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数学分析(陈纪修.上下册).pdf

数学分析(陈纪修.上下册)

千年不化的冰
2018-01-07 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《数学分析(陈纪修.上下册)pdf》,可适用于高等教育领域

第一章第节.()|xx()|),(yxyx且()Qxxx且|()Zkkxx,|.()不正确。BxAxBAx或者()不正确。BxAxBAx并且第节.(),,:bafabaxyx()),(),(:f)tan(xx.())(logxya定义域:,,值域:),(()xyarcsin定义域:,值域:,()xytan定义域:,kkZk值域:,()xxy定义域:,,值域:,,.()定义域:)(,kkZk值域:,()定义域:,kkZk值域:,()定义域:,值域:,()定义域:,,值域:,.())(xxxxf())(xxxf。.())(xxxff)(xxxfff)(xxxffff。.)()()(xfxfxf)()(xfxf)()(xfxf是偶函数)()(xfxf是奇函数.,,,xxxxxxy.,,xxxxxy.,,,)(xxxxxxxP.为无理数为有理数xxxxxf)(第二章第节.()反证法。若是有理数则可写成既约分数nm。由nm可知m是偶数设km于是有kn从而得到n是偶数这与nm是既约分数矛盾()提示:利用()的结论第节.()提示:)(nnnCnnn()提示:当n有!!nnn()提示:记n的整数部分为m则有mnnn!()提示:证明不等式nnnnnn)(.提示:证明并利用不等式axax.()()()()提示:应用不等式))((kkk.()()()()()()()()()()提示:设nnnx则nnnx两式相减得到nnnnx)(.提示:nnnnnaaaaaaaa.()提示:设nnSaaa则nknkknkSnSka再利用例的结论()提示:利用定理与().提示:令nnnnbbaa,.提示:注意有anaaannlim第节.()提示:设nnalim则GaNnNGn:,,。对固定的N:,NnNNGnaaaN于是naaannaaanNNGGGnaaaN。.提示:记k则nnnnnnnnkaakakaaa再利用Stolz定理.提示:作代换kkkAAa得到nnnpapapapnnnnnpppAppAppAA)()()(再对后一分式应用Stolz定理第节.()e()e()e()()e提示:当n时有nnnnnnn.()依次证明nxnx单调增加limnnx()依次证明nxnx单调增加limnnx()依次证明nxnx单调减少limnnx()依次证明nxnx单调增加limnnx()依次证明nxnx单调减少limnnx()依次证明nxnx单调增加limnnx.,提示:对x依次证明对任意n有nx当n时nx及nnnnxxxx即nx单调减少有下界对x依次证明对任意n有nx及nnnnxxxx即nx单调增加有上界.ba提示:先求数列nnxx的通项公式)(abxxnnn再利用)()()(nnnxxxxxxxx.()提示:byyxxannnn()提示:n时baxxyybaabnnnn.提示:数列kx单调增加数列kx单调减少.()提示:证明不等式)(nkmnkk.()反例:nxn()提示:nm利用不等式nnmmmmnmxxxxxxxx.提示:利用Cauchy收敛原理.提示:采用反证法。不妨设nx是单调增加的有界数列。假设它不收敛则NNnm,:nmxx取:,nmxxNnmN:,nmxxNnmmN取:,kknmkkkkkxxNnmmN取于是)(kkxxnmk与数列nx有界矛盾第三章第节.()()()()()n())(mnnm()acos()()().()提示:当nxn则xxnn当nxn则nnxx()提示:当nxn则nxnnxn)(.()提示:)(xkxkaxax利用)(limnknan()提示:令txln再利用()的结论.())(limxfx)(limxfx)(limxfx)(limxfx)(limxfx())(limxfx)(limxfx())(xD在任意点无单侧极限())(limxfnx)(limxfnx.()()不存在()sinlimxxx()不存在()()不存在.存在提示:)(lim)(limxfxfxx.():,,nxNnN():,,GxNnNGn())(:),(,,Axfxxx())(:),(,,GxfxxxG())(:),(,,AxfXxX())(:),(,,GxfXxXG.提示:),(x利用)()(xfxfn与Axfxfxnn)(lim)(lim第节.())(,kkZk(),kkZk(),,()N,|xxx(),|),(),(kZkk())(,kkZk.提示:)()()()(,maxxgxfxgxfgf)()()()(,minxgxfxgxfgf.()()e()aecot()xe()e.(),x第二类不连续点()),(kZkkx第一类不连续点x第二类不连续点()),(kZkkx第二类不连续点x第三类不连续点())(Zkkx第一类不连续点()x第三类不连续点()x第三类不连续点()x第一类不连续点x第三类不连续点x第二类不连续点()x第三类不连续点()非整数点第二类不连续点()非整数有理点第三类不连续点.