复变函数与积分变换课件

目录第一章复数与复变函数第二章导数第三章积分第四章级数第五章留数第六章保形映照第一章傅里叶变换第二章拉普拉斯变换第一篇复变函数第二篇积分变换1.1复数1.2复数的乘幂与方根1.3平面点集1.4复变函数1.5初等函数第一章复数与复变函数1.1.1复数及其代数运算在学习初等代数时，在实数范围内，方程x2=-1是无解的，由于解方程的雪要。人们引进一个新数，称为虚数单位i，并规定为i2=-1,从而i是方程x2=-1的一根复数:对于任意二实数x,y形如z=x+iy或z=x+yi的数,称为复数.其中x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z).当x=0,y≠0时，z=yi称为纯虚数,当y=0时，z=x+0i=x,我们把它看作是实数x两个复数相等，必须且只须它们的实部和虚部分别相等，一个复数z等于0，必须且只须它的实部和虚部同时等于零1.1复数1.复数的概念2.复数的代数运算实部相同而虚部为相反数的两个复数x+iy和x-iy称为共轭复数，简称共轭数(1)复数的加(减)法(2)复数的乘法(3)复数的除法复数的运算法则注意一般说来，任意两个复数不能比较大小3.复数的共轭运算根据共轭复数的定义，不难证明共轭复数具有如下性质1.复平面由于，任意复数z=x+yi与一对实数(x,y)成一一对应，所以对于平面上给定的坐标系，复数z=x+yi可以该面上的点(x,y) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示.复平面X轴称为实轴，Y轴称为虚轴，xoy面称为复平面或者Z平面2.复数的模与幅角复数z=x+yi还能用从原点指向点(x,y)的平面向量来表示向量的长度称为z的模或绝对值，记作：|z|当z≠0的情况，z表示的向量与x轴正方向间的角称为z的辐角，记作Arg(z)=Ө1.1.2复数几何表示显然下列成立任何一个复数z≠0有无穷多个幅角,如果Ө时其中一个，那么当z=0时，|z|=0,而幅角不确定。两个复数z1和z2的加，减法运算和相应向量的加法，减法一致1.1.3.复数的三角表示复数的这种表示称为复数的三角形式和指数形式关于复数的模、幅角，应当作如下的说明:如果复数z=x+yi的模为r幅角为θ有极坐标与直角坐标的关系因此(1)复数的模复数z的模满足(2)复数的幅角任何一个不为0的复数z,有无穷多个幅角。(3)幅角主值的求法例1：下列复数化为三角表示式与指数表示式例3：求下列方程所表示的曲线1.1.4.复数四则运算的几何意义定理:两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们的幅角的和。设有两个复数从几何上看,两复数对应的向量分别为定理:两个复数的商的模等于它们模的商;两个复数的商的幅角等于被除数与除数的幅角的差。由两个复数乘积的模与复角的性质，有例4:解例5:解如图所示,1.1.5.扩充复平面除了用平面内的点和向量来表示复数外，还可以用复球面上的点来表示复数。取一个与复平面切于原点z=0的球面，球面上的一点S与原点重合。通过S作垂直与复平面的直线与球面相交于零一点N,我们称N为北极，S为南极。设z为任一复数，连结Nz，与复球面交于P，易见z与P一一对应，故复数亦可用球面上的点P表示．扩充复平面的一个几何模型就是复球面。(1)复平面上每一条直线都通过点∞，同时，没有一个半平面包括点∞。关于新“数”∞还需作如下几点规定：1.2.1复数的乘幂这就是棣莫佛(DeMoivre)公式1.2复数的乘幂与方根1.2.2复数的方根我们称满足方程wn=z(这里w≠0,n≥2)的复数w为复数z的n次方根，记作根据棣莫佛公式,当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.当k=0,1,2,3,….,n-1时，得到n各相异的根解解即解即1.3平面点集1.3.1区域的概念1.邻域:2.去心邻域:3.内点:G-区域4.开集:如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.5.区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.D-区域6.边界点、边界:设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界7.有界区域和无界区域:判断下列区域是否有界?(1)圆环域:(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域: 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 (1)有界;(2)(3)(4)无界.平面曲线的复数表示:1.3.2曲线简单曲线没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).1.简单曲线、简单闭曲线2.光滑曲线、分段光滑曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭1.3.3单连通域与多连通域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域例1:指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.