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嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏.pdf

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数理人文 2018-02-01 评分 0 浏览量 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《嵌入不等式——数学竞赛命题的一个宝藏pdf》,可适用于自然科学领域,主题内容包含中等数学嵌入不等式mdashmdash数学竞赛命题的一个宝藏朱华伟(广州大学教育软件研究所)中圉分类号:t.文献标识码:A文章编号:()mdash一符等。

中等数学嵌入不等式mdashmdash数学竞赛命题的一个宝藏朱华伟(广州大学教育软件研究所)中圉分类号:t.文献标识码:A文章编号:()mdash一关于嵌入不等式定理对ABC和任意的实数z、Y、z均有zYz一yzcosAzxcosBxycosC其中当且仅当搿:y:z=sinA:sinB:sinC时式等号成立.不等式称为嵌入不等式.显然嵌入不等式中的条件么A么B么C=c可推广到么A么曰么C=(尼)瓦嵌入不等式还有一个形象的几何解释:如果么A、么B、么Cc且对任意的实数聋、Y、z不等式都成立则么A、么日、么C一定可成为某一个三角形的三个内角或某一个平行六面体共点的三个面两两所夹的内二面角.嵌入不等式最早出现在J.Wolstenholme的著作(年)中.年M.S.Klamkin将其推广为:定理对ABC和任意的实数戈、Y、彳和正整数/,均有名)二ge(一)rdquo(yzcos凡AZXCOSnBxycosnC).不等式称为J.WolstenholmemdashKlamkin加权三角不等式.以嵌入不等式为源头的几何不等式在不等式、中只要求/A、么B、收稿日期:mdashmdash么C满足/A么B么C=(.|})cz、八z可以为任意实数凶而并、)、z也可以为任一三角形的三条边.所以它们是产生新几何不等式的一个源头(又称为ldquo母rdquo不等式).例如在不等式中设z=COSAY=COSBz=COSC并利用熟知的恒等式COSACOSBcosccos^middotCOSBmiddotCOSc:l则有题在ABC中求证:c。sAcosB.cosGledivide.在不等式中设石、)、z是i角形的三条边且这三条边所对的角分别为任、p、y分别取a=詈、卢==号及a=字、卢==詈并应用正弦定理推演则依次得到题、题:题在ABC中求证:CAradic(COSBCC)le.当且仅当么A=divide、么B=么c时上式等号成立.题在ABC中求证:CAradic(COSBcosc)lemdash}.当且仅当么=竽、么B:么c:导时上式等号成立.在不等式中取rdquo=(radic詈存乒卜ldquouml则有万方数据年第】期题对ABC和正实数P、q、r求iiE:pcosAgcosBrcosGle寺(卫P詈譬).以嵌入不等式为背景的竞赛题在近年的国内外数学竞赛中以不等式为背景的竞赛题频频出现.题已知正实数a、b、c满足abc=abc.求证:l】万i万甭万ile丁rsquo并判断等号在何时成立.(韩国数学竞赛)证明设a=tanAb=tanB。C=tanc.则欲证不等式可变为c。sAc。sBc。Gle虿.已知等式可以变为tanAtanBtanC=tanAmiddottanBmiddottanC或一tanA=i笔:揣=ta.(Bc).因此么A么曰么C=(n)兀在不等式中取菇=Y=z=即得所要证明的不等式。此题可进一步推广为:已知正实数a、b、C满足abc=abc.实数u、秽、W满足lttrW.求证:型丝旦石i而手石iClemdashmdashmiddotradic口~/lradicl题设ABC为锐角三角形.求证:(cc。o。s日A/#弋ccjo。sBc/\cc。o。AC)cosAmiddotCOSBmiddotCOSCge.(MOSP)证明将所证不等式写成关于COSA、CB、COSC的形式.由恒等式得mdashcosAmiddotCOSBmiddotCOSC=(CACOSBCOSC).故只要证明篙cos曰A/、旧co。sBc/、(筹)ge(CO$ACOSBCOSC).设戈=丽cosBCOy=S乙。COSCCOSA三:万丽由嵌入不等式得(器)旧COS。Bc、\cocos。AC\=石)z一(yzcosA就cBxycosC)=【掣百cosA.cosB百eosB.cosC】.再设石==cosBmiddotCOSC~COSAcosCmiddotCOSAcosAmiddotCOSB~COSBP一~COSC由嵌入不等式得COSCmiddotCACOSAmiddotCOSmdash磊万一mdash丽BC$BmiddotC$C~mdashmdashCOS五^=(戈z)z)I(yzcosAZ.OgCOSBxycosC)=(cosACOSBCOSC).题设%O、反(Ileile昆n)且sum哦=sum卢。=兀.则sumi=COS母lsquolesinotisumcotai.i=(第届IMO预选题)证明当n=时COS卢.mdashmdash一sinaCOS口sinotCOSSinOtICOS卢lslnal==cotacota.当n=时即要证:已知两个三角形的内角分别为Ot够、和a。,/l、y.则.COS理.COS卢I.COSyI。。。lsquor。lsquo。。。。。。。。。。