误差(C)减少相对误差(D)方便计算()答案：选择(B)用高斯――赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中＝(k＝0，1，2，⋯)答案：解答：高斯――赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求4.当a()时，线性方程组的迭代解一定收敛。(A)＞6(B)＝6(C)＜6(D)＞6或＜－6x2的值时应该用x1的新值。答案：(D)解答：当|a|＞6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。三、练习题用高斯列主元消去法解线性方程组用高斯――赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67，7.62，9.05)T，求二次迭代值。证明线性方程组的迭代解收敛。用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是5.用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为((A)3(B)4(C)－4(D)－9)数值分析讲义5四、练习题答案X＝(－4，1，2)T(4.66619，7.61898，9.04753)T提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵。4.线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。(C)第2章 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 插值与最小二乘拟合一、重点内容函数插值已知函数f(x)的n个函数值yk＝f(xk)，k＝0，1，2，⋯，n。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)＝yk。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，xk就是插值节点。误差R(x)＝f(x)－P(x)。拉格朗日多项式称n次多项式Pn(x)＝y0l0＋y1l1＋⋯＋ynln＝为拉格朗日插值多项式，其中基函数(i＝0，1，2，⋯，n)当n＝1时，线性插值P1(x)＝yklk(x)＋yk+1lk+1(x)其中基函数。当n＝2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为:,其中ξ∈(a，b)注意：过n＋1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。均差与牛顿插值多项式函数值与自变量的差商就是均差，一阶均差(或记作f[x0，x1])；二阶均差(或记作f[x0，x1，x2])均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关。用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x－x0)＋f[x0，x1，x2](x－x0)(x－x1)＋⋯＋f[x0，x1，x2，⋯，xn](x－x0)(x－x1)(x－x2)⋯(x－xn-1)牛顿插值多项式的余项为：Rn(x)＝f(x)－Nn(x)f[x，x0，x1，x2，⋯，xn](x－x0)(x－x1)(x－x2)⋯(x－xn－1)(x－xn)分段线性插值已知n＋1个互异节点x0，x1，⋯，xn构造一个分段一次的多项式P(x)，且满足：(1)P(x)在[a，b]上连续；(2)P(xk)＝yk(k＝0，1，2，⋯，n)；(3)P(x)在[xk，xk+1]上是线性函数。分段线性插值函数其中lk(x)(k＝0，1，2，⋯，n)是分段线性插值基函数。(i＝1，2，⋯，n－1)三次样条插值函数(k＝0，1，2，⋯，n－1)(xk≤x≤xk＋1)其中S2(xk)＝mk(k＝0，1，2，⋯，n)，hk＝xk+1－xk(k＝0，1，2，⋯，n－1)，m0，m1，⋯，mn满足的方程组是数值分析讲义6(*)其中：，(k＝1，2，⋯，n－1)当已知S￠(x0)＝y￠0，S￠(xn)＝y￠n时，(*)式中m0＝1，ln＝1，当已知S2(x0)＝y20＝m0，S2(xn)＝y2n＝mn时，(*)式化为最小二乘法用j(x)拟合数据(xk，yk)(k＝1，2，⋯，n)，使得误差的平方和为最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法。直线拟合若，a0，a1满足法方程组(2)二次多项式拟合若，a0，a1，a2满足法方程组二、实例例1已知函数y＝f(x)的观察数据为xk－2045yk51－31试构造拉格朗日多项式Pn(x)，并计算P(－1)。[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]解先构造基函数所求三次多项式为P3(x)=＝P3(－1)＝例2已知函数y＝f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。解依据均差计算公式，结果列表中。kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.168000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.201521.384100.433480.213000.03134计算公式为一阶均差(k＝0，1，2，3)二阶均差(k＝0，1，2)三阶均差(k＝0，1)四阶均差例3设x0，x1，x2，⋯，xn是n＋1个互异的插值节点，lk(x)(k＝0，1，2，⋯，n)是拉格朗日插值基函数，证明：数值分析讲义7；(2)(m＝0，1，2，⋯，n)证明(1)Pn(x)＝y0l0＋y1l1＋⋯＋ynln＝∴当f(x)≡1时，1＝由于，故有对于f(x)＝xm，m＝0，1，2，⋯，n，对固定xm(0≤m≤n)，作拉格朗日插值多项式，有当n＞m－1时，f(n+1)(x)＝0，Rn(x)＝0，所以注意：对于次数不超过n的多项式，利用上结果，有==可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过朗日插值多项式就是它自身。n的多项式在n＋1个互异节点处的拉格例4已知函数e－x的下列数据，用分段线性插值法求x＝0.2的近似值。x0.100.150.250.30e－x0.9048370.8607080.7788010.740818解用分段线性插值，先求基函数。所求分段线性插值函数为所以，e－0.2＝P(0.2)＝－0.81907×0.2＋0.983569＝0.819755例5已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。xkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5n＝5。a0，a1满足的法方程组是解得a0＝2.45，a1＝1.25。所求拟合直线方程为y＝2.45＋1.25x例61.设选择填空题y＝f(x)，只要x0，x1，x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)＝yk(k＝0，1，2)的f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的数值分析讲义8解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过a0是待定数。P(xk)＝yk，即2次的。设P(x)＝a2x2＋a1x＋a0，其中a2，a1，这是关于a2，a1，a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式所以，不超过2次的多项式是唯一的。2.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足(A)初始值y0＝0(B)一阶均差为0(C)二阶均差为0(D)三阶均差为0(),则P(x)是不超过一次多项式。答案：(C)解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x－x0)它是不超过一次的多项式。3.拉格朗日插值多项式的余项是()，牛顿插值多项式的余项是()(A)f[x，x0，x1，x2，⋯，xn](x－x1)(x－x2)⋯(x－xn－1)(x－xn)(C)f[x，x0，x1，x2，⋯，xn](x－x0)(x－x1)(x－x2)⋯(x－xn－1)(x－xn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。数据拟合的直线方程为y＝a0＋a1x，如果记那么系数a0，a1满足的方程组是()(A)(B)(C)(D)答案：(B)解答：因为法方程组为由第1个方程得到，将其代入第2个方程得到整理得故(B)正确。三、练习题1.已知函数y＝f(x)，过点(2，5)，(5，9)，那么f(x)的线性插值多项式的基函数为2.过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x)＝。3.已知多项式P(x)，过点(0，0)，(2，8)，(4，64)，(11，1331)，(15，3375)，它的1，一阶，二阶均差均不为0，那么P(x)是()(A)二次多项式(B)不超过二次的多项式(C)三次多项式(D)四次多项式4.已知y＝f(x)的均差，，，。那么f[x4，x2，x0]＝()。3阶均差为常数(A)5(B)9(C)14(D)85.求数据拟合的直线方程y＝a0＋a1x的系数a0，a1是使最小。求过这三个点(0，1)，(1，2)，(2，3)的拉格朗日插值多项式。7.构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。8.设l0(x)是以n＋1个互异点x0，x1，x2，⋯，xn为节点的格朗日插值基函数数值分析讲义9试证明：已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。x123y2412y￠1－1已知数据对(7，3.1)，(8，4.9)，(9，5.3)，(10，5.8)，(11，6.1)，(12，6.4)，(13，5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。四、练习题答案1.2.3.C4.B5.6.x＋1给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。N4(x)＝0.41075＋1.11600(x－0.40)＋0.28000(x－0.40)(x－0.55)0.19733(x－0.40)(x－0.55)(x－0.65)0.03134(x－0.40)(x－0.55)(x－0.65)(x－0.80)将x＝0.596代入牛顿多项式N4(x)中，得到：f(0.596)≈N(0.596)＝0.631928.提示：求l0(x)的牛顿插值多项式。