例2：满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?1.4复变函数1.4.1复变函数的概念1.定义2.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:4.复变函数与自变量之间的关系:例如,1.引入:1.4.2复变函数的几何解析-映射的概念2.映射的定义:且是全同图形.根据复数的乘法公式可知,解还是线段.解:仍是扇形域.以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)设z=Reiθ,w=u+iv,则1.4.3反函数的定义:1.反函数2.复合函数定义:将复数z=x+iy的指数函数定义为：ex+iy=ex(cosy+isiny)1.5初等函数1.5.1指数函数(1)|ez|=ex,Arg(ez)=y+2kπ(k=0,±1,±2,….);(2)ez+2kπi=ez(k=0,±1,±2,….);对于复指数函数ez,它具有如下性质解解：例2：求出下列复数的辐角主值:解：1.5.2对数函数定义：对数函数是指数函数的反函数，即若z=ew(z≠0,∞)则称w是z的对数函数，记作w=Lnz设w=u+iv，z=reiө.由ew=z可得eu+iv=reiө因而eu=r，v=ө故w=u+iv=lnr+iө=ln|z|+iArgz即Lnz=ln|z|+i(argz+2kπi)(k=0,±1,±2,….);其余各值为特殊地,解:注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.解：例6：计算解：性质1.5.3幂函数定义：设a为复常数，z为除零以外的复变数，定义一般幂函数为za=eaLnz(1)当a为任一整数时za是单值函数特殊情况:解：课堂练习：解：将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.1.5.4三角函数和双曲函数1.正弦函数与域弦函数有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式(注意：这是与实变函数完全不同的)2.其他复变数三角函数解：解:3.双曲函数的定义并有如下公式:它们都是以2kπi为周期的周期函数,1.反三角函数的定义两端取对数得1.5.5反三角函数和反双曲函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义例11:解:第二章导数2.1复变函数的极限2.2复变函数的连续性2.4解析函数2.3导数2.5调和函数2.1复变函数的极限2.1.1复变函数极限的概念注意:几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中2.1.2极限计算的定理与实变函数的极限运算法则类似.证(一)根据定理一可知,证(二)在扩充复平面上，可以定义以下广义极限2.2.1.复变函数连续的概念2.2函数的连续性例1：由上节我们知道所以cosz在z0处连续例2：证明函数sinz在整个复平面连续证明：设z=x+yi,z0=x0+y0i为复平面上的任一定点由于z0是复平面上的任一定点，故sinz在整个复平面上连续2.2.2.复变函数连续的定理例3：讨论初等函数：secz,cscz,tanz,cotz,shz,chz的连续性。例4：讨论函数argz的连续性。例5：讨论函数Lnz的连续性。特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.例6：证复平面上有界闭区域R上连续的函数w=f(z),它的模|f(z)|在R上一定有界2.3导数2.3.1导数的概念在定义中应注意:函数f(z)的导数定义为解:例2:讨论函数f(z)=Im(z)的可导性解:例3:证明函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.证：[证毕]2.3.2导数的运算法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:证:必要性：2.3.3函数可导的必要与充分条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy有导数a+ib,这里a及b为实数，根据导数定义，充分性：[证毕]例5：判定下列函数在何处可导，若可导求其导数(1)f(z)=x2-y2+2ixy(2)f(z)=|z|(3)f(z)=ez(4)f(z)=sinz(5)f(z)=|z|22.3.4高阶导数2.4解析函数2.4.1解析函数的概念定义：如果函数f(z)不仅在z0处可导，而且在z0的某个领域内任一点可导，则称f(z)在z0解析，如果函数f(z）在区域D内任一点解析，则称f(z)在区域D内解析。例1：讨论下列函数的解析性(1)f(z)=z2(2)f(z)=|z|2根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.2.4.2初等函数的解析性有导数的运算法则可知，在某区域上解析的函数经过加、减、乘、除（分母不为零）运算得到的函数在该区域上仍解析。两个及两个以上的解析函数经过有限次复合运算后得到的函数仍未解析函数。単值解析函数的単值反函数仍为解析函数。指数ez函数在整个复平面上解析三角函数sinz,cosz,tanz,cotz,secz,cscz在其定义与内解析；反三角函数的解析性要紧对各反函数具体讨论。