提示:),(x利用)()(nxfxflimnxn及)(xf的连续性得到)()(fxf第节.())(xu~)(xx)(xu~)(xx())(xu~)(xx)(xu~)(xx())(xu~)(xx)(xu~)(xx())(xu~)(xx)(xu~)(xx())(xu~)(xx)(xu~)(xx())(xu~)(xx())(xu~)(xx())(xu~)(xx())(xu~)(xx())(xu~)(xx.()lnkx(k>)x(>)ax(a>),x!,xx()xx,!x,ax(a>)x(>)xkln(k>).()()()()()aaln()a()()a()e()e()xln()xln第节.提示:()在),(上令nxn#nxn#nnxx但sinsin#nnxx在),(a上利用不等式sinsinaxxxxxx()在),上令#nxnnxn#nnxx但sinsin#nnxx在,A上利用不等式sinsinxxAxxxx()利用不等式xxxx()利用不等式lnlnlnxxxxxxx()利用不等式coscosxxxxxx.提示:过P点作弦设弦与x轴的夹角为P点将弦分成长度为)(l和)(l的两线段。则)()()(llf在,连续满足)()(ff于是在,必有一个零点.提示:令)()()(xfxfxF则)()(FF于是)(xF在,必有一个零点.提示:)}({min,xfbax)()()(nxfxfxfn)}({max,xfbax.提示:由Axfx)(lim:,#,,XxxaX)()#(xfxf。由于)(xf在,Xa连续所以一致连续也就是:)#(,,#,xxXaxx)()#(xfxf。于是:)#(,,#xxaxx)()#(xfxf第四章第节.克第节.())(#xf())(#xf())(#xf.提示:证明)(f)(#f.()不可导点:)(Zkkx)(kf)(kf()不可导点:)(Zkkx)(kf)(kf()不可导点:x)(f)(f()不可导点:x)(f)(f.()可导()ba时可导其他情况不可导()不可导()a时可导a时不可导.()不一定反例:xxxfcos)()(limxfx)sin()(#xxxf)(#limxfx不成立()不一定反例:xxf)(第节.()xxxcos()xxxxsincos()xxxxxcos)(sin)(())sectansec()sectan(xxxxxxx()sin)cos(sinxxxxex())sin()lncos(xxxxxxx())cos(sinxxx())()lnsin())(cossin(xxxxxxxxxxx()xxxxxxxxlncotln)csc(())cossin()cossin(xxxxxx())lnln(arcsin)ln(xxexxexx())chsh)(ln(csc)csc(cotshxxxxxxxxxxx())csc()csccot)(sec()csc)(sectan(xxxxxxxxxx()xxxxxxxarctan)()sin(arctan)cos)((.提示:设切点为),(xxxxfalog)(利用)(xxf与)(#xf解出x与a.exynn)(lim.)(|),(ycbxaxayxS|),(ycbxaxyxS)(|),(ycbxaxayxS第节.()))((xxx())sincos(xxex())(xx()lnlnxxxx()cosxx()xxsin())(xxxxx()xex())()(xxx())sin()cos(xxxx())())(ln(ln)(xxxxxx())csc(cotcsccscxxxxx())()(xxxx()xexsinsin())(xaaaxax.()xcot()xcsc()axaxaxa()ax()ax.())(#xfx())ln(#lnxfxx())()(#xfxf())()(#xfxf()))((#)(#xxxeffefxe()xxfxfcos)(sin#))(sincos(())(#)()(#xffxfxf()))(()(#))((#xffxfxff.()xxx)ln(())sinln()sin(cos)sin(xxxxxxxxxxx()xxxxxcostancosln())(ln)ln()()ln(lnxxxxxx())(xxxxxxxx()niniiixxxx)(()xxxxxxcosln.()yy()yyxee()yyxyxysincos)(sin)(sin()xyxyy()xyeyxeyxyx())(sec)(secyxxyyx()xyxyyxysinlncos()axyxay.()abt()tt()ttttttsincoscossin()teab()ttan()atabtbchsh()()tt()tttttcossintan)cos(sin()t.()dxxuhugufuhugufuhuguf)(#)(#)()()()(#)()()()(#()dxxuhuhugufuhugufuhuguf)(#))(()(#)()()()(#)()()()(#()dxxuhuguhuhuguhug)(#)(ln)(#)()(#)()()(()dxxuhuguhuguguhuhuguh)(#)(ln)()()(ln)()(#)(ln)(#)(()dxxuhufuhufuhuf)(#)()()(#)()()(#()dxxuhufuhuhufuf)(#))()(()(#)()(#)(第节.