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周期性驱动的Duffing振子

周期性驱动的Duffing振子1周期性驱动的Duffing振子ZHENGWEI1.多尺度方法考察周期性驱动的Duffing振子：2302sin,xxxxftwklq下面我们将采用微扰论来考察这个问题。首先我们将方程重新写为：2302sin,xxxxftwekleq我们采用多尺度方法。首先，定义不同的时间尺度：01,,,TtTte因此对时间的微分就变为：0101012201012001,,,2,dTTdttTtTDDdTTTTdtDDDeeee...

1周期性驱动的Duffing振子ZHENGWEI1.多尺度方法考察周期性驱动的Duffing振子：2302sin,xxxxftwklq下面我们将采用微扰论来考察这个问题。首先我们将方程重新写为：2302sin,xxxxftwekleq我们采用多尺度方法。首先，定义不同的时间尺度：01,,,TtTte因此对时间的微分就变为：0101012201012001,,,2,dTTdttTtTDDdTTTTdtDDDeeee其中nnTD。同时我们将解展开为如下形式：001101()(,,)(,,),xtxTTxTTe我们先来考察近共振的情况，即0w。这时我们可以将驱动频率写为：0wes。那么驱动力就可以写为：001sinfTTewsq。那么将上式带入方程，保留到e的一阶：22000022301010010100000:0,1:sin22,nDxxnDxxfTTDDxDxxwwwsqkl由零级方程我们可以得到：000000111(,)()(),iTiTxTTATeATeww将其带入第二个方程，我们就得到：000010022330012010h.c.223h.c.1h.c.2iTiTiTiTDxAeiDiAAeifeewwsqwwlwkwl2为了消除共振项（即久期项），我们要求：1210030,24iTifiAAeTsqlkww我们看到这是一个一阶非线性方程。现在我们设：1()111()(),2iTATTefx将其带入方程就得到：12110030,82iTfieTTsfqxflkxxxww这时我们再定义：1Tasfq。并且将上式的实部和虚部分开，就得到：102100cos0,23sin0,82fTfTxkxawalxsxaww考察稳定振动的情况，即11//0TTxa，那么上式就变为：02002cos,32sin,8ffwxkalwxsxaw两式平方相加，我们就得到：222220032,8flksxwxw这是一个关于2x的三次方程。求解这个三次方程，我们就可以确定稳定解的振幅。我们知道一个三次方程可能有三个实根，这就意味着在给定参数下，其可能存在不同的稳定解。我们可以将上述方程化为：22222003,84flsxkwwx由此我们可以画出函数()sx，其反函数就是()xs。如下图：31.00.50.00.51.00.00.51.01.52.0由此可以看到当s比较大时，有三个稳定的振幅。这就是所谓的双稳态（其对应着一级相变，双稳态实际上就是气液共存相）。确定了振幅之后，我们就可以进确定相位：0200202cos13,tan,823sin8ffwxaklasxkwwxlasxw由此我们完全确定了稳定振动的零阶解00()xT为：0000001()cos,cos,cos,xTTTTtxwfxwsqaxqa有了零阶解，我们就可以进一步的去求解一阶解。2.谱分析现在我们对零阶解0()xt来做频谱分析。首先将振幅写为：02223008,22flwxwsxkw将其带入0()xt，我们就得到：000222300823008()coscossinsin,222cos2sin,xtttfttlwlwxaqaqwsxkwkwqwsxq以及其速度：40000222300823008()()222sin2cos,vtxtfttlwlwwsxkwkwqwsxq当0l，我们就得到：022000000022000000()222sin2cos,()222sin2cos,fxtttfvtttwwkwwwqkwqwwkwkwqwwq对比谐振子的情况：2222022022220220()2sin2cos,()2cos2sin,fxtttfxtttwkwqkqwkwqkq我们看到在近共振的情况0w，两者是一致的。

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