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首页 《数学通报》数学问题解答2018年第1期-第11期

《数学通报》数学问题解答2018年第1期-第11期.pdf

《数学通报》数学问题解答2018年第1期-第11期

渴望风流
2019-01-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《《数学通报》数学问题解答2018年第1期-第11期pdf》,可适用于高中教育领域

数学通报年第卷第期数学问题解答年月号问题解答(解答由问题提供人给出)形如咒=()(口isinN)的正整数不能表示成个整数的四次方和.(浙江省富阳二中许康华)证明由z三o(modl)得对任意的zz⋯zisinz都有z{z{⋯z兰⋯(modl)假设当口一ZisinNVisinN结论都成立.当盘一z时如果存在某个isinN使得孢一科()一z{z:⋯z其中zzz⋯zisinz则z{z⋯z三o(modl).所以z兰z三⋯三z三(mod)证明易知:c。s么一器又由面积公式有sin么l一褊两式相除得石乏五一藏.商S△ABD。同理可证壶=磐一甓暑.⋯壶壶一感.⋯证壶南=感.而A=AOC由此易得S△ABDmdashAS△cBD.所以A(石主五石主乙)=石主压石主夏.故蠢一()=(号)(詈)⋯(警)设口。oa。le求证:其中等等⋯警isinz.这与归纳假设矛盾.所以当口一z时对一切忌isinN结论都成立.由数学归纳法知结论成立.如图四边形ABCD对角线相交于点且A一AOC.记么AB=么么AD=么么CB=么么CDO一么.求证:DA(壶le茏):le暑击刍.(重庆市长寿龙溪中学吴波)口c、赢一mdashmdash百一多百lsquo(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平)证明记S=(nc)(口钯).应用元算术mdashmdash几何平均值不等式得ls=(口f)(口c)一壶(以f)(口c)。(口)(c)(cn)le击告((口c)(口zc)口cc口)一击divide((盘f))le所以S一(口f)(口c)le.从而口cncgedivide.如图已知上四点A、B、C、DBA交万方数据CD于EAC交BD于FEF交于H、GK为EF中点以点A、K、C作圆交EG于T求证:HFmdashTG.(江西师范高等专科学校王建荣温州私立第一实验学校刘沙西)证明如图由相交弦定理KFmiddotFTmdashAFmiddotFCmdashHFmiddotFG和EF一KF因此HFmdashTG错KFmiddotFTKFmiddotTGmdashAFmiddotFCKFmiddotHF㈢KF(FTTG、一HFmiddotFGKFmiddotHF㈢KFmiddotFGmdashKFmiddotHFmdashHFmiddotFG二。EFEF。一HFFG。EHHFEGFG⋯EHEGmdashHFFGlsquo一HFFG!由面积比可知EHmdashEGmdashS△【)EHmdashS△DE(HFFGiS△I)HFS△I珂:EDmiddot㈢西F!i旦兰堡旦型一兰旦:!i翌兰堡旦堡sin么HDFDFmiddotsin么FDG!i望兰堡里旦一!i里兰曼旦堡sin么HDFsin么FDG。、sin么HACsin么HDB.HCHBsin么GACsin/GDBlsquoGCGBrsquo再由正弦定理盎EFsin/EDFHCsin/CEHHBsin/BEHAF五乏丽FDFsin么DEFsin么DEFrsquosin么AEFEHsin么ECHrsquoEHsin么EBHrsquoHCsin么EBHsin么CEHHBsin么ECHsin么BEHAHDFAHDCDHAFDHABrsquo两边同乘等HCGBAHDCGB.HBGCHDCGBArsquo满足三弦共点定理可知嚣一筹成立古文HFmdashTG.DFAFrsquo设△ABC中的三边长分别为以f外接圆和内切圆半径分别为R一求证:Rge等ge等geradic羔ger()radicradic、/ldquo十D十lsquo(河南质量工程职业学院李永利)证明设△ABC的半周长为户则n}f一p&c一Rr户.下面分步进行证明..