双曲函数shz,chz,thz在整个复平面上解析；反双曲函数的解析性要紧对各反函数具体讨论。对数函Lnz数在原点和负实轴上不解析，除原点和负实轴以外，Lnz处处解析2.4.3函数解析的必要与充分条件例2：讨论下列函数的解析性(1)f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y)(2)f(z)=zRe(z)(3)f(z)=e-xe-yi证：2.5调和函数2.5.1调和函数的概念证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:上面定理说明：例1：设u(x,y)=x2-y2,v(x,y)=2xy问u和v调和函数吗？v是u的共轭调和函数吗？现在研究反过来的问题：如果u,v是任意选取的在区域D内的两个调和函数，则u+vi在D内就不一定解析2.5.2已知实部或虚部的解析函数的表达式类似地，例2：已知下列调和函数，求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).(1)u(x,y)=shxsiny(2)v(x,y)=x2-y2+2y(2)u(x,y)=y3-3x2y(4)v(x,y)=-x2+y23.1复变函数积分的概念、性质、计算3.2柯西定理及其推广3.3柯西积分公式3.4解析函数的导数第三章积分3.1复变函数积分的概念、性质、计算3.1.1不定积分设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，因此F(z)是f(z)在区域D内的原函数,则在区域D内,f(z)的所有原函数可表示为F(z)+C.1.原函数2.不定积分不定积分定义和上一章的导数公式,从基本初等函数的求导公式就能得到相应的积分公式.不定积分具有如下性质：有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.3.1.2定积分复积分与实变函数的定积分有类似的性质.解：设曲线C的起点为z0、终点为zn，则按定义特别地，如果zn=z0,即C为闭曲线时设曲线C为z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)分段光滑，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在C上分段连续，那么由函数f(z)沿曲线C积分的定义容易推出：解:积分路径的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.3.2柯西定理及其推广观察上节例1,观察上节例4,由以上讨论可知,函数沿闭曲线积分为零与函数在某区域上的解析性密切相关.此定理也称为柯西积分定理.例1：计算下列积分定理一可以写成特别地，当D的内线路有一条路线C1时这就说明，在区域上解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.这个事实称为闭路变形原理.定理：设f(z)是在单连通域D内的解析函数.我们有3.3柯西积分公式问题的提出∴猜想积分3.4解析函数的导数本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。一个解析函数的导数仍为解析函数。4.1收敛序列与收敛级数4.2幂级数4.3泰勒级数4.4罗朗级数第四章级数4.1收敛序列与收敛级数4.1.1收敛序列那末对于任意给定的证：就能找到一个正数N,从而有所以同理反之,如果从而有可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.[证毕]定理一说明:例1：下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.4.1.2收敛数项级数称为复数项无穷级数.其最前面n项的和sn=z1+z2+…+zn称为级数的部分和部分和:说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:证:因为说明:复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题定理课堂练习解:所以原级数发散.必要条件:重要结论:不满足必要条件,所以原级数发散.级数发散;应进一步判断.注意:应用正项级数的审敛法则判定.证:由于根据实数项级数的比较准则,知说明：所以综上:例2：判别下列级数是否绝对收敛，是否收敛.4.1.3复变函数项级数其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作级数最前面n项的和称为这级数的部分和.称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定4.2幂级数4.2.1幂级数的概念关于幂级数我们主要讨论形如证：由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,由正项级数的比较判别法知:4.2.2幂级数的收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.级数在复平面内处处绝对收敛.(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.关于如何求幂级数的收敛半径R.