条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、背景一个随机事件虫的概率P（刈，确切地说，是指在某些给定的条件下，事件虫发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后，该事件的概率一般也随之变化•于是，人们自然提出：如果增加某个条件之后，事件虫的概率会怎样变化的?它与原来的概率P（Q之间有什么关系？显然这类现象是常有的.［例1］设有一群共"人，其中必个女性,®个是色盲患者.®个色盲患者中女性占®个.如果虫二｛从中任选一个是色盲｝,/二｛从中任选一个是女性｝，此戸（&=塑,尸（g）=—,=竺时，'NN如果对选取规则虫附加条件：只在女性中任选一位，换一句话说，衣发生之后，虫发生的概率（暂且记为尸（虫IQ）自然是5M■［例2］将一枚硬币抛掷，观察其出现正反面的情况.设事件虫为“两次掷出同一面”，事件必为“至少有一次为正面H”•现在来求已知事件占已经发生的条件下事件虫发生的概率.这里，样本空间Q珂曲申我出TI\A=⑴比.易知此属于古典概型问题.已知事件衣已发生,有了这一信息，知道灯不可能发生，即知试验所有可能结果所成的集合就是丘.8中共有3个元素，其中只有股属于虫.戸15）=1于是，在必发生的条件下，虫发生的概率为3对于例1,已知审S）诗戸（心诗容易验证在/发生的条件下，虫发生的概率对于例2,已知P（Q=1,P⑻=訂（屈）=扛（虫|5）=1乙I1,2f容易验证/发生的条件下，虫发生的概率2=尸(砂)对一般古典概型，容易验证：只要则在必发生的条件下，虫发生的概率，P(A|B)=P(AB)陀)总是成立的.在儿何概率场合，如果向平面上单位正方形G内等可能任投一点，则当必发生的条件下，这时虫发生的概率为P(A|5)=P[AS)曲此可知对上述的两个等可能性的概率模型，总有戸3)成立.其实,还可以验证，这个关系式对频率也是成立的.于是，从这些共性中得到启发，引入下面的一般定义.二、条件概率若⑸,尺戸)是一个概率空间，若戸3)>0,则对于任意的矢F,称|5)=F(血)陀)为已知事件必发生的条件下，事件虫发生的条件概率.[例3]一盒子中装有4只产品，其中有3只是一等品，1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只，作不放回抽样,设事件£为“第二次取到的是一等品”，事件衣为“第一次取到的是一等品”，试求条件概率尸(虫解：易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以('")
表
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示第一次、第二次分别取到笫$号、第丿号产品.试验E(取产品两次，记录其号码)的样本空间为G二{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}必二{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}的二{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}山条件概率公式得,|P)=P{B)2E12[例4]一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的）解:据题意样本空间为4｛（男，女），（男，男），（女,女），（女，男）｝丘二｛已知有一个是女孩｝二｛（男，女），（女,女），（女,男）｝虫二（另一个小孩也是女孩｝二｛（女，女）｝于是，所求概率为F(血)=4=2P®234条件概率的性质（1）非负性:对任意的处尺尸（纠恥°（2）
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性：（3）可列可加性:若……为一列两两不相交的事件，有尸(力&IE}=ImJ»-L证明：⑴因为A亡FWABuB,所以0£P（AB）
°,依条件概率的定义，上式的右边坐如竺辺P(百爲…4)五、乘法公式的应用例子［例5］设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破，第二次落下时打破的概率为7/10,若前两次时未打破，第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.解：以心21忆3表示事件“透镜第E次落下时打破”，以占表示事件“透镜三次落下而未打破”・因为E=£九4,故有=p(4)^(414)^(4144)=(14)(1->-^)=236［例6］设袋中装有厂只红球,<只口球.每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入么只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解：以421234.表示事件“笫i次取到红球”，见凡分别表示事件第三、四次取到白球•所求概率为尸的)=丄,F(耳出尸丄乞厂十fr+i+q尸(41也)f（瓦|AAA）==F（4）F41A）m114AA）rr^att+ar+ir+i+ar+i+2a+3a[例7](卜里耶模型)罐中有b只黑球,厂只红球，随机地取一只之后，把原球放回，并加进与抽出的球同色之球匕只，再摸笫二次，这样下去共摸卅次.问前®次出现黑球，后面叫次出现红球概率是多少？解：以4"12…心表示事件“第k次取到黑球”，=表示事件“第刊十丿次取到红球”，则D亠（％_l）cb+（冷一l）c;+厂…企）代％214…4田)r十c6+（«L+1）c十r山一般乘法公式,W4)〃⑷P(&⑷戸(如4理)…戸⑷14…4R^A+ilA-兔)卩(4申14…％+J…14…4-1)=hb-l)ccr乃■*■(/]_l)o+厂rr+cr+(«2-l)c+r-^+(«!+l)c+r占+(总_+厂1.在例7中，最后