由熟知的不等式户le磐R可得Rge兰氅一竺丝当Sradicradic即Rge掣()radic.由三元均值不等式型要生ge托瓦可得掣ge挲()radicradics.等ge蒹㈩甘c誓ge(焉)万方数据㈢警ge揣乍号(盘f)genf甘nfgeradicnf.而上式显然成立故()式成立..由以c一尺r户nf=p和Rgerpgeradicr可得./生一./譬一以丽ge何一r.~nf~声⋯⋯rsquo。/⋯一⋯即radic群%ge一()由()()()()四式可知()式成立.年月号问题(来稿请注明出处mdashmdash编者)l在任意△ABC中求证:sumsinASin会ge丢sumsinAge譬sum咖№s分石sumcos心n会.(天津水运高级技工学校黄兆麟)在△ABC中缸、、f、£。、ldquo、f。R、r分别表示三边长内角平分线长外接圆半径、内切圆半径.则有霉等哮一旦十.r:fi£:.(浙江湖州市双林中学李建潮)已知在△ABC中么C一。是外心J是内心边AC延长线上的点D边BC延长线上的点E使得ADmdashBEmdashAB如图所示.求证:olLDE且oImdashDE.(北京市陈经纶中学张留杰)D设锐角三角形ABC的内心、外心和垂心分别为O和H经过的三条圆弧ABBC和CJA将△ABC分割成编号分别为的六个区域(不含边界)如图所示.对于△ABC内部的任意一点P定义⋯、fiP落在编号为i的区域内。P落在任意一条圆弧上.C试求厂(o)/(H)的所有可能取值.(河南省辉县市一中贺基军)△ABC的三边长倪f相应的旁切圆半径为凡ldquo^三中线长为m:肌:m.求证:研:埘研ge九.nr。r。r。.(安徽省太和县第二小学任迪慧)ISSNmdash删删删嗵㈣uml。。IssNmdash全国各地邮局订购全年定价:.oo元。。CNll一/代号:mdashl每期定价:.OO元万方数据数学问题解答2018年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)2401 在任意△ABC中求证sumsinAsinA2ge12sumsinA      ge槡33sumsinAcosA2ge槡3sumcos AsinA2.(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)证明 首先证明链中第一个不等式sumsinAsinA2ge12sumsinA.注意到cosB+cosC=2cosB+C2cosB-C2le2cosB+C2=2sinA2即2sinA2gecosB+cosC同理2sinB2gecosC+cos A2sinC2gecos A+cosB.又设链中第一个不等式左右之差为M1则2 M1=2sinAsinA2+2sinBsinB2+2sinCsinC2-sin(B+C)-sin(C+A)-sin(A+B)=2sinAsinA2+2sinBsinB2+2sinCsinC2-(sinBcosC+cosBsinC)-(sinCcos A+cosCsinA)-(sinAcosB+cos AsinB)=sinA2sinA2-cosB-cos()C+sinB2sinB2(-  cosC-cos)A+sinC 2sinC2-cosA-cos()B显然以上最后一式的三个单项均为非负项故有M1ge0.即链中第一个不等式成立.再证明链中第二个不等式槡32sumsinAgesumsinAcosA2.由链中第二个不等式的全对称性不妨设AgeBgeC则有sinAgesinBgesinC且还有槡32-cosA2ge0及槡32-cosC2le0又设链中第二个不等式左右之差为M2那么M2=sinA槡32-cosA()2+sinB槡32-cosB()2+sinC槡32-cosC()2gesinB槡32-cosA()2+sinB槡32-cosB()2+sinB槡32-cosC()2=sinB槡3 32-cosA2-cosB2-cosC()2ge0故链中第二个不等式成立.以上证明过程用到了熟知的不等式cosA2+cosB2+cosC2le槡3 32.最后证明链中第三个不等式sumsinAcosA2ge3sumcos AsinA2.