微积分论文 (23页)

微积分论文微积分论文篇一：微积分论文高等数学（下）论文姓名：学号：班级：系别：戴超110403200411级网工（2）计算机科学与技术系微积分摘要：微积分世界近代数学的重要内容,也是近代数学进一步发展和拓展的重要基础。本文以微积分的产生与发展作为切入点,分析了微积分在近代数学中的地位,指出微积分是近代数学的重要组成内容,近代数学发展的基础。最后本文论述了微积分的作用,指出了微积分推动了数学自身的发展,推动其它学科的发展,推动了人类文明和科学技术的发展。关键词:微积分，牛顿莱布尼兹，近代数学，产生，发展，地位，作用。正文：一、微积分的定义：什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。定义：设函数(x)在[a,b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<...<xn-<xn=b把区间[a，b]分成n个小区间[x0，x1]，...[xn-1，xn]。每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作即二、微积分的产生和背景：17世纪到19世纪是近代数学发展的重要时期,在这一时期数学最大和最有影响的发展莫过于微积分的产生和应用。微积分的内容包括极限、微分学、积分学及其应用,是一门研究变化、运动的学科。这门学科的创立不仅极大的推进了数学自身的发展,而且影响和推动了其它学科的发展,并进而对人类社会的生产时间产生影响。本文探讨了微积分在数学中的地位,同时揭示了其对于当代数学的发展以及其它自然、人文、社会科学发展的作用。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的?天下篇?中，著有?一尺之棰，日取其半，万世不竭?。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出?割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣?。他在1615年《测量酒桶体积的新学科》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。三、微积分的发展：微积分的正式诞生是在17世纪的后半期,牛顿和莱布尼兹在求积问题与作切线问题之间的互逆关系的基础上创立了微积分的基本定理,并且对无穷小算法进行了归纳与 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,正式创立了微积分这一数学中的重要运算法则。之后,随着数学科学的发展,微积分得到了进一步的发展,其中欧拉对于微积分的贡献最大,他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后,洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生,微积分也正式成为了数学一个重要分支。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克?牛顿（1642－1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。篇二：微积分论文高等数学论文微积分论文高等数学论文浅谈微积分中的反例摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。Abstract：ThisarticlelistsCalculuscommontypicalcounter-examplesanddiscussestheroleofcounter-examplesinCalculusTeaching.Ontheonehand，thecounter-examplescanstrengthentheconceptandrevealconnotationoftheconcept，itmakestudentexactlygrasptherelationshipbetweentheconcepts，thoroughlyunderstandtheconditionsoftheorem.Ontheotherhandittrainsstudentsreversethinking，whatismoreithelpstodevelopthemathskillsofstudents.关键词：反例；微积分；函数；微分；积分Keywords：counter-examples;Calculus;function;Differential;Integral0引言用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。反例思想是微积分中的重要思想，用逆向思维方法从问题反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。在微积分中存在大量的反例，其意义远远超过了它的具体内容，除了它能帮助学生深入地理解有关数学对象性质之外，还促进了学生的辨证思维方式的形成。1连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。同时也能培养与提高学生的辩证思维能力。情形1若函数f（x）在a连续，则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。反例：函数f（x）=1，x?叟0-1，x<0，虽然f（x）=1在x=0处连续，但f（x）在x=0处不连续。情形2可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等，所以f（x）在x=0不可导。情形3函数f（x）在x=x0处可导，则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。反例：函数f（x）=x，x为有理数0，x为无理数，在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。情形4f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续导数？反例：函数f（x）=xcosx≠00x=0在x=0处可导，但导数不连续。事实上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x≠0时，f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin极限f′（x）=2xcos-xsin?-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。综上归结，对一元函数f（x）在点x0可有：可微?圳可导连续有极限。通过恰当的反例可以快捷而准确地把握它们之间所存在的关系。