考研高等数学最后综合大题20例附答案

新浪微博：@考研数学高老师1/122018考研高等数学最后综合大题20例163323230233323302333011.,lim.3111:,lim111226lim111,,2232lim11,,26xxttttabxaxxxbxeattbtetIxtatttottbttottabtbtotabatab确定常数的值,使得解令则233332442332221112633.11221.2.111,2!3!1sin,3!11cos1,2!4!11ln1,23111.2!3.1xaabbexxxoxxxxoxxxxoxxxxxoxxxxox注:对也可使用洛必达法则处理,但略为繁琐；要熟悉以下函数的泰勒公式练习2220ln123,,lim4.:2,3.xxxaxbxababx确定常数的值使得答案新浪微博：@考研数学高老师2/1211211112122.,0,0,0.:1,20,0,3,,,,,,lim.:1,,,.nnnnnnfxabfxfafbfxabfxaxfxaxfafaaaaaaaafafafxabfxabxxaxxb设在上二阶可导,且证明（）在内有唯一的零点,记为；（）；；（）数列收敛于即证明（）由零点定理知在内有零点,若在内有两个零点不妨设由罗01200002000,,0.0,,,0,,0,0.,2,0,,,1,,0,.,xxxfxfxfxabxxfxfxfxxbfbfxfbfxabxafxfxaxfxabfxaxxaf尔定理知,存在使得又则在内单调增加当时因此在上单调增加,与矛盾于是在内有唯一零点,记为.（）若存在使则由零点定理知,在上存在零点这与（）在内有唯一零点矛盾故若存在使1111112111120,,0,,0,00,.3,:,.,:,.nnnnnnnnnnxfxfxxxbfbfxfbfxaxyfxafayfafaxafaxaafayfxafayfafaxafaxaafaaaa由于单调增则于是与矛盾,故（）曲线在点的切线方程为该切线与轴的交点为曲线在点的切线方程为该切线与轴的交点为下面证明1112111111121211112.0,0.0.0,0.0.,,nkkkkkkkkkkkkkkknnafafafafafaaaayfxffafaafafaaaaaafafafafafaaaaffafaaaafafanaaaa由于又曲线是凹的现设（于是）因此对所有的有1,lim,,0,1,.nnxAfAAAfAfxabAfA根据单调有界准则可知且故又根据（）在内有唯一零点可知新浪微博：@考研数学高老师3/1220022222000000ln13.,lim2,,01,0,,,.21ln1132:limlim2,lim.2,xxkxxxxxxxfxxfxFxtfxtdtxxFxxbxbkkbxfxxxoxxfxxfxxxxxtuFxtfxtdtxufuduxfuduuf设为连续函数当时,与是等价无穷小其中为某正整数求值解由知令则022000100022000,1122limlimlim1111312lim21,limlim1,3.166241,xxxxkkkxxxkkxxxxxuduFxxxfuduufuduxfuduxbxbxbkxFxxfxfxkbkbkkxbxbxbFxftdtFxfxxfxx则注:.对的求导公式要熟悉0022001332.lim,01,0,2230,0:10.2+14.0.4121,0,,,xxFxtfxtdtfxfxffxfxfyxxtLtyttLLxy但实际遇到的如本题的一般需要先换元等处理一下才可以求导；由中间过程的根据连续,则易得进而可写曲线在点处的切线方程数一数二已知曲线的方程为（）讨论曲线的凹凸性；（）过点引的切线求切点并写出切线方程00022230000023(.422:11022110020422211,2,3,1.1234ttxttLxxxydyttdxxttdyddydttLdxdtdxdxtttytdytyxdxtxtytt；（）求此切线与对应部分）及轴围成的平面图形的面积解（）（）（）曲线是凸曲线.（）切点为切线为（）令122122100041,0,17,0.1991372134+1.22263ttLxAydxttdt,曲线与轴交于点面积新浪微博：@考研数学高老师4/1212222002220112222223200112222200325.,0.0,0.44101;3311.3411,013434xxxxfxxtdtxtdtxfxxtdtxxxxtdtxtdttxdtxxxxtdtxtdtxxxxfx设求在上的最小值点.