有如下柯西-阿达玛（Hadamard）公式4.2.3幂级数和函数的性质(2)f(z)在收敛圆|z-z0|<R内的导数可将其幂级数逐项求导得到,(3)f(z)在收敛圆内可以逐项积分,即简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)4.3泰勒级数当z0=0时，级数称为麦克劳林级数；定理：设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那末当|z-z0|<d时,如果f(z)在D内有奇点,则d等于z0到最近一个奇点之间的距离任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.将函数展开成泰勒级数常用方法:1.直接法:由泰勒展开定理计算系数例1：求函数f(z)=ez在z=0处的泰勒展开式。2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.例2：求函数f(z)=sinz在z=0处的泰勒展开式附:常见函数的泰勒展开式4.4罗朗级数负幂项部分主要部分正幂项部分解析部分同时收敛收敛收敛半径R收敛域收敛半径R2收敛域4.4.1罗朗级数的概念若(1)R1>R2两收敛域无公共部分,(2)R1<R2两收敛域有公共部分R1<|z-z0|<R2常见的圆环域:2.问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?4.2.2解析函数的罗朗展开式某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数。1.直接展开法函数的洛朗展开式常用方法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.2.间接展开法优点:简捷,快速.5.1解析函数的孤立奇点5.2留数的一般理论5.3留数对定积分计算的应用第五章留数5.1解析函数的孤立奇点5.1.1孤立奇点z0的定义及分类这说明奇点未必是孤立的。以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：特点：没有负幂次项特点：只有有限多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项定义：设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称z=z0为m级极点;有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。定理：(1)若z0为f(z)的可去奇点(2)若z0为f(z)的m(m1)级极点(3)若z0为f(z)的本性奇点设z0为函数f(z)的m阶极点，则f(z)在z0的某去心领域D:0<|z-z0|<R内解析，并且在D内f(z)有罗朗展开式在这里c-m≠0于是在D:0<|z-z0|<R内5.1.2零点与极点的关系定义：设f(z)在z0的领域内解析.若f(z0)=0，则称z0为解析函数f(z)的零点.那么(1)当cn=0(n=1,2,3,….)时，f(z)=0.(2)当c1,c2,…,cn,…,不全为零时，总有cm≠0,而cn=0(n<m),我们说z0是f(z)的m阶零点定理：不恒等于零的解析函数f(z)以z=z0为m阶零点的必要与充分条件为例2：考察函数f(z)=z-sinz在原点的性质例3：求函数f(z)=1-sinz的全部零点，并指出它们的级证明：“”　若z0为f(z)的m级极点5.1.3孤立奇点∞的定义及分类区域|z|>R(R≥0)为无穷点的领域，R<|z|<+∞为无穷远点的去心领域如果函数f(z)在无穷远点的某一去心领域D:R<|z|<+∞内解析，则称无穷远点为f(z)的孤立奇点。定理：设函数f(z)在区域R<|z|<+∞内解析，那么z=+∞是f(z)的可去奇、极点、本性起点的必要与充分条件相应的是：5.2留数的一般理论5.2.1留数的定义及计算设函数f(z)在区域0<|z-z0|<R内解析。选取r，使0<r<R，并且作圆C:|z-z0|=r，那么如果f(z)在z0也解析，则上面的积分也等于零；如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；因此将f(z)在此邻域0<|z-z0|<R内展开为洛朗级数f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1的一项等于2πic-1外,其余各项积分都等于零,定义:设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留数定义,　Res[f(z),z0]=c–1　　　(1)一般求Res[f(z),z0]是采用将f(z)在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c–1的方法,但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利。首先考虑一阶极点的情形。设z0是f(z)的一个一阶极点。因此在去掉中心z0的某一圆盘内(z≠z0)，其中φ(z)在这个圆盘内包括z=z0解析，其泰勒级数展式是：而且a0=φ(z0)≠0。显然，在f(z)的洛朗级数中其中P(z)及Q(z)在这圆盘内包括在z=z0解析，P(z0)≠0，z0是Q(z)的一阶零点，并且Q(z)在这圆盘内没有其他零点，那么z0是f(z)的一阶极点，因而其次，我们考虑高阶极点得情形。