情形5当f（x0）≠0时，由f（x）在x0可导不一定能推出f（x）在x0可导。反例：函数f（x）=x，x∈[0，1]-x，x∈[1，2]，而f（x）=x，x∈[0，2]，显然f（x）在x0=1处可导，但f（x）在x0=1处不可导。情形6下面命题是否成立：若f（x）在（a，b）内可导，则在（a，b）内必定存在ξ，使得f′（ξ）=？事实上，举出这样的反例：f（x）=x，02可积问题情形7若函数f（x）在区间[a，b]上可积，则函数f（x）在区间[a，b]上也可积，且f（x）dx?燮f（x）dx，但其逆命题不成立，即当函数f（x）在区间[a，b]上可积时，函数f（x）在区间[a，b]上不一定可积。反例：函数f（x）=1，x为有理数-1，x为无理数函数在[0，1]上不可积，而f（x）≡1，这是常函数，显然在[0，1]上可积。3无穷大量与无界量问题情形8无穷大量是无界量，但无界量不一定是无穷大量。反例：f（x）=xcosx当x→∞时f（x）为无界量。事实上，对无论多大的G>0，总存在x=nπ，当n>时，有f（x）=nπcosnπ=nπ>G然而，当x→∞时，若取x=nπ+此时f（x）=nπ+cosnπ+=0。即f（x）并不趋于∞。4函数的极大(小)值与最大(小)值问题情形9[4]可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点。反例：x=0是函数f（x）=x3的驻点，但不是其极值点。情形10函数f（x）的极大(小)值不一定就是最大(小)值。反例：函数（fx）=x-4x+3x+1，x∈[-1，3]，由于f′（x）=4x-8x+3=4（x-1）-1，易见x=或x=为f（x）的稳定点，列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 如下：由上表可知：点为f（x）的极大值点，极大值为；点x=为f（x）的极小值点，极小值为1。但函数f（x）在点x=3取得最大值为6，在点x=-1取得最小值为-。上述归结，若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定有最大、最小值。若函数f（x）的最大(小)值点x0在区间内，则x0必定是f（x）的极大(小)值点。但f（x）的最大(小)值也可能在区间端点处取得，则f（x）的极大(小)值不一定就是最大(小)值，要通过比较才能确定。5结语微积分中的反例有助于提高学生的数学逻辑思维能力,突出数学所表达的逆向思维以及体现了数学的严谨性.透彻理解命题、定理条件的充分性及必要性,为了分清条件的充分性与必要性使用恰当的反例是非常有好处的。反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。在微积分的教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。另一方面：“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的。它不仅有助于培养学生纵向思维能力，而且有助于培养和发展学生的横向思维能力，更有助于培养学生的数学技能，并使学生养成严格推理、全面分析问题的能力。参考文献：篇三：微积分小论文微积分中的“辅助线”PB09203XXX摘要：在微积分的学习与作业中，不难发现在一些等式的证明中，常毫无思路，看了答案之后拍案惊奇。一些变化仿佛横空出世，添加一项或是减去一项，或整个变换形式，通过辅助函数。这便是构造。构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，通过整理，综合构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。关键词：微积分辅助函数等式微分中值定理构造在以往的学习中无论是数学还是物理，遇到难题没有一点思路，最后一般我们都是采用了曲线救国，如几何中的辅助线法。或许直走也能通，但当我们站在目的地回望，便会发现做题过程中，并不是亮点之间直线最短，曲线往往才是最快的捷径，这便像从山前到山后，当然从山脚绕过去比一股脑的从高山上越过去方便的多。微积分中亦是如此，当命题过于抽象难以解决时，顺着做下去可能就遇到一些知识与技巧上无法凭己之力翻越的高山。感觉所熟知的定理都不能直接使用。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题，从山脚绕过去。构造在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。所谓构造，即构造函数，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。下面我们便走进构造。一、构造函数法在基本定理证明中的运用微分中值的定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路，这个思路是当构造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条件，进而解决问题。具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足Fermat引理的函数，进而推导出了结果；而lagrange中值定理和Cauchy定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。构造函数法的思想是发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的，这种多态化的思想启发出，在使用构造函数法时，我们可以使用各种所学知识，根据命题条件，构造出满足题意的辅助函数来。微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通，是利用导数研究一些函数性质的重要途径。以微分中值定理为基础的各种中值问题，成为微积分学习中的重要内容。这类问题的常见形式是：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点z(a,b)使得某个含有z的等式成立。处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔，lagrange定理和Cauchy定理条件的辅助函数。通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法，如利用函数的几何图像等。用这些方法构造函数往往需要很高的技巧，实际做题中如不是做了很多题很有经验，常常会无从下手，不能成功构造。如果考虑到lagrange中值定理和Cauchy中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原函数，这样，我们可以利用微分运算的逆过程——积分运算，来构造辅助函数，以解决有关微分中值的问题。b著名的牛顿—莱布尼茨公式?af(x)dx?F(x)ba里的F(x)连续函数f(x)在?a,b?