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(全国I卷)2019届高三数学五省优创名校联考试题-理

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(全国I卷)2019届高三数学五省优创名校联考试题-理PAGE/NUMPAGES2018~2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学〔理科〕第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合M={x|3x2-13x-10<0}和N={x|x=2k,k∈Z}的关系的韦恩〔Venn〕图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有A.1个B.2个C.3个D.无穷个2.A.-4B.4C.-4iD.4i3.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对...

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PAGE/NUMPAGES2018~2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学〔理科〕第Ⅰ卷一、选择 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合M={x|3x2-13x-10<0}和N={x|x=2k,k∈Z}的关系的韦恩〔Venn〕图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有A.1个B.2个C.3个D.无穷个2.A.-4B.4C.-4iD.4i3.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是A.2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件B.2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月最高C.从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D.从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长4.设x,y满足约束条件,则的取值范围是A.〔-∞,-8]∪[1,+∞〕B.〔-∞,-10]∪[-1,+∞〕C.[-8,1]D.[-10,-1]5.某几何体的三视图如图所示,其中,正视图中的曲线为圆弧,则该几何体的体积为A.B.64-4πC.64-6πD.64-8π6.有一程序框图如图所示,要求运行后输出的值为大于1000的最小数值,则在空白的判断框内可以填入的是A.i<6B.i<7C.i<8D.i<97.在直角坐标系xOy中,F是椭圆C:〔a>b>0〕的左焦点,A,B分别为左、右顶点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,连接PB交y轴于点E,连接AE交PQ于点M,若M是线段PF的中点,则椭圆C的离心率为A.B.C.D.8.已知f〔x〕为定义在R上的奇函数,g〔x〕=f〔x〕-x,且当x∈〔-∞,0]时,g〔x〕单调递增,则不等式f〔2x-1〕-f〔x+2〕≥x-3的解集为A.〔3,+∞〕B.[3,+∞〕C.〔-∞,3]D.〔-∞,3〕9.函数f〔x〕=ln|x|+x2-x的图象大致为A.B.C.D.10.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里,每个格子填一个数字,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总是1的个数不少于0的个数,则这样填法的概率为A.B.C.D.11.已知函数f〔x〕=3sin〔ωx+φ〕〔ω>0,0<φ<π〕,,对任意x∈R恒有,且在区间〔,〕上有且只有一个x1使f〔x1〕=3,则ω的最大值为A.B.C.D.12.设函数f〔x〕在定义域〔0,+∞〕上是单调函数,且,f[f〔x〕-ex+x]=e.若不等式f〔x〕+f′〔x〕≥ax对x∈〔0,+∞〕恒成立,则a的取值范围是A.〔-∞,e-2]B.〔-∞,e-1]C.〔-∞,2e-3]D.〔-∞,2e-1]第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题.将答案填在答题卡中的横线上.13.已知单位向量a,b的夹角为60°,则.14.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6,AB=4,点D为棱BB1的中点,则四棱锥C—A1ABD的表面积是________.15.在〔x2-2x-3〕4的展开式中,含x6的项的系数是________.16.已知双曲线C:〔a>0,b>0〕,圆M:.若双曲线C的一条渐近线与圆M相切,则当取得最大值时,C的实轴长为________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.〔一〕必考题.17.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.〔1〕求{an}的通项公式;〔2〕若数列{bn}满足,求{bn}的前n项和Tn.18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.〔1〕求B的大小;〔2〕若b=8,a>c,且△ABC的面积为,求a.19.如图所示,在四棱锥S—ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,∠ADC=90°,AD=AS=2,AB=1,CD=3,且.〔1〕若,证明:BE⊥CD;〔2〕若,求直线BE与平面SBD所成角的正弦值.20.在直角坐标系xOy中,动圆P与圆Q:〔x-2〕2+y2=1外切,且圆P与直线x=-1相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C.〔1〕求曲线C的轨迹方程;〔2〕设过定点S〔-2,0〕的动直线l与曲线C交于A,B两点,试问:在曲线C上是否存在点M〔与A,B两点相异〕,当直线MA,MB的斜率存在时,直线MA,MB的斜率之和为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.21.已知函数f〔x〕=ex+ax2,g〔x〕=x+blnx.若曲线y=f〔x〕在点〔1,f〔1〕〕处的切线与曲线y=g〔x〕在点〔1,g〔1〕〕处的切线相交于点〔0,1〕.