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[第3讲]容斥原理

[第3讲]容斥原理容斥原理属于杯赛中常考的内容。在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用...

容斥原理属于杯赛中常考的内容。在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B(其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。1．先包含——A＋B重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；2．再排除——A＋B－A∩B把多加了1次的重叠部分A∩B减去。 A类、B类与C元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C…测试题 1．(第七届“中环杯” 小学生思维能力训练活动初赛四年级 )希望小学四年级有50名学生，有26人参加乒乓比赛，21人参加篮球比赛，两项比赛都不参加的有17人。两项比赛都参加的有()人。2．某大学某班学生总数为人，在第一次考试中有人及格，在第二次考试中有人及格，若两次考试中，都没有及格的有人，那么两次考试都及格的人数是()。3．(第二届小学迎春杯数学竞赛)有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？4．有一根长厘米的绳子，从左端开始每隔厘米做一个记号，每隔厘米也做一个记号，然后将标有记号的地方剪断，问绳子共被剪成多少段？5．二年级一班共名同学，其中少先队员人。这个班男生人，女生中有人不是少先队员，男生中有多少人是少先队员？6．有三个面积各为平方厘米的圆纸片放在桌面上。三个纸片共同重叠的面积是平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分的面积之和是多少？7．五年级班有名学生参加三项课外活动，其中人参加了绘画小组，人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的倍，又是三项活动都参加人数的倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有人，求参加朗诵小组的人数。8．甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了个故事，乙读了个故事，丙读了个故事，那么甲、乙、丙人共同读过的故事最少有多少个？答案1．【分析】【法二】：将参加乒乓球的人看成A类元素，参加篮球的人作为B类元素，那么参赛总人数为接下来根据公式，可以知道人。【法二】：根据韦恩图，设所求部分人数为人，那么整体就分为四块，人数分别为17人，。那么，所以人。2．【分析】设第一次考试中及格的人()，第二次考试中及格的人()　　显然，；，则根据公式那么两次考试都及格的人数是人。3．【分析】(法)在人中懂英语或俄语的有：(人)。又因为有人懂英语，所以只懂俄语的有：(人)。从位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的人就是既懂英语又懂俄语的旅客。(法)在人中懂英语或俄语的有：(人)学会把公式进行适当得变换，由包含与排除原理，得：(人)4．【分析】每隔厘米做一个记号，记号有(个)，每隔厘米做一个记号，记号有(个)，因为，所以其中重合的记号有(个)，绳子上共有(个)记号，绳子被剪成(段)。5．【分析】二年级一班共名同学，这个班男生人，这个班女生人，女生中有人不是少先队员，女生中有人是少先队员，男生中有人是少先队员。6．【分析】设阴影部分为，则，解得。或者平方厘米7．【分析】三项都参加的人数为，参加朗诵小组的为，既参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数也为。根据公式列出方程，解得，所以参加朗诵小组的人数为人。8．【分析】先考虑甲、乙两个人，甲、乙都读过的故事至少有(个)，甲单独看的故事是(个)，乙单独看的故事有(个)，要使三人共同读过的故事最少，则丙应该尽量读甲或乙单独看的故事，所以三人共同看过的故事最少有(个)。

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