上的一个原函数。在证明了这一结论的过程中，也用到了构造。巧妙地运x用了积分上限函数?(x)?常重要的公式。二、利用构造函数与中值定理证明命题基本定理的证明中已经用到构造，利用基本定理证明新命题的时候又利用构造往基本定理上靠拢。而证明的方法也是多种多样的，但常用的归结起来也就几种。其中我们接触最多的便是原函数法。这是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数，首先先将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，一般常用移项将等式一端变换为常数0，等式中的变量便作为函数变量，再设法求出原函数，即得所需的辅助函数，最后结合微分中值定理，推导出结论来。例1：证明f(x)在?a,b?连续，?a,b?可导，则存在??(a,b)，使222?(f(b)?f(a))?(b?a)f?(?)?af(t)dt，这是个构造函数，最大的特点就是满足??(x)?f(x)。正是由于有了这个函数，才最终证明了这个可以说是积分中非。证明一：将要证的结论变形得f?(?)?f(b)?f(a)b?a22?2x，将等式中的?记为x，即f?(x)?f(b)?f(a)b?a22?2x，然后积分得f(x)?f(b)?f(a)b?a22?x?c2，得到辅助函数F(x)?c?f(x)?f(b)?f(a)b?a22?x2，bf(a)?af(b)b?a2222显然F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，又因为F(a)?F(b)?满足罗尔定理，所以存在??(a,b)，使得F?(?)?0，，故222?(f(b)?f(a))?(b?a)f?(?)。证毕例2证明中在构造辅助函数时用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[a,b]上的性质，然后运用罗尔定理推导出结论。如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下证明二：将要证明的等式中的?记为x，然后积分得x(f(b)?f(a))?(b?a)f(x)，222得到辅助函数F(x)?x(f(b)?f(a))?(b?a)f(x)，222可知，F(a)?F(b)。故由罗尔定理可得222?(f(b)?f(a))?(b?a)f?(?)。证毕通过例子的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强的方法，同一道题可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。方法是多样的，但思想是一致的，即从结论出发，对条件进行一定的变换，得出原函数即为构造函数，让这个构造函数能够满足微分中值定理的条件，进而利用中值定理得出要证明的结论。又如利用积分上限函数做辅助函数，应用函数的单调性解题例：设f(x)是[a,b]上的连续函数且单调增加，求证：b?xf(x)dxax?a?b2b?af(x)dxx证明：作辅助函数：?(x)??tf(t)dt?axa?x2?af(t)dt，显然?(a)?0?(x)'?xf(x)?1x2f(x)?12?2af(t)dt?a2a?x2f(x)?x?a2f(?)(x?a)?f(x)(???a,x?)??f(x)?f(?)?因为f(x)在?a,b?上单调增加，故?(x)?0，从而?(x)在?a,b?内单调增加，于是?(x)??(a)?0，取x=b即得命题。有时不易直接用原函数法，就可以试着考察命题中需要证明的结论与微分中值定理的结论有哪些相近的形式，再构造相应的函数，必要时可考虑其几何意义例：设函数f(x)在?a,b?上可导，且ab>0，则在（a,b）上必存在一点?，使得1abf(b)a?bf(a)?f(?)??f'(?)证明：左式如下变形f(b)1abf(b)a?bf(a)?b1b??f(a)a1af(x)x1根据上式右端结构特征，分子是?(x)?f(x)x型，分母是型，所以构造辅助函数x?(x)?1x，再将它们与柯西中值定理联系起来。1x2又已知ab>0,故?a,b?上不存在x=0点，从而在（a,b）上有?'(x)???0易验证俩函数符合中值定理，于是在开区间（a,b）上存在一点?，使得：?(b)??(a)?(b)??(a)??'(?)?'(?)即使命题得证除此之外还有我们很少遇到且较难掌握的如微分方程通解法与行列式法微分方程通解法一般适用于如下形式：函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且满足一定的条件，求证存在一点??(a,b)，使得。在处理这一类的问题时，可以先解微分方程)y???(x,y)，得f?(?)???[f,?(到通解G(x,y)?c，则可构造出辅助函数为F(x)?G(x,y)，这种处理的方法就是微分方程通解法。在一些微积分等式命题的证明中，构造辅助函数可以利用行列式的性质及行列式函数的求导公式的特点来构造辅助函数，再利用微分中值定理完成命题的证明。而行列式法便是由行列式推导法延伸而来。行列式函数求导公式：设有行列式表示的函数a11(t)D(t)?a21(t)?an1(t)a12(t)a22(t)?a12(t)????a1n(t)a2n(t)?ann(t)，?(t)都存在，则其中aij(t)（i，j=1，2，?，n）的导函数aija11(t)a21(t)dD(t)dtna12(t)a22(t)??2(t)ak?an2(t)??????a1n(t)a2n(t)??3(t)ak?ann(t)?k?1??1(t)ak?an1(t)其细节在例子中体会例：设f(x)在?a,b?上连续且二阶可导，则在(a,b)内至少一点?，使得f(b)?f(a)??f(x)?f(a)???1x?ab?a???f??(?)x?b2。证明：变换结论等式，对于a?x?b，存在??(a,b)，使得f(b)?f(a)??1f(x)??f(a)?(x?a)??(x?a)(x?b)f??(?)b?a??2，令F(x)?f(x)??f(a)???f(b)?f(a)b?a?(x?a)??，则F(x)在?a,b?上连续，篇四：微积分应用论文上海大学2013～2014学年秋季学期课程论文课程名称：信息化时代的数学探索与发现课程编号：0100L602论文题目:论微积分在我们生活中的应用作者姓名:方舟学号:13121376成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:注:后附课程论文的正文浅谈微积分在生活中的应用作者姓名:方舟学号:13121376摘要:主要关于微积分在几何，经济，物理以及我们生活方面的运用。关键词:微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导，微分方程（3-5个数学名词）(5号宋体)正文（小4号宋体，段首空两格）前言作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点 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，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。