9.y＝－0.145x2＋3.324x－12.794第4章数值积分与微分一、重点内容1.m次代数精度求积公式对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立，而对某一个m＋1次代数多项式不成立。牛顿――科茨求积公式：截断误差(1)科茨系数：(k＝0，1，2，⋯，n)，有两条性质。(2)牛顿――科茨求积公式的求积系数：Ak＝(k＝0，1，2，⋯，n)常见牛顿――科茨求积公式梯形公式截断误差：R1[f]＝复化梯形公式截断误差：，M2＝抛物线公式复化抛物线公式截断误差：，科茨公式3．高斯――勒让德求积公式，数值分析讲义10节点为的零点(高斯点)其余项：微分公式(1)等距节点两点求导公式：(k＝0，1，2，⋯，n－1)(2)等距节点三点求导公式：(k＝1，2，⋯，n－1)二、实例例1试确定求积公式的代数精度。[依定义，对xk(k＝0，1，2，3，⋯)，找公式精确成立的k数值]解当f(x)取1，x，x2，⋯计算求积公式何时精确成立。取f(x)＝1，有左边＝，右边＝取f(x)＝x，有左边＝，右边＝取f(x)＝x2，有左边＝，右边＝取f(x)＝x3，有左边＝，右边＝取f(x)＝x4，有左边＝，右边＝当k≤3时求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算定积分(计算结果取5位有效数字)(1)用梯形公式计算用抛物线公式(3)用科茨公式系数为如果要求精确到10－5，用复化抛物线公式，截断误差为，，，，N≥2只需把[0.5，1]4等分，分点为0.5，0.625，0.75，0.875，1数值分析讲义11例3用三点高斯――勒让德求积公式计算积分[高斯型求积公式只能计算[－1，1]]上的定积分]解做变量替换，查表得节点±0.774596669和0；系数分别为0.5555555556和0.8888888889注：该积分准确到小数点后七位是0.9460831，可见高斯型求积公式的精度是很高的。教材的第12章12.2节，用多种方法计算过该积分，它们的精度请读者自行比较。例4用三点公式计算在x＝1.0，1.1，1.2处的导数值。已知函数值f(1.0)＝0.250000，f(1.1)＝0.226757，f(1.2)＝0.206612解三点导数公式为k＝1，2，3，⋯，n－1本例取x0＝1.0，x1＝1.1，x2＝1.2，y0＝0.250000，y1＝0.226757，y2＝0.206612，h＝0.1。于是有计算例5选择填空题1.牛顿――科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是。解答：牛顿――科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。2.如果用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差的绝对值不超过0.5×10－4，试问n≥()(A)41(B)42(C)43(D)40答案：(A)解答；复化的梯形公式的截断误差中，故n＝40.8，取n≥41。故选择(A)。3.已知n＝3时，科茨系数，那么＝答案：1/8解答：由科茨系数的归一性质，三、练习题1.试确定求积公式的待定参数，使求积公式≈A0f(0)＋A1f(1)＋A2f(2)的代数精度尽可能的高。2.用复化抛物线公式计算定积分。取n＝4，保留4位有效数字。试用四点(n＝3)高斯――勒让德求积公式计算积分已知条件见例4。用两点求导公式计算f￠(1.0)，f￠(1.1)。5.若用复化抛物线公式计算积分，要求截断误差的绝对值不超过0.5×10－4，试问n≥()(A)1(B)2(C)4(D)36．当n＝6时，＝()7.用三点高斯――勒让德求积公式计算积分，具有代数精度的。四、练习题答案数值分析讲义121.A0＝A2＝1/3，A1＝4/32.0.11093.3.1416244.0.23243；0.201455.(B)6.(D)7.5次第13章方程求根一、重点内容1.二分法:设方程f(x)＝0在区间[a，b]内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：x*≈xn=(a0＝a，b0＝b)，n＝0，1，2，⋯有误差估计式：?x*－xn?≤，n＝0，1，2，⋯二分区间次数：。简单迭代法:若方程f(x)＝0表成x＝j(x)，于是有迭代格式：xn＝j(xn－1)（n＝1，2，⋯）x*≈xn若存在0＜l＜1,|j(x)|￠l,在￡区间[a,b]内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。3.选初始值牛顿法:用切线与x轴的交点，逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为（n＝1，2，⋯）x0满足f(x0)f2(x0)＞0，迭代解数列一定收敛。4.弦截法:用两点连线与x轴交点逼近曲线f(x)与x轴的交点。迭代公式为(n＝1，2，⋯)二、实例例1证明方程1－x－sinx＝0在区间[0，1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx，f(0)＝1＞0，f(1)＝－sin1＜0f(x)＝1－x－sinx＝0在[0，1]内有根。又￠(x)＝－1－cosx＜0(x?[0，1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。给定误差限e＝0.5×10－4，有只要取n＝14。例2用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根。