()###y()xxxyln())(xxxy()lnxxy()sincosxxxxycos)(sin###xxxxy()xxxxxysincos)(xxxxxysin)(cos)(###()xexxy)(###())()(arcsin)(xexxxxxy()xxxxxysin)(cos)()(()xxxxysh)ch()(.())sin()(nxynnn()nkkkknknnxnxkCxy)()!()(lnlnln())(!)(kknkknxnxkCey()nkkknnnxxny)()()(!)(())cos()(kxCeykknnkknxn()cosxy)()cos()(nnxynn.())(##)(#####)#(xxfxfxxf()########)#(xxfxxxfxfxf()ln#ln###)#(lnxxfxfxf())()(#)()(###)#(lnxfxfxfxfxf())(#)(##)(#####)#(xxxxxxxefeefeefeef())()(arctan#)(arctan###)#(arctanxxxfxfxf.()提示:由)(#xy两边求n阶导数nkkknknxyC)()()(以x代入得到递推公式)()()()()(nnynny从而得到为偶数为奇数nnynn)()()(()提示:利用##)(#yxxy类似()得到为偶数为奇数nnnyn!)!()()(.())#(####xeyxyxeyxyyyxyx其中)(#xeeyxyyxyx())(sec#)#)(tan()sec(##yxxyyyxyxy其中)(sec)(sec#yxxyyxy()xyxyyxyyxyyxyysin)#(#cos#sin##其中xyxyyxyysinlncos#()#)#(##yaxayyyxy其中axyxayy#.()tabdxyd())cossin(tttatdxyd())cossin(cossintttttttdxyd()teabdxyd())(tdxyd()atabtatbbtatabdxydcos)coscossinsin(.())(tan)tan(tansec)sec(dxxxxxxxxyd())(dxexxxxydx())(dxxxxyd())(tan)()tan()(secdxxxxxxxxxyd())cos(sindxxxxyd())ln(dxxxxydx()nnknnndxkxxnydln!)(()nnkkkndxknkkxxnyd)!()!()cos()!(.()tansec)(#sec)(dxxxufxuf()ln)ln)((#ln)(dxxxxugxug())()()(#)(#)()()(#)()()(#duugufugufugufudugufuguf())())(#()()()()(#duugugugugudugug()udugugufuguf)()(#)()()(#)())(#)(()()(#)(#)()()()()(duugugufugugufugugufuguf第五章第节.提示:令)()()()()()(axbgagbfafxF)()()()()(xgagxfafab在,ba上对)(xF应用Rolle定理.提示:利用Lagrange中值定理)(arctanarctannananana其中),(nana注:也可利用xyyxyxarctanarctanarctan.提示:证明)(xf在每一点的导数为零.()提示:令xxxxfsintan)(则coscosseccossec)(#xxxxxxf()提示:令ppxxxf)()(,证明)(xf在x取到最小值p()提示:令tansin)(xxxxf,x则xxxxxfsecsinsin)(#cossincoscos)(xxxxxf显然)(xf由)(#f可知)(#xf再由)(f得到)(xf.limnnx提示:nx单调减少且当n时nx.()提示:在,上对)(xxfex应用Rolle定理.提示:令)(xxg对)(xf与)(xg在,ba上应用Cauchy中值定理.提示:令xexxf)(xxg)(对)(xf与)(xg在,ba上应用Cauchy中值定理.提示:令xxg)(对)(xfx与)(xg在,ba上应用Cauchy中值定理.提示:对,x)(xfex显然是有界的对x有)())()(()(fefxfexfexx)()()(feeefxfx其中)()(eefxfx)(#fe是有界的.提示:注意)(#xfx在a,有界并考虑)()(xxxfxf.提示:视nxxf)(为nnxfxf)()(应用Cauchy中值定理并逐次进行下去.提示:利用数学归纳法注意niiixf=nnniiiniiniixxf)()(nnniiiniiniixfxf.提示:利用xxxxxxfxfxxfxxf)()()()(.提示:在区间bba,上对)()()(abxfxfxg应用Lagrange中值定理第节.()()()()nmanm()()()()()()()()()()()()e()()()()e.