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(通用版)高考数学选填考点压轴题型45《数列通项结构的应用》(含答案详解)

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(通用版)高考数学选填考点压轴题型45《数列通项结构的应用》(含答案详解)题型45数列通项结构的应用【方法点拨】1.数列{an}是等差数列⇔an=pn+q(p,q为常数).2.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列,且其首项为a1,公差为{an}公差的eq\f(1,2).4.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为.5.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若,则.【典型题示例】例...

(通用版)高考数学选填考点压轴题型45《数列通项结构的应用》(含答案详解)
题型45数列通项结构的应用【方法点拨】1.数列{an}是等差数列⇔an=pn+q(p,q为常数).2.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列,且其首项为a1,公差为{an}公差的eq\f(1,2).4.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为.5.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若,则.【典型题示例】例1是公差为2的等差数列的前n项和,若数列也是等差数列,则________.【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】或3【分析】用特殊值法,也可直接抓住等差数列的结构特征解题.【解析一】(特殊值法)由题意,∵数列是等差数列∴,,解得或,时,,时,,均为的一次函数,数列是等差数列,故的值为-1或3.【解析一】(特殊值法)由题意,∵数列是等差数列∴必为关于的一次式,即是完全平方式∴解之得或(下同解法一).例2已知是首项为2,公比为的等比数列,且的前项和为,若也为等比数列,则.【答案】2【解析】因为是首项为2,公比为的等比数列.所以.为等比数列,则也为等比数列.所以,即.点评:等比数列通项的结构特征是:.例3已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是.【答案】5【解析】根据等差数列前项和的公式不难得到:(﹡)(﹡)式是一个关于的一次齐次分式,遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”——即将该分式逆用通分,将它转化为分子为常数,只有分母中含有变量因为所以,要求使得为整数的正整数,只需为的不小于的正约数所以例4已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2014,eq\f(S2014,2014)-eq\f(S2008,2008)=6,则S2020等于________.【答案】2020【解析】由等差数列的性质可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列,设其公差为d,则eq\f(S2014,2014)-eq\f(S2008,2008)=6d=6,∴d=1,且首项为eq\f(S1,1)=-2014.故eq\f(S2016,2016)=eq\f(S1,1)+2015d=-2014+2015=1,∴S2020=1×2020=2020.【巩固训练】1.记等差数列{an}的前n项和为,已知,且数列也为等差数列,则=.2.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22,数列{bn}满足bn=eq\f(Sn,n+c)(其中c≠0),若{bn}为等差数列,则c的值等于________.3.设等比数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有,则的值为________.4.设,分别是等差数列,的前项和,已知,,则.5.已知是等差数列的前项和,若,,则数列的前20项和为.6.已知数列的{an}的前n项和Sn,若{an}和都是等差数列,则的最小值是.【答案与提示】1.【答案】50【解析】设该等差数列的公差为,则由等差数列求和公式得.又因为数列为等差数列,,故.所以.2.【答案】-eq\f(1,2)【解析】 设等差数列{an}的公差为d,且d>0,由等差数列的性质,得a2+a5=a3+a4=22,所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解,所以a3=9,a4=13,易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)×4=4n-3.所以bn=eq\f(Sn,n+c)=eq\f(2n2-n,n+c).法一 (特殊值法)所以b1=eq\f(1,1+c),b2=eq\f(6,2+c),b3=eq\f(15,3+c)(c≠0).令2b2=b1+b3,解得c=-eq\f(1,2).当c=-eq\f(1,2)时,bn=eq\f(2n2-n,n-\f(1,2))=2n,当n≥2时,bn-bn-1=2.故当c=-eq\f(1,2)时,数列{bn}为等差数列.法二 由bn=eq\f(Sn,n+c)=eq\f(\f(n(1+4n-3),2),n+c)=eq\f(2n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n-\f(1,2))),n+c),∵c≠0,∴可令c=-eq\f(1,2),得到bn=2n.∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),∴数列{bn}是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c=-eq\f(1,2),使数列{bn}也为等差数列.3.【答案】9【解析】联想等比数列的前n项和的结构特征,可知:,,且所以.4.【答案】【提示】因为,所以.5.【答案】55【解析】由等差数列的性质得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列,设,其公差为d且,,所以,所以的前20项和即为的前20项和,故为.6.【答案】21【解析】设该等差数列的公差为,则由等差数列求和公式得.又因为数列为等差数列,,故.所以,当且仅当时,“=”成立.所以的最小值是21.
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分类:高中数学
上传时间:2022-08-07
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