设z0是f(z)的一个m阶极点(m>1)由条件例1：求下列函数在其孤立奇点处的留数5.2.2留数定理证明：由复合闭路定理得：用2i除上式两边得:得证！例2：计算下列积分5.2.3无穷远点的留数定理：设函数f(z）在扩充的复平面内除有限个孤立奇点z1,z2,…zn,∞外出出解析，则f(z)在各奇点处的留数总和为零，即Res(f,z1)+Res(f,z2)+…+Res(f,zn)+Res(f,∞)=05.3留数对定积分计算的应用令z=eiq,则dz=ieiqdq,而其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.当被积函数R(x)是x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时,积分是存在的.取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有因此,在半径R充分大的CR上,有也可写为第六章保形映照6.1导数的几何意义及保形映照的概念6.2分式线性函数及其映照的性质6.3分式线性函数的应用6.4指数函数与幂函数所确定的映照6.1导数的几何意义及保形映照的概念设C为平面上的一条简单光滑曲线，参数方程为：x=x(t),y=y(t)(α≤t≤β),则曲线C上对应与参数t的点的切线向量为：{x́(t),ý(t)}6.1.1曲线的切向量在复平面上，曲线C可表示为z(t)=x(t)+iy(t)从而ź(t)=x́(t)+iý(t)表示曲线C上对应参数t的点的切线向量6.1.2导数的几何意义则设在D内过z0有两条曲线C1:z=z1(t)及C2:z=z2(t)则有相交于z0的任意两条曲线C1与C2之间的夹角在其大小和方向上都等同于经过w=f(z)映照后跟C1与C2对应的曲线与之间的夹角映照w=f(z)具有保持两曲线间夹角的大小和方向不变的性质，此性质称为保角性6.1.3保形映照的概念设w=f(z)是在D内解析的函数，z0∈D,w0=f(z0),f́(z0)≠0,则w=f(z)把z0的一小领域内任意一小三角形映照为含w0的一个区域内的曲边三角形，这两个三角形对应角相等，对应边的近似地成比例，因此这两个三角形近似的相似形。另外w=f(z)还把半径充分小的圆|z-z0|=r近似地映照成圆|w-w0|=r|f́(z0)|我们称解析函数w=f(z)(f(z0)≠0)所确定的映照为保形映照，也称为共性映照或保角映照6.2分式线性函数及其映照的性质6.2.1分式线性函数分式线性映照的逆映照,也是分式线性映照.说明:事实上把z平面和w平面叠合在一起，我们讨论上述四种简单函数的映照性质即w的模与z的模相等，而w的辐角是z的辐角加θ，故w=eiθz确定了一个旋转w与z的辐角相同，而w的模是z的模的r倍，故w=rz确定了一个以圆点为心的相似映照在讨论的映照性质之前，我们先引进一个定义对称点的定义:设z0为中心,r为半径的圆周.在以圆心为起点的一条半直线上，如果有两个点z1与z2满足关系式|z1-z0|·|z2-z0|=r2那末就称这两点为关于这圆周的对称点.规定无穷远∞点的对称点为圆心z0例如：z平面上以0,1,2i,1+2i为顶点的长方形，经过映照w1=2z变换成w1平面上以0,2,4i,2+4i为顶点的长方形w1平面上以0,2,4i,2+4i为顶点的长方形,6.2.2分式线性的映照性质约定：把扩充复平面上的任一直线看成半径为无穷大的圆定理二：分式线性函数将扩充z平面上的圆周映照成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.证明：分式线性函数所确定的映照是由平移、旋转、相似映照及函数w=1/z所确定的映照组成的，前三种映照把圆映照成圆，因而只须证明w=1/z也把圆映照成为圆若z平面上圆方程为:a(x2+y2)+bx+cy+d=0代入z平面圆方程得其象曲线方程:d(u2+v2)+bu-cv+a=0所以此映找在扩充复平面上具有保圆性.设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C'于是，C及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，D1,D2及D1',D2'，其边界分别是C及C'此分式线性函数把D1映射成D1',D2'之中的一个区域，但是究竟D1的象是D1‘还是D2'.我们必须通过检验中某一个点的象来决定。定理:对于扩充z平面上任意三个不同的点z1,z2,z3以及扩充w平面上任意三个不同的点w1,w2,w3,，存在唯一的分式线性函数，把z1,z2,z3分别映射成w1,w2,w3.证明：先考虑已给各点都是有限点的情形.那么，由从而，有：因此，有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。其次，如果已给各点除w3=∞外都是有限点.那么，由则所求分式线性函数有下列的形式：同理有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。在z平面及w平面上分别取定圆C及Ć.在C及Ć上分别选不同的三个点z1,z2,z3及w1,w2,w3.有定理存在唯一的分式线性函数，把z1,z2,z3分别映照成w1,w2,w3，从而把圆映照成Ć.故有以下定理.定理:扩充z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映照成扩充w平面上任何圆分式线性函数把圆映照成圆，那么分式线性函数是否将z平面关于C对称的点映照成w平面上关于圆Ć对称点(Ć为圆C的像)？