〔1〕求a,b的值;〔2〕求函数g〔x〕的最小值;〔3〕证明:当x>0时,f〔x〕+xg〔x〕≥〔e-1〕x+1.〔二〕选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为〔t为参数〕,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,其左焦点F在直线l上.〔1〕若直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|+|FB|的值;〔2〕求椭圆C的内接矩形面积的最大值.23.[选修4—5:不等式选讲]已知函数f〔x〕=|x+2|-|ax-2|.〔1〕当a=2时,求不等式f〔x〕≥2x+1的解集;〔2〕若不等式f〔x〕>x-2对x∈〔0,2〕恒成立,求a的取值范围.2018~2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案〔理科〕1.C2.D3.D4.A5.B6.B7.C8.B9.C10.B11.C12.D13.114.15.1216.17.解:〔1〕由条件知Sn=nan+1-n2-n,①当n=1时,a2-a1=2;当n≥2时,Sn-1=〔n-1〕an-〔n-1〕2-〔n-1〕,②①-②得an=nan+1-〔n-1〕an-2n,整理得an+1-an=2.综上可知,数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列,从而得an=2n+1.〔2〕由〔1〕得,所以.18.解:〔1〕由得,所以,即,所以有,因为C∈〔0,π〕,所以sinC>0,所以,即,所以.又0<B<π,所以,所以,即.〔2〕因为,所以ac=12.又b2=a2+c2-2accosB=〔a+c〕2-3ac=〔a+c〕2-36=64,所以a+c=10,把c=10-a代入到ac=12〔a>c〕中,得.19.〔1〕证明:因为,所以,在线段CD上取一点F使,连接EF,BF,则EF∥SD且DF=1.因为AB=1,AB∥CD,∠ADC=90°,所以四边形ABFD为矩形,所以CD⊥BF.又SA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,所以SA⊥CD,AD⊥CD.因为AD∩SA=A,所以CD⊥平面SAD.所以CD⊥SD,从而CD⊥EF.因为BF∩EF=F,所以CD⊥平面BEF.又BE平面BEF,所以CD⊥BE.〔2〕解:以A为原点,的正方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz,则A〔0,0,0〕,B〔0,1,0〕,D〔2,0,0〕,S〔0,0,2〕,C〔2,3,0〕,所以,,.设n=〔x,y,z〕为平面SBD的法向量,则,所以,令z=1,得n=〔1,2,1〕.设直线BE与平面SBD所成的角为θ,则.20.解:〔1〕设P〔x,y〕,圆P的半径为r,因为动圆P与圆Q:〔x-2〕2+y2=1外切,所以,①又动圆P与直线x=-1相切,所以r=x+1,②由①②消去r得y2=8x,所以曲线C的轨迹方程为y2=8x.〔2〕假设存在曲线C上的点M满足题设条件,不妨设M〔x0,y0〕,A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕,则,,,,,所以,③显然动直线l的斜率存在且非零,设l:x=ty-2,联立方程组,消去x得y2-8ty+16=0,由Δ>0得t>1或t<-1,所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,代入③式得,令〔m为常数〕,整理得,④因为④式对任意t∈〔-∞,-1〕∪〔1,+∞〕恒成立,所以,所以或,即M〔2,4〕或M〔2,-4〕,即存在曲线C上的点M〔2,4〕或M〔2,-4〕满足题意.21.〔1〕解:因为f′〔x〕=ex+2ax,所以f′〔1〕=e+2a,切点为〔1,e+a〕,所以切线方程为y=〔e+2a〕〔x-1〕+〔e+a〕,因为该切线过点〔0,1〕,所以a=-1.又,g′〔1〕=1+b,切点为〔1,1〕,所以切线方程为y=〔1+b〕〔x-1〕+1,同理可得b=-1.〔2〕解:由〔1〕知,g〔x〕=x-lnx,,所以当0<x<1时,g′〔x〕<0;当x>1时,g′〔x〕>0,所以当x=1时,g〔x〕取极小值,同时也是最小值,即g〔x〕min=g〔1〕=1.〔3〕证明:由〔1〕知,曲线y=f〔x〕在点〔1,f〔1〕〕处的切线方程为y=〔e-2〕x+1.下面证明:当x>0时,f〔x〕≥〔e-2〕x+1.设h〔x〕=f〔x〕-〔e-2〕x-1,则h′〔x〕=ex-2x-〔e-2〕,再设k〔x〕=h′〔x〕,则k′〔x〕=ex-2,所以h′〔x〕在〔0,ln2〕上单调递减,在〔ln2,+∞〕上单调递增.又因为h′〔0〕=3-e,h′〔1〕=0,0<<ln2<1,所以h′〔ln2〕<0,所以存在x0∈〔0,1〕,使得h′〔x0〕=0,所以,当x∈〔0,x0〕∪〔1,+∞〕时,h′〔x〕>0;当x∈〔x0,1〕时,h′〔x〕<0.故h〔x〕在〔0,x0〕上单调递增,在〔x0,1〕上单调递减,在〔1,+∞〕上单调递增.又因为h〔0〕=h〔1〕=0,所以h〔x〕=f〔x〕-〔e-2〕x-1≥0,当且仅当x=1时取等号,所以ex-〔e-2〕x-1≥x2.由于x>0,所以.又由〔2〕知,x-lnx≥1,当且仅当x=1时取等号,所以,,所以ex-〔e-2〕x-1≥x〔1+lnx〕,即ex-x2+x〔x-lnx〕≥〔e-1〕x+1,即f〔x〕+xg〔x〕≥〔e-1〕x+1.22.解:〔1〕将代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,得x2+3y2=48,即,因为c2=48-16=32,所以F的坐标为〔,0〕,又因为F在直线l上,所以.把直线l的参数方程代入x2+3y2=48,化简得t2-4t-8=0,所以t1+t2=4,t1t2=-8,所以.〔2〕由椭圆C的方程,可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为〔,4sinθ〕〔〕,所以内接矩形的面积,当时,面积S取得最大值.23.解:〔1〕当a=2时,,当x≤-2时,由x-4≥2x+1,解得x≤-5;当-2<x<1时,由3x≥2x+1,解得x∈∅;当x≥1时,由-x+4≥2x+1,解得x=1.综上可得,原不等式的解集为{x|x≤-5或x=1}.〔2〕因为x∈〔0,2〕,所以f〔x〕>x-2等价于|ax-2|<4,即等价于,所以由题设得在x∈〔0,2〕上恒成立,又由x∈〔0,2〕,可知,,所以-1≤a≤3,即a的取值范围为[-1,3].
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