提示:)(lim)()(lim)(#xxgxfxffxx.连续提示:)ln(limxxxx.提示:)ln()()(limln)(limxxxfxfxxfxx.提示:)(limxfxxxxexfe)(lim第节.提示:)ln()ln()(xxxxx.提示:由nnhhxfnhxfhxfxfhxf)(!)(!)(#)()()()()()!()(!)(!)(#)()()(nnnnnhhxfnhxfnhxfhxfxf得到)()()()()()()(xfnhxfhxfnnn第节.())(xxxxx())(!cos!sin!cossincosxxxxx())(xxxx())(xxxx())(xxxx())(xxxx())(xxxx())(xxx())(xxx.())()(xx()nnnexneexeexe)()()()(nex)(()nnxnxxx)()()()()(nx)(()nxnnxxx))(sin(!)()()(nex)(()nnnxnnxx)(!!)!()()()(nx)(.()()aln()()()()()().(),xxy()y())(xy(),xxy()不存在(),xx()xyxy,()xy()y()xy()xyx()xyx。.提示:分别对极限limnnxn和nnynlim应用Stolz定理.提示:设)(xf则)(#xf以x和x代入)(xf在点x的Taylor公式))(()(xxfxf得到)()()(xxff.提示:任取,x以x和x代入)(xf在点x的Taylor公式得到)()(#)()(xfxxfxff))(())((#)()(xfxxfxff两式相减得到)()()()(#xxffxf.提示:设)(xf则)(#xf以x和x代入)(xf在点x的Taylor公式))(()(xxfxf得到)()(maxxxxfx.提示:设)(max)(xfxfbxa若ax或b则结论自然成立设bxa以ax和bx代入)(xf在点x的Taylor公式))(()()(xxfxfxf得到)()()(max)(maxxbaxxfxfbxabxa第节.()极值点:,x单调区间:,(增加,减少),增加()无极值点单调区间:),(增加()极值点:ex单调区间:,(e减少),e增加()n是偶数时极值点:nx,单调区间:,(减少,n增加,),n减少n是奇数时极值点:nx单调区间:,(n增加,),n减少()极值点:,x单调区间:,(增加),减少,(减少,),增加()极值点:x单调区间:,(增加,减少),增加()极值点:x单调区间:,(增加),减少,(减少,),增加()极值点:x单调区间:),增加,,(减少()极值点:,kkxZk单调区间:,kk减少,kk增加,kk减少,kk增加,kk减少,kk增加()没有极值点单调区间:),(减少()极值点:lnx单调区间:ln,(减少,),ln增加()极值点:x单调区间:,(增加,),减少()极值点:x单调区间:,(增加,),减少()极值点:ex单调区间:,(e增加,),e减少.()拐点:),(保凸区间:,(下凸,),上凸()拐点:),(kkZk保凸区间:,kk上凸,,kk下凸()没有拐点保凸区间:),(下凸()拐点:),(e保凸区间:,(上凸,),下凸()拐点:)(,,)(,保凸区间:,(下凸,),上凸,,(下凸,),上凸()拐点:),()(,)(,保凸区间:,(下凸,,上凸,,下凸,),上凸()没有拐点保凸区间:),(下凸()拐点:),(保凸区间:,(下凸,),上凸()没有拐点保凸区间:),(下凸()拐点:)ln,()ln,(保凸区间:,(上凸,,下凸,),上凸()拐点:arctan,e保凸区间:,(下凸,),上凸()没有拐点保凸区间:),上凸当n是奇数时,ax不是)(xf的极值点当n是偶数,)(a时,ax是)(xf的极小值点,当n是偶数,)(a时,ax是)(xf的极大值点当n是奇数时,ax不是)(xf的极值点当n是偶数,)()(afn时,ax是)(xf的极小值点,当n是偶数,)()(afn时,ax是)(xf的极大值点h拐点:,切线方程:yxyx()n()n.提示:由函数xxy的单调增加性,得到||||||||||||bbaababbaababababa.提示:设)(axxexfx则)(faxexfx)(#证明)(#xf在lnx取最小值,最小值为ln)(ln#af提示:设kxxxfarctan)(,则)(fkxxf)(#当k时,)(#xf,),(x所以在),(上)(xf当k时,由)(#f,)(limxfx,可知)(xf必有正实根nkkanmaxahS矩形的边长分别为a与babHR::提示:参考例题。第六章第节.()Cxxx()Cxexcos()Caaxaxaln()Cxxcot()Cxxseccot()Cxxxx()Cxxx()Cxxxxx()Cxxxlnlnln()Cxxln()Cxxcossin()Cxxarcsinarctan()Cxx()Cxcsc.曲线方程:lnxy.()Cxxy()曲线方程:xxy第节.()Cxln()Cxarcsin()Ceexxln()Cex()Cxxxlnlnln()Cxarctan()Cxxxcoscoscos()Cxtan()Cxxcoscos()Cxxsin()Cxx()Cxcos()Cx)(()Cxcot()Cxx)cos(sin()Cxarcsin()Cx)arctan(()Cxxarcsin()Cxcosln()Cx)arctan(sin.