先看对称点的一个基本性质引理4.1不同两点z1及z2是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过z1及z2的任何圆与圆C正交。定理:如果分式线性函数把z平面上圆C映射成w平面上的圆C'，那么它把关于圆C的对称点z1及z2映射成关于圆C'的对称点w1及w2证明：过w1及w2的任何圆是由过z1及z2的圆映射得来的。由引理过z1及z2的任何圆与圆C直交，从而由分式线性函数的保形性，过w1及w2的任何圆与圆C'直交。再利用引理，w1及w2是关于圆C'的对称点。例1：求把z平面上的点z1=1,z2=i,z3=-1分别映照为w平面的点w1=-1,w2=i,w3=1的分式线性函数6.3分式线性函数的应用由于分式线性函数确定的映照的保圆性和保对称性，在作以圆弧或直线为边界的区域的保形映照时，分式线性函数起着很重要的作用，本节通过几个具体例子说明这一点。例4：试求把单位圆|z|<1保形映砸照成单位圆盘|w|<1的分式线性函数。第一章傅里叶变换1.1傅里叶积分1.2傅里叶变换1.1傅里叶积分在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上(1)连续或只有有限个第一类间断点(2)只有有限个极值点.任何满足狄氏条件的周期函数fT(t),可表示为三角级数的形式如下:而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:给定fT(t),cn的计算如下:如令wn=nw(n=0,1,2,...)对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有如图此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,傅氏积分定理若f(t)在(-,+)上满足条件:(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;(2)f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,则有上式也可以转化为三角形式又考虑到积分1.2傅里叶变换2.1傅氏变换的定义若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有f(t)与F(w)可相互转换,可记为F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]F(w)称作f(t)的象函数,f(t)称作F(w)的象原函数上式中的被积函数在复平面s上的解析函数，取如图所示的闭曲线l:ABCD矩形.由柯西积分定理，有其中，当R→+∞时，有因此，钟形函数的傅氏变换为求钟形脉冲函数的积分表达式1.2.2傅里叶变换的性质1.线性性质设F1(w)=F[f1(t)],F2(w)=F[f2(t)],a,b是常数,则F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即F-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)2.位移性质4.积分性质例6：求具有电动势f(t)的LRC电路的电流，其中L是电感，R是电阻，C是电容，f(t)是电动势解：设I(t)表示电路在t时刻的电流，根据基尔霍夫(Kirchhoff)定律I(t)适合如下的积分微分方程：对等式两边同时关于t求导得对二阶微分方程两端取傅氏变换得5.对称性与相似性6.卷积与卷积定理注：卷积满足交换律.在积分中,令u=t-t,则t=t-u,du=-dt,则卷积满足结合律,[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]卷积满足对加法的分配律,f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)解：由卷积的定义有证：按傅氏变换的定义,有故7.功率定理定理：如果f1(t),f2(t)为实函数F1(w)=F[f1(t)],F2(w)=F[f2(t)]8.自相关定理称为f(t)的自相关函数(简称相关函数).用记号R(t)表示,即第二章拉普拉斯变换2.1拉普拉斯变换的概念2.3拉普拉斯变换的性质2.2拉普拉斯逆变换2.1拉普拉斯变换的概念2.1.1拉普拉斯变换的概念在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式),记为F(s)=ℒ[f(t)]F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数).而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为2.1.2拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:(1)在t0的任一有限区间上分段连续(2)当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得|f(t)|Mect,0t<则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.