解:由定积分的几何意义,知（）当时,当时,2222421,01411,121,1341110,,.28282822:1,1,46,22,24,6.DtxxxfxxxxxfxxDtxyytfttydtft在单调减,在单调增是最小值点注:练习设其中令求在上的最大值答max2222334:6.2316.:1cos12sin0,0.21:1cos12sin,00.21sin12cos12cos2sin21sinsin,21120,0fxxxxxxfxxxxxxfffxxxxxxxxxxxxgxxgxxxgxx案证明证明设其中20000000000110,2211020,200,0.2420,00,00,0,110,0,2211100,0;0,0,0.222xgxggxgxxxxxgxxxfxxxxxxxfxfxxfxfxxfxx在单调减,又存在唯一的使又新浪微博：@考研数学高老师5/122222303020007..:,,,00,,0,.00,31,020,lim,260,0,,0,0,0,xtxtxxxedtxxfxedtxxfxfxffxexffxfxxexxfxxxfxx确定方程的实根个数解令显然是上的奇函数,从而在和上的实根个数相同因此只需讨论上即可又唯一的使得且时,00002222,,0,0,lim0,,,,,.8.2,2,1,004.:2,20.:,0,20,2xxfxfxfxfxxxfxfxffffFxfxfx在上无实根在上有唯一实根所以原方程在上有且只有三个实根注:本题用到奇偶性的结论讨论对称区间根的个数.设在上二阶可导数且又证明,使证明令在和上分1122222211122222121,110202=0202122112020=20201222,2,0004,,fxffffffffffffffffFffFffFffFx别对使用拉格朗日中值定理而在上的最大值必在222211011020,2,20,0,104,0.90,1,,.:0,1,12xxFfffffFfffFFfffxfxxfyfyxdyfxdxfxxfyfyxdyfxdxd内某点处取到,根据费马定理,则,而若则与最大矛盾.设是上的连续函数且求解在两端作上的积分则11100021110000000211001211112222111.22yxyyyyxfyfyxdyfydyfyxdxfydyfudufududfudufudufudufxdx新浪微博：@考研数学高老师6/1200000,,0,00.1020.:1,22222ttttfxyfxxxtyDtDtxtVtVttfxbxDtybVtxxdxdVtxfxdxVttxfxdxtfxdxxfxdxdVfxdxdt10.设在是正值连续函数,由（）及围成图形（）求绕旋转而成的旋转体体积及（）的凹凸区间;（）当（）时,求绕直线旋转而成的旋转体体积解（）取微元022222220000322222200,2,2.111000/,41,tttttftftfxdxdVfttVtdtxxdxdVbdxbfxdxVtbdxbfxdxbfxdxfxdxkgmxyy（）故是凹的.（）取微元.数一数二设一平板浸没在水中且垂直于水面平板的形状为双曲四边形,即平板的图形由双曲线4及直线2111221111:.,/.12114144ymtyhtmsyFgydygyydygy围成长度单位（1）如果平板的上边缘与水面相齐,那么平板一侧所受到的总压力是多少？（2）设水位下降,如果在时刻时水面位于处且水面匀速下降速率为0.01问:当水面下降至平板中位线时,一侧所受到的水压力的下降速率是多少？解:（）平板的上边缘与水面相齐,那么平板一侧所受到的总压力为22112221112151542ln422ln.2222,21212144451521,0.01,00.012ln.422hthththtttdyygyyygyhtyyyFghtydyghtdygydyyFghtdyhthtFg（）水面位于处水压力带入新浪微博：@考研数学高老师7/12112200222200001111122222000000010,1,00,:.2:0,111,.20xxxxxfxffxdxfxdxfxfxfftdtfxftdtdtftdtxftdtxftdtfxdxftdtxdxfxdxfxfft12.设在上具有一阶连续导数且证明证明则所以注:本题难点是想到用牛顿—莱布尼茨公式（222222222.13,,,,,,430,0.:,xbbbaaadtfxfxfxgxdxfxgxdxabzzxyabuxayvxbyzzzzzxyzuvxxyyuvzzzzzzabxuvyu）把与联系起来,还利用了柯西积分不等式:（）.设具有二阶连续偏导数求的值使在变换下将关于的方程化为关于的方程解222222222222222222222222222222222.,14324614301430,1430,2460zzzzvxuuvvzzzzzzzzaabbaabbyuuvvxyuuvvzzzaaababbbuuvvaabbabab；；；带入原方程得222222222211,11,.3314,2324,0,00.122532523,24,3,=24434,0,0ababzfxyzxxyyoxyfzzxyzxyzzxyzxxyxyzyyyyyCzxxyyCyf或.设的全增量（）求的极值；（）求在上的最值；（）求在上的最值.解:由题意知,则从而，又221120,034.32301,,2,0,2,224023250,0,224xxxxyyyyCzxxyyzxxAzBzCzzyyBACAz则（）由得则且是极小值.新浪微博：@考研数学高老师8/1222222232322223202,,3425,2420,250333,40,3,450.4432531225,2,243,450.15.xyLxxLxyxxyyxyLyyLxyxxzzyyzxyzz（）令由得或最小最大（）由（）和（）知,在上的最小值为最大值为计算二重积11sin4241112arctancosarctan2421411arctan2211111,:coscos,sinsin4242ln2tan1,222cossincossinln2lntanln2ln2tan22ln2lntanDDIdxdyDrrxyrdrDyxIddxyrudduu分其中.