1．微积分在几何中的应用微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！1.1求平面图形的面积(1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。例如：求曲线f?x2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。所以该曲边梯形的面积(来自:WWw.:微积分论文)为f??21x22313722xdx????313332(2)求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a<b)及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为V???f2(x)d(x)。ab(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c<d)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为V???g2(y)d(y)。cd(III)由连续曲线y=f(x)(f(x)?0)与直线x=a、x=b(0?a<b)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为V?2??xf(x)d(x)。abx2y2例如：求椭圆2?2?1所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转ab体的体积。分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆y?x2(?a?x?a)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆x2y2??1所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为a2b2vy????a?b2213a?2(ax?x)?a?a3a2dx??b2a2?a?adx4?ab23椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆x??b?y?b)，与yx2y2轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆2?2?1所围成的图形绕y轴ab旋转一周而成的旋转体的体积为?a2vy???dy?2?bb?a2213b42?2(by?y)?b??abb33b2?b?bdy(3)求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程{x??(t)(??t??)y??(t)给出其中?'(t),?'(t)在[?,?]上连续，则该曲线弧的长度为s????(x)。(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为r?r(?)(?????)，其中r'(?)在[?,?]上连续，则该曲线弧的长度为s????(?)。x21例如：求曲线y??lnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。42解：y'?x1?22x，于是弧长微元为ds?，11dx??(x?)dx。2x所以，所求弧长为：s??e1111x21e(x?)dx?(?lnx)1?(e2?1)。2x224一、在几何中的应用(一)微分学在几何中的应用(1)求曲线切线的斜率由导数的几何意义可知，曲线y=(x)在点x0处的切线等于过该点切线的斜率。即f'(x0)?tana，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。例如：求曲线y?x2在点(1，1)处的切线方程和法线方程。分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：k?y'x?1?2xx?1?2，所以，所求切线的方程为y-l=2(x一1)，化解得切线方程为2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为1y?1??(x?1)，化解得法线方程为2y+x-3=0。2(2)求函数值增量的近似值由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。例如：计算sin46o的近似值。分析：令f(x)=sin(x)，则f(x)=cosx，取x0?450，?x?10,(10??180)，则由微机分的定义可知sin460?sin(45?1)?sin045?f(45)?180??'???0.7194221802.微积分在经济学的应用在我所查找到的关于微积分在经济学领域的应用中，我发现高等数学在经济学中运用十分基础和广泛，是学好经济学剖析现实经济现象的基本工具。经济学与数学是密不可分息息相关的。高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题进行分析，将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用。尤其我看到在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。这个对一个企业的发展至关重要！1关于最值问题例设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润解:总成本函数为C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000总收益函数为R(x)=500x总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。2关于增长率问题例：设变量y是时间t的函数y=f(t)，则比值为函数f(t)在时间区间上的相对改变量；如果f(t)可微，则定义极限为函数f(t)在时间点t的瞬时增长率。对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。这样，关系式（*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。3.弹性函数设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx?EyEx=limδx→0ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)