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
与黑球和红球出现的次数有关，而与出现的顺序无关・2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.当^=°时,它是有放回的摸球模型.当c=T时,它是不放回的摸球模型.思考题：在卜里耶模型中，取"次，问正好出现色次红球概率是多少?[例8]一批产品共100件，对其进行抽样调查，整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？解:设4(—1234耳表示被检查的第七件产品是正品.虫表示该批产品被接收•则乂=44444且9594F(4)=一,F(4I4)=—100即裁99939291二尸（&）尸（如4）戸（&出坨）?（4l444）m14444）9594939291门冲==0.7710099989796因此，该批产品被拒绝接收的概率是0・23。作业：P55EX29,30,31全概率公式设4月是两个事件，那么虫可以表示为A=AB\JAB显然,肋门廳=0,如果＞°，则F(&=F(卫E)+P(A8)=|芳)戸(£)+戸(乂|豆)戸(念)[例1]1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出的红球的概率是多少？解:令虫：最后从2号箱中取出的是红球；占：从1号箱中取出的是红球.戸3)42^42-=亍戸3)=1-戸3)P(A|B)=3+18+14-=-,P(A\^=山上面的公式,P(A)=十P(AB)=戸(虫*)戸(£)+戸(虫|歹)戸@)41311=—*—+—*—=—93927上例采用的方法是概率论中颇为常用的方法，为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件之并，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性,得到最终结果，这一方法的一般化就是所谓的全概率公式.设G为试验左的样本空间，虫为超的事件，直』2,…，氏为左的一组事件.若⑴氏巧=0,2丿厶丿=1,2,…少(2)5lU52IJ--IJ^=Q则称场易…禺为样本空间。的一个分割.若耳眉2,…，览为样本空间。的一个分割，那么，对每一次试验，事件耳眉2,…，乞必有一个且仅有一个发生.［例2］设试验超为“掷一颗骰子观察其点数”•它的样本空间G=｛123,4,5,6｝.殳的_组事件耳二｛1⑵』2=(3,4)?55=(5,6)是样本空间G的一个分割.而事件组耳珂123厲=｛34｝』广｛5,6｝不是样本空间G的一个分割，因为耳—⑶［例3］甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设样本空间G二｛无人命中飞机，一人命中飞机,二人命中飞机，全命中｝.G的一组事件直二｛三人以下命中飞机｝，屍二｛全命中飞机｝是样本空间G的一个分割.设试验E的样本空间，虫为左的事件，耳眉2,为。的一个分割，且P(吗)>0"12，则上式被称为全概率公式.证明：所以◎二p⑷］U屈山7倡）由假设戸（场）＞3=1,2?--?«,||=0,z,j=l,2,3,--,«,z/所以P（AB.\JAB,\J-\JABJ=F（卫尻）十F（卫鸟）+…+F（隔）山条件概率公式，得戸（妙）Y（$）P（纠盼厂1,2,…/代入上式，即得P（A）=P（_A即+尸⑺场）+…+P⑷』=P（纠即HE）十7（纠爲）P（即十…十P⑺|攻）P（即n=》%&）P（创耳）2-1［例4］甲、乙、丙三人向同一飞机射击.设中、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7.乂设若只有一人射中，E机坠落的概率为0.2,若有二人射中，飞机坠落的概率为0.6,若有三人射中，飞机必坠落.求飞机坠落的概率.解:记虫二｛飞机坠落｝,直二*个人射中飞机｝,厂123耳二（甲射中，乙丙未射中）+（乙射中，甲丙未射中）+（丙射中，甲乙未射中）P（5L）=0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7=0.36戸（$2）=0.6*03*0.7十0.4*05*0.7+0.4*0.5*0.3=0.41P(53)=0.4*0.5*0.7=0.14再由题设，戸⑺I印=°2,PSI心）=0-®叫|鸟円.