解:关于对称2121202121211lnln2.216.,0100,01200,003.:10,0,1,00,01xxuufxyyyxyyyyfxyxtfxtdtyyyyfxyCCeyyC设在内连续.（）求初值问题的解；（）求证是初值问题的解；（）求的通解解（）由特征方程得通解由20000000121,11.21112,12000,00.3121xxxxxtsxxsxxxsxxxsxxsxCyxeyxefxtdtefsdsfsdseefsdsyxfxeefsdseefxeefsdsyxeefsdsfxyyfxxyyyCCee（）故在中令,则（）由（）（）可知,通解0.xtfxtdt新浪微博：@考研数学高老师9/12223222223117.24.41,,210,.1:14dydyxxyxxxdxdxyxaxbabxyxuyxyxduyxuxuxdxyxaxbaxxaxbx设微分方程（）已知是上述微分方程的一个解求常数的值；（）选取适当的作变量代换（为（）中所求的函数）,将上述关于的微分方程化为关于的如下微分方程:求及常数，并求原方程的通解解（）将带入原方程222224424244,821484,2,+20420,,1,42xxxxxabyxuxyxuxuyxuxuxuxxuxxxuxxxxuxxxxCexexxxxxe；（）由（）知，带入原微分方程令取其中一个解经计算故原方程在上述变2224422221222224121210,2110,2248,,.xxxxxxxeueuuuuCeCeyCeCeexCC换下化为即达到题目要求,此时于是通解为，从而原微分方程的通解为其中为任意常数新浪微博：@考研数学高老师10/12011111111111118.0,1,341,2,.11,2,,lim42!44133,3.4414142,3,lim4.3nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaanabnbaaxnaabbaabbbbnbbbb数一数三设（）记证明；（）求幂级数的收敛域及和函数.证明:（）（因为2212211111111111111444403331!2limlim0,.1!34!1!1!1!331!nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbanbRannaaaaaSxxSxxSxxxnnnnaxn）（）收敛域为令111210141434341!!340,00,0111,,.55lim0,1,;nnnnnnxxnnnnnnaaxSxxSxSxnnSxSxSxSaSaSxeexaAkaAkaAaa即且注:常数使在数列单调性不易判定或数列不单调情形时可考虑使用上述结论.新浪微博：@考研数学高老师11/121121200011,0119..1,122,21.21:4,2.2sinsin1sin1sin22241nnlnxxfxxxfxnllnxnxnxnxbfxdxfxdxxdxxdxlln数一设（1）将展开为以4为周期的正弦级数,并写出在上的和；（2）求级数的和解（1）以4为周期,所以2展开为正弦级数,11121,2224241cos11cos422,212121421sinsinsin2212,0,11,2,2,11,00,0,21,11,1mnnnmnnmnmmnnnnnnnnmmnxmfxbxmxmmfxxfxxxxx所以1111.421211,sin1.sinsin2122211,.214mmmmmmxmmm（2）以带入上述级数得因于是得新浪微博：@考研数学高老师12/122222222221120.,,,.11231,23,300,1,0400,1,0LCLxyxyPxyQxyxyxyIPdxQdyLxyIPdxQdyCxyyxxyPdxQdyyxxyPdxQdy数一设（）求其中:2取逆时针方向；（）求其中:取逆时针方向；（）讨论在与且时积分是否与路径无关；（）讨论在与且时是否存在原函数,若002222222200021310.23,,1,0,:,1111LDCCCQPLxyDIPdxQdyxyQPxyDxyxyCxyCDIPdxQdyPdxQdyxydxxydy存在并求出原函数.解:（）封闭曲线:2围成的区域不含奇点,则（）封闭曲线:围成的区域含奇点,由取逆时针方向;围成区域,则000200022.30,00,1,0,1,0,120,0,1,01,0,0DLLCLdxdyQPyyPdxQdyxyxxyPdxQdyLPdxQdyxxyLCPdxQdy（）由于是单连通区域,且则在区域中与路径无关；而且不是单连通区域,此时还需求出某绕奇点的闭曲线积分其中是绕点的某闭曲线由（）中知相当于在且中存在一条绕点的闭曲线使0,2222220,1010,1,04,20,11111,ln1arctan2111LLxyxyxxyPdxQdyPQDPdxQdyDPdxQdyDyPdxQdyxxyxuxyPdxQdydxdyxyyxxy在且区域中不是与路径无关.（）因在区域上连续时,在上存在原函数在上与路径无关,由（）知,区域上存在原函数且原函数；而0,1,0xxyPdxQdy且区域上不存在原函数.