()Cxex)ln(()Cxxln()Cx)(arctan()Cxxln()Cxx)()(()Cnxnxnxnnn)()()(()Cxxxx)()(()Cxxarccos()Cxx()Caxax()Caxxaaxln()Caxaxaxxaarcsin)(()Cxx)ln(()Cxxx)()()(()Cxarccos()Caxaxaxarcsin()Cxaxa)(()Cxx)arcsintan(arcsin()Cxxxxln)()(()Cxxnnnln.()Cexexx()Cxxxx)(||ln||ln()Cxxxxsincos)(()Cxxx|sin|lncot()Cxxxxcossin()Cxxxarcsin()Cxxx)ln(arctan()Cxxxx)ln(arctan()Cxxxx|cos|lntan()Cxxxarcsin()Cxxx)(ln()Cxxxln()Cxxex)sincos(()Cxxex)cossin(()Cxxxxlnlnln()Cxxx)lncosln(sin()Cxxxxxarcsin)(arcsin()Cxxex)(()Cxex)(()Cxxxx)ln(.Cxxxx)sin()sin(cos提示:对dxxfxf)(#)(采用分部积分.Cxx||ln.Cxeexx)ln()(.提示:令dxxxxAcossincosdxxxxBcossinsin计算BABA,.(),cos,CxICxIcossin)(xxInnInnn(),|cos|ln,CxICxItannnnIxnI(),|tansec|ln,CxxICxIcossin)(xxInnInnn(),cossin,cosCxxxICxI)(cossinnnnnInnxxxnxI(),)cos(sin,CxxeICeIxx)cos(sinsin)(xnxxeInnnInxnn(),CxI)ln(nnnnIxxI(),,arcsinCxICxI)(xxInnInnn()xICxxIln)(nnnxnxInnI。.()Cxxxxxxxx||ln)()(()Cxxxxxxxx||ln)()(()Cxxxxx||ln()Cxxxarcsin.提示:证明dxexaxiiixixeia))((ixixeiiaxeiaxi)!(dxxeiaxi)!(第节.()Cxxx)(ln()Cxxxxarctan)ln(||ln||ln()Cxxxxxx)()(||ln||ln||ln()Cxxxxx)()arctan(()Cxxxxarctan)(ln()Cxxxxxxarctanln()Cxxxx||ln()Cxxxxxarctan)(ln()Cxxxarctanln()Cxxxxxx)arctan()arctan(ln()Cxxxxarctanln()Cxxxxxarctan)ln(||ln||ln()Cxxxxarctan()Cxx||ln||ln()Cxxxx)arctan()(()Cxnxnxnnnarctan)(.()Cxx)(()Cabaxarcsin()Cxxxxarcsin)(()Cxxxln()Cxxxxx)ln(()Cxxxxxlnln()Cxx)ln(()Cxxx()Cxxx)ln(()Cxx()Cxxxxxarctan)ln(()Cxxxarctanln.提示:令txa则dtcttRdxxbxaxR),(),,(再令utct.()Cxxtantanln()Cxtanarctan()Cxx)tanarctan()tanarctan(()Cxtanln()Cxtanarctan()Cxxx)cos()cos)(cos(ln()Cxxtantanln()Cbxaxba)cos()sin(ln)cos(()Cxaxxa)cos(coslncot()Cxxx)tan(ln)cos(sin()Cxcot()Cxx)tanarctan(.()Cexx()Cxxxxx)ln(ln()Cxxxxxx)ln()(ln()Cxxxxxlnln()Cxxxxexcos)(sin)(()Cxxxxarctan)ln(()Cxxxxxarcsin)(arcsin()Cxxarctan()Cxxxarctan)(()Cxxxxcos)(sin()Cxxtan()Cxxsinsinln()Cxxxxtanseclntansec()Cexxxsin)sec(()Ceexxln()Cbxaabtanarctan()Cxxln()Cxxxxln()Cxxxxxarcsin)(arcsin()Ceexxx)ln(第七章第节()可积()不可积()不可积()可积提示:)()(fmfii提示:充分性:设Mxf)(,存在划分P,使得振幅i的小区间的长度之和小于,于是niiiabMx)(必要性:如果存在与对任意划分P振幅i的小区间的长度之和不小于,于是niiix则当maxinix时niiix不趋于零提示:由于)(ug在,BA连续,所以一致连续,,

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