利用全概率公式，3戸（Q=0.36*0.2+0.41*0.6+0.14*1=0.4582-1［例5］播种用的小麦种子混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.解：设兔二｛从这批种子任选一颗种子是七等种子｝，上"234.虫二｛从这批种子任选一颗，所结出的麦穗含有50颗麦粒以上｝则戸（民）=0.ONP（鸟）=0.015,戸（EJ=0.01,卩（热）=1-0.02-0.015-0.01=0.955戸（乂|印=0.5,P（H|场）=0.口卩（纠耳）=|场）=005,山全概率公式4戸3）=工尸（场）尸的耳）jj=0.955*0.5+0.02*0.15+0.015*0.1+0.01*0.05=0.4825在例题5中，戸（丿）4炙\这对于农业技术人员来说,这个数据是重要的,但对育种专家来说，仅有这个数据是不够的•因为他们更感兴趣的是下面的问题.［例6］在例题5中，问由这批所结出的含有50颗麦粒以上麦穗中是一等、二等种子长出的概率.解:P(^)=0.4825=0.9881F(Afi)_1=0.9芳P(A)P(A)0.4825=0.006P(AB』=F32)P(E|禺)_Q.02S15P(&一KA)0.4825在上面的计算中，事实上建立了一个著名的公式一一Bayes公式.七、贝叶斯公式设试验左的样本空间，虫为占的事件，耳，场，为。的一个分割，且P（吗）＞0"12，则计）=严讯恥）i-1上式称为贝叶斯公式.证明：山条件概率，知和全概率公式辭|&/曲）「汛场讯別②2弘4）£p（2）p的印i-1［例7］某电子设备厂所用的元件是山三家元件厂提供的，根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.&0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机地取一个元件，求它是次品的概率・（2）在仓库中随机地取一个元件，若已知它是次品，为分析此次品出自何厂,需求出此品由三个厂家生产的概率是多少？解:设虫取到的元件是次品，骂表示取到的元件是山第八个厂家生产的.P〈珀=0.侏（场）=0.8,P（53）=0.05,（1）lll全概率公式，戸3）=£尸（即尸（妁马）2J=0.15*0.02+0.80*0.01+0.05*0.03=0.0125（2）由贝叶斯公式，=0.24=0.64汛场）卩04|场）-0.1尸0.02P（A）0.0125刊场）P（虫|鸟）.0.8*0.010.0125P（鸟疋（虫|鸟）尸（&0.05*0.030.0125以上结果表明，这只产品来自第2家工厂的可能性最大.八、贝叶斯方法从这道题中我们看出，“取一个元件”是进行一个试验，那么戸（色）是在试验以前就已经知道的，所以习惯地称它们为先验概率.实际上它是过去已经掌握的生产情况的反映,对试验要出现的结果提供了一定的信息.在这个例子中，试验结果出现次品，这时条件概率HEM）反映了在试验以后，对A发生的来源的各种可能性的大小,通常称为后验概率.如果…几是病人可能患的/2种疾病，在诊断以前先检验与这些疾病有关的某些指标（如体温,血压，口血球等），若病人的某些指标偏离正常值,要问病人患的是哪一种疾病，从概率论的角度考虑，若P（场I①较大，而为了讣算P（场M）,就可以利用上述的贝叶斯公式，并把山过去的病例中得到的先验概率&（色）值代入，也就是医学上所说的发病率，人们常常喜欢找有经验的医生给自己治病，因为过去的经验能帮助医生作出比较准确的诊断，能够更好地做到对症下药，而贝叶斯公式正是利用了经验的知识，山此，读者可以直觉地认识到这个公式的意义.也正因如此，这类方法在过去和现在，都受到人们的普遍重视，并称为贝叶斯方法.［例8］用中胎蛋白法普查肝癌，令°二｛被检验者患肝癌｝力二｛甲胎蛋口检验呈阳性｝3=｛被检验者未患肝癌｝刁=｛屮胎蛋口检验呈阴性｝由资料已知,P3|C）=0.9廿的C）=0.90,乂已知某地居民的肝癌发病率戸（C）=0.0004,在普查中查出一批甲胎蛋口检验呈阳性的人，求这批人中真的患肝癌的概率解：山贝叶斯公式可得,=0.00380.0004*0.95'0.0004*0.95+0.9996*0.1山此可见，经甲胎蛋口检验呈阳性的人群中，其中真正患肝癌的人还是很少的，只占0.003&把陀I占）=0°诬与卫I6=0-95,^10=090对比一下是很有意思的.当已知病人患肝癌或未患肝癌时，甲胎蛋口检验的准确性应该说是比较高的，这从VIC）=OS，F（H|C）=090可以肯定这一点但如果病人患肝癌或未患肝癌时，而要从甲胎蛋口检验结果是否为阳性这一事件出发，来判断病人是否患肝癌，那么它的准确性还是很低的，因为.这个问题看来似乎有点矛盾•一种检验方法准确性很高，但实际使用时准确性很低，到底是怎么一回事？从上述计算中用到的贝叶斯公式，可以得到解释.已知尸（/16=°1是不大的，但是患肝癌的人数毕竟很少，戸（C）=00004,这就使得F（C）F（ZIQ相对很大，从而尸（°1刈很小.那么，上述结果是不是说明甲胎蛋口检验法不能用了呢?完全不是!通常医生总是先采取一些其它简单易行的辅助方法进行检查，当他怀疑某个对象有可能患肝癌时，才建议用甲胎蛋口检验法•这时，肝癌的发病率已经显著地增加了.比方说，在被怀疑的对象中这时这就有相当的准确性了.
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