计算过程保留4位小数。[分析]容易判断[1，2]是方程的有根区间。若建立迭代格式，(x∈(1，2))，此时迭代发散。建立迭代格式：，(x∈(1，2))，此时迭代收敛。解建立迭代格式(x∈(1，2))，取初始值x0＝1数值分析讲义13取例3试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过10－6。[分析]首先建立迭代格式。确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过10－6。解令，f(x)＝x3－a＝0，求x的值。牛顿迭代格式为(k＝0，1，⋯)迭代误差不超过10－6，计算结果应保留小数点后6位。当x＝7或8时，x3＝343或512，，而，取x0＝8，有|x1－x2|＝0.038122|x2－x3|＝0.000196于是，取例4用弦截法求方程x3－x2－1＝0在x＝1.5附近的根。计算中保留4位小数点。[分析]先确定有根区间。再代公式。解设f(x)＝x3―x2―1，因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝3＞0，所以[1，2]为f(x)＝0的有根区间。取x0＝1，x1＝2。迭代格式：，(n＝1，2，⋯)列表计算如下：nxnxn－1f(xn)f(xn－1)xn＋1f(xn＋1)1234567891021.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.465612222数值分析讲义14222221.465530.60940.28630.11770.04570.01740.00660.00240.00100.00030.0001－1333333333－0.00031.251.37661.43091.45241.46061.46371.46491.46531.46551.46561.4656－0.60940.28630.11770.04570.01740.00660.00240.00100.0003数值分析讲义150.0001由于|x12－x11|＜0.0001，故x﹡≈x12＝1.4656例4选择填空题1.设函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足，则方程f(x)＝0在区间[a，b]一定有实根。答案：f(a)f(b)＜0解答：因为f(x)在区间[a，b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)＝0，故f(x)＝0一定有根。2.用简单迭代法求方程f(x)＝0的实根，把方程f(x)＝0表成x＝j(x)，则f(x)＝0的根是()(A)y＝x与y＝j(x)的交点(B)y＝x与y＝j(x)交点的横坐标(C)y＝x与x轴的交点的横坐标(D)y＝j(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)＝0表成x＝j(x)，满足x＝j(x)的x是方程的解，它正是y＝x与y＝j(x)的交点的横坐标。为求方程x3―x2―1＝0在区间[1.3，1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中，，故迭代发散。在(B)中，，故迭代收敛。在(C)中，，，故迭代收敛。在(D)中，类似证明，迭代收敛。4．牛顿切线法是用曲线f(x)上的法是用曲线f(x)上的与与x轴的交点的横坐标逐步逼近x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解。f(x)＝0的解；而弦截答案：点的切线；两点的连线解答：见它们的公式推导。三、练习题1.用二分法求方程f(x)＝0在区间[a，b]内的根(A)b－a≤e(B)|f(x)|≤exn，已知误差限e，确定二分的次数n是使()(C)|x*－xn|≤e(D)|x*－xn|≤b－a2.设方程f(x)＝x－4＋2x＝0，在区间[1，2]上满足根。建立迭代公式x＝4－2x＝j(x)，因为，所以f(x)＝0，此迭代公式发散。在区间[1，2]内有3.牛顿切线法求解方程f(x)＝0的近似根，若初始值(A)＜0(B)＞0(C)≤0(D)≥0x0满足()，则解的迭代数列一定收敛。4.设函数f(x)区间[a，b]内有二阶连续导数，且f(a)f(b)＜0，当时，则用弦截法产生的数值分析讲义16解数列收敛到方程f(x)＝0的根。5.用二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1.0，1.5]内的实根，要求准确到小数点后第2位。试用牛顿切线法导出下列各式的迭代格式：(1)不使用除法运算；(2)不使用开方和除法运算。四、练习题答案1.(C)2.f(1)＜0，f(2)＞0；>1(B)f(x)￠≠01.32(1)xn＋1＝2xn－cxn2，(2)xn＋1＝1.5xn－0.5cxn3第8章常微分方程的数值解法一、重点内容欧拉公式：(k＝0，1，2，⋯，n－1)局部截断误差是O(h2)。改进欧拉公式：或表示成：平均形式：局部截断误差是O(h3)。四阶龙格――库塔法公式：其中k1＝f(xk，yk)；k2＝f(xk+0.5h，yk+0.5hk1)；k3＝f(xk+0.5h，yk+0.5hk2)；k4＝f(xk+h，yk+hk3)，局部截断误差是O(h5)。二、实例例1用欧拉法解初值问题取步长h＝0.2。计算过程保留4位小数。