一lsquo。lsquorsquo。rsquorsquo。rsquo。。。。。。。。一lsquo。。。。rsquo。lsquorsquorsquo。。。。。。一Silsquolln。sinp。siny一cotacot卢coty.由cota=鼍(Is面积)知上式等价于表示三角形的Scosa。Scos/.Scoslsinasin卢sinle口C.又由s=寺口sinrsquo知上式等价于万方数据中等数学bccosa】cacos卢abcosylle口bc.此即为不等式(甄假设所证不等式对于n一(ge)成立.则对于n有divide咝台sinafrCOS卢】。【i而COSsinoqCOS卢sinafsectmdashCOSmdash卢i【台sinfiCOS反ln仅而COS卢骞鬟SlllsIna五j。盖sin等导】(fld)JrsquoCOS履。Slnh皮)再万Jcos兀一(崩sinc一(dl)Ot)【耋慧黜】lecot(itlcotacot(丁c一仅lmdasha)sumcotoLicot(a。a:)i=一V一上一i=l冈此题cotai.对一切凡ge所征不等式成立.设口、b、C是给定的正实数.求所有的正实数石、Y、z满足方程组暖二瑟:::去ge牡如.(第届IMO预选题)解首先证明如下引理.引理方程戈于xyz=有正实数解戈、Y、z当且仅当存在一个锐角ABC使得石=cosAY=cosBz=COSc.引理的证明首先由恒等式知所有的i元数组(cosAcosBcosC)均是方程的解.反之易看出z、Y、z故存在么A、么曰isinfo等l使得z=cosAY=cosB.解关于:的方程(:isin())得z=一cos(AB、.令么C=c一么A一么B.则(zYz)=(cosAcosBcosC).回到原题.将第二个方程变形为bC.abc一十一十一十mdashmdash=lsquo..yz瓤xyxyz令ldquo={={甜={.则,/yz,/zxqxyu秒加Ⅱ剀=.根据引理存在一个锐角ABC满足ldquo=cosA秽=cosB埘=cosCj于是由第一个方程推出菇y彳=~/互ycosC~/FcosA,/=cosB即(石)(石)(石)=、/xyCOSC./yzcosA纠蹦COSB.上式即为不等式中等号成立的情形.所以立sinA=正sinB=正sinC.再利用cosA={cosB:{cosc:士/弦纠荔,/xy及余弦定理可解出bcc口Ⅱb髫下Y厂三下middot容易验证这个三元数组满足原方程组.题已知戈、Y、z为正实数算y弘gX,xyz=.求证:菇Y:ge可弦荭。(印度数学竞赛)证明将已知等式变形为(历)(压)(压)历middot行middot石=.由题的引理知存在一个锐角ABC使得qz=cosA。q戤=cosB。再:cosC.联立解得(x,yz)=(cosBmiddotCOSCcosAmiddoteo$CcosAmiddoteBe,ArsquocosBrsquoCC因此只要证明cosBmiddotC,OSCeosAmiddotcosCmdashmdashrsquorsquomdashmdashmdash、mdashrsquo。。。。mdashmdashmdashmdashlsquo。rsquorsquo。一。。rsquo。mdashlsquomdashmdashmdashmdashmdash一CArsquocos日t(COSACOSBCOSC).在不等式中取Z=cosAmiddotCOSBCOSC/cosBmiddotCOSC/sAmiddotCOSCradicmdashi丁radicmdashi矿口一a(一(sect卜眦、llI万方数据年第期两种拆分方法在解不等式问题中的应用李涛(天津师范大学数学科学学院级研究生)中国分类号:.文献标识码:A文章编号:()mdashmdash差项比较法定理对于数列{戈。}、{Y。}有茗。=茹l(x一z)(zX)(*。一戈nmdash)h:)l(托y)(yh)(hmdashhmdash).若石lge且省女XImdashlge&一儿一(后ge)则石。gey。.例求证:堡nl虿了rdquomiddot去n(尼).证明设菇。=n扎i了扣一三j。收稿日期:一则z=毙=l丢了.故z儿.又菇I一龙一l=lsquo扎一。尹两,Itldquo矿j于是只须证middot士方i..middot去.(》式右边击两rdquo.一一k)k趔~=.尹F扣一一地rsquo引rsquoI琢.设磊=詈.则z=Y缸一缸一l=寺.于是只须证明divide嘉南rdquomiddot去.i尹而ldquo歹玎rsquo拶.一厘竺竺!墨:竺竺!里lsquo一~COSCrsquo即得证.把此题稍加改造即为题设正数配、秽、似满足ldquo秽埘radiclsquo历i=.求证:radic詈radic詈radic詈geH栅舭(中国国家集训队测试题)顺便指出在大学自主招生试题中也有嵌入不等式的影子.如题l已知a卢y=。(Ot、卢、ygeO).求cos仅cospcos的最大值.解在不等式中令yz=zx=xyuml=馏舻篙舻僻且a=么A届=么B=么c.则cosac那c。syle篙.当且仅当sina:sinp:siny=divide:divide:divide时上式等号成立.由正弦定理知要确定玟、p、y只要构造一个三边长分别为了、百、上的三角形即可。故所求的最大值为面.当然有兴趣的读者还可以找出更多的以嵌入不等式为背景的数学竞赛题也可以编拟以嵌入不等式为背景的问题.由于版面的原因.不赘沭.万方数据

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