解：根据拉氏变换的定义,有F(s)=ℒ[u(t)]=这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有例2:求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).解：根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有2.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换例3:求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换解：F(s)=ℒ[sinkt]=同理可得ℒ[coskt]=ℒ[shkt]=ℒ[chkt]=G-函数(gamma函数)简介,在工程中经常应用的G-函数定义为利用分部积分公式可证明例4求幂函数f(t)=tm(常数m>-1)的拉氏变换.解：由于s为右半平面内的任意复数，设s=reiq(-900<q<900),z=st,则ℒ[tm]=ℒ[tm]=上式右边的积分路线为从原点出发，沿直线BA至无穷远点由于在除原点外的复平面上解析，故由柯西定理知同理可得因此，当R→∞+，r→+0时2.2拉普拉斯逆变换建立的从F(s)到f(t)的对应称作拉普拉斯逆变换(简称拉氏逆变换).用字母ℒ-1表示，即f(t)=ℒ-1[F(s)]它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷定理:若s1,s2,...,sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取a使这些奇点全在Re(s)<a的范围内),且当s时,F(s)0,则有例1:求下列函数的拉氏逆变换2.3拉普拉斯变换的性质设所要求进行拉氏变换的函数的拉氏变换均存在，且记ℒ[f(t)]=F(s),ℒ[g(t)]=G(s)1.线性性质ℒ[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)ℒ-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)其中a,b是常数2.微分性质(1)像原函数的微分性质i)ℒ[f'(t)]=sF(s)-f(0)ii)ℒ[f(n)(t)]=sℒ[f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f'(0)-...-f(n-1)(0)(2)像函数的微分性质i)F'(s)=ℒ[-tf(t)]ii)F(n)(s)=ℒ[(-t)nf(t)]例2:利用微分性质求函数f(t)=sinkt的拉氏变换.解：由于f(0)=0,f'(0)=k,f''(t)=-k2sinkt,则ℒ[-k2sinkt]=ℒ[f''(t)]=s2ℒ[f(t)]-sf(0)-f'(0).即-k2ℒ[sinkt]=s2ℒ[sinkt]-k移项化简得ℒ[t2coskt]=ℒ[(-t)2coskt]=3.积分性质(1)像原函数的积分性质(2)像函数的积分性质当s=0时，有顺便可以得到：4.延迟性质如果t<0时f(t)=0,则对于任一非负数t有ℒ[f(t-t)]=e-stF(s)或ℒ-1[e-stF(s)]=f(t-t)5.位移性质ℒ[eatf(t)]=F(s-a) 或ℒ-1[F(s-a)]=eatf(t)例7:求ℒ[e-atsinkt]6.相似性质它满足交换律: f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)同样,它还满足结合律与对加法的交换律,即f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t)f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)7.卷积与卷积定理定义：如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t<0时,f1(t)=f2(t)=0,则积分例8:求t*sint卷积定理假定f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件,且ℒ[f1(t)]=F1(s),ℒ[f2(t)]=F2(s),则f1(t)*f2(t)的拉氏变换一定存在,且ℒ[f1(t)*f2(t)]=F1(s)F2(s),ℒ-1[F1(s)F2(s)]=f1(t)*f2(t)2.4拉氏变换的应用微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解.如下图所示.象原函数(微分方程的解)象函数微分方程+初始条件象函数的代数方程解：设ℒ[y(t)]=Y(s).对方程的两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得解出Y(s)即Y(s)有三个单极点为-1,1,-3B'(s)=3s2+6s-1,因此解：设ℒ[y(t)]=Y(s),ℒ[x(t)]=X(s),对两个方程取拉氏变换并考虑到初始条件,得整理得解此线性方程组例3：如图所示电路中，当t=0时，开关K闭合，接入信号源e(t)=E0sinwt，电感起始电流等于零，求I(t).解：根据基尔霍夫(Kirchhoff)定律I(t)适合如下的积分微分方程设ℒ[I(t)]=I(s),对二阶微分方程两端取傅氏变换得取逆变换，并根据卷积定理得