解h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式＝0.2yk(4－xkyk)(k＝0，1，2)当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有y(0.6)≈y3＝0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.4613例2用欧拉预报－校正公式求解初值问题取步长h＝0.2，计算y(1.2)，y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位。解步长h＝0.2，此时f(x，y)＝－y－y2sinx欧拉预报－校正公式为：有迭代格式：当k＝0，x0＝1，y0＝1时，x1＝1.2，有数值分析讲义17y0(0.8－0.2y0sinx0)＝1×(0.8－0.2×1sin1)＝0.63171y(1.2)≈y11×(0.9－0.1×1×sin1)－0.1(0.63171＋0.631712sin1.2)＝0.71549当k＝1，x1＝1.2，y1＝0.71549时，x2＝1.4，有y1(0.8－0.2y1sinx1)＝0.71549×(0.8－0.2×0.71549sin1.2)0.47697y(1.4)≈y20.71549×(0.9－0.1×0.71549×sin1.2)0.1(0.47697＋0.476972sin1.4)0.52611例3写出用四阶龙格――库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h＝0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。解此处f(x，y)＝8－3y，四阶龙格――库塔法公式为其中k1＝f(xk，yk)；k2＝f(xk+0.5h，yk+0.5hk1)；k3＝f(xk+0.5h，yk+0.5hk2)；k4＝f(xk+h，yk+hk3)本例计算公式为：其中k1＝8－3yk；k2＝5.6－2.1yk；k3＝6.32－2.37yk；k4＝4.208＋1.578yk＝1.2016＋0.5494yk(k＝0，1，2，⋯)当x0＝0，y0＝2，y(0.2)≈y1＝1.2016＋0.5494y0＝1.2016＋0.5494×2＝2.3004y(0.4)≈y2＝1.2016＋0.5494y1＝1.2016＋0.5494×2.3004＝2.4654例4对初值问题，y(0)＝1，证明用梯形公式求得的近似解为并证明当步长h?0时，yn?e－x证明解初值问题的梯形公式为f(x，y)＝－y∴整理成显式反复迭代，得到∵y0＝1∴若x＞0，为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故x＝nh，有数值分析讲义18例5选择填空题：取步长h＝0.1，用欧拉法求解初值问题的计算公式是答案：，k＝0，1，2，⋯，y0＝1解答：欧拉法的公式(k＝0，1，2，⋯，n－1)此处，迭代公式为k＝0，1，2，⋯，y0＝1改进欧拉法的平均形式的公式是()(B)(D)答案：(D)解答：见改进欧拉法平均形式公式。三、练习题1.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是()，改进欧拉法的局部截断误差是()；四阶龙格――库塔法的局部截断误差是()(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)改进欧拉预报－校正公式是设四阶龙格――库塔法公式为其中k1＝f(xk，yk)；k2＝f(xk+0.5，yk+0.5hk1)；k3＝f(xk+0.5，yk+0.5hk2)；k4＝f(xk+h，yk+hk3)取步长h＝0.3，用四阶龙格――库塔法求解初值问题的计算公式是。取步长h＝0.1，用欧拉法求解初值问题试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题的计算公式，并取步长h＝0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过10－5。对于初值问题试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格――库塔法分别计算y(0.2)，y(0.4)的近似值。用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x＝0.2，0.4，0.6处的近似值。四、练习题答案(A)，(B)，(D)；3.0.2591625＋0.7408375yk(k＝0，1，2，⋯)数值分析讲义19提示：其中k1＝1－yk；k2＝0.85(1－yk)；k3＝0.8725(1－yk)；k4＝0.73825(1－yk)＝0.2591625＋0.7408375yk(k＝0，1，2，⋯)4.y1＝1，y2＝1.005000，y3＝1.015050，y4＝1.030276，y5＝1.050882，y6＝1.077154，y7＝1.109469，y8＝1.148300，y9＝1.194232，y10＝1.2479725.计算公式为(k＝0，1，2，⋯)∴y(0.2)≈y26.欧拉法：y(0.2)≈1.00000；y(0.4)≈1.08000欧拉预报－校正公式：y(0.2)≈1.02084；y(0.4)≈1.04240四阶龙格――库塔法：y(0.2)≈1.002673；y(0.4)≈1.0217987.yp＝0，yc＝0.04，y1＝0.02；yp＝0.056，yc＝0.0888，y2＝0.0724；yp＝0.13792，yc＝0.164816，y3＝0.151368