由链中第三个不等式的全对称性不妨设AgeBgeC则有sinA2gesinB2gesinC2且还有1-2cos Age0及1-2cosCle0又设链中第三个不等式左右之差为M3那么M3=sinA22cos2A2-3cos()A+sinB22cos2B2-3cos()B+sinC22cos2C2-3cos()C362018年 第57卷 第2期        数学通报=sinA2(1-2cos A)+sinB2(1-2cosB)+sinC2(1-2cosC)gesinB2(1-2cos A)+sinB2(1-2cosB)+sinB2(1-2cosC)=2sinB232-cos A-cosB-cos()Cge0故链中第三个不等式成立.以上证明过程用到了熟知的不等式cos A+cosB+cosCle32至此命题不等式链全部获证.2402 已知在△ABC中angC=150degO是外心I是内心边AC延长线上的点D边BC延长线上的点E使得AD=BE=AB如图所示.求证:OIperpDE且OI=DE.(北京市陈经纶中学 张留杰 100020)证明 连结OB、BI连结AI并延长与外接圆⊙O相交于点M与BD相交于点N连结OM、BM设OM与BC相交于点P.因为I为△ABC的内心所以点M平分︵BMCOMperpBC所以angMOB=angBAC.设外接圆⊙O的半径为R在△ABC中由正弦定理得AB=2Rsin 150deg=R从而AD=BE=AB=OM=OB=R所以△DAB△MOB所以BM=BD.由三角形外心与内心定理可得IM=BM所以IM=BD.又AI平分angABCAD=AB故ANperpBD所以angANB=90deg又angMPB=90deg所以angIMO=angPBD=angDBE所以△IMO△DBE所以IO=DE.由angOMI和angEBD的两边分别垂直相等又都是相等的锐角通过旋转90deg和平行平移可使两个三角形重合故OIperpDE.2403 在△ABC中a、b、cta、tb、tcR、r分别表示三边长内角平分线长外接圆半径、内切圆半径.则有bct2a+cat2b+abt2c=Rr+2.(浙江湖州市双林中学 李建潮 313012)证明 记半周长s=a+b+c2及x=b+c-a2y=c+a-b2z=a+b-c2(即x=s-ay=s-bz=s-c)则y+z=az+x=bx+y=cx+y+z=s.于是由三角形内角平分线长公式ta=2b+cbcs s-()槡a得bct2a=b+()c 24s s -()a=z+()x+x+()[]y 24sx=s +()x 24sx=s4x+12+x4s.同理cat2b=s4y+12+y4s46数学通报        2018年 第57卷 第2期abt2c=s4z+12+z4s.以上三式相加得 bct2a+cat2b+abt2c=s41x+1y+1()z+32+x+y+z4s=x+y+z4middotyz+zx+xyxyz+32+14=y+()z z+()x x+()y+xyz4xyz+74=abc4 s -()a s -()b s -()c+14+74.三角形恒等式:r2=s -()a s -()b s -()cs与abc=4Rrs代入上式有bct2a+cat2b+abt2c=4Rrs4r2s+2=Rr+2.2404 设锐角三角形ABC的内心、外心和垂心分别为IO和H经过I的三条圆弧︵AIB︵BIC和︵CIA将△ABC分割成编号分别为123456的六个区域(不含边界)如图所示.对于△ABC内部的任意一点P定义f(P)=iP落在编号为i的区域内0P落在任意一条圆弧上{.试求f(O)+f(H)的所有可能取值.(河南省辉县市一中贺基军453600)解 如图因△ABC为锐角三角形故内心I外心O和垂心H均在△ABC的内部.下面考察OIH分别对线段BC的张角易知angBOC=2angBACangBIC=180deg-12(angABC+angACB)=180deg-12(180deg-angBAC)=90deg+12angBACangBHC=180deg-angBAC.注意到如下等价关系angBOC=angBIC2angBAC=90deg+12angBACangBAC=60deg180deg-angBAC=90deg+12angBACangBHC=angBIC故知OH与︵BIC的位置关系有且仅有两种情形:OH同在︵BIC上或OH同在︵BIC外.同理OH与︵CIA及OH与︵AIB也有类似如上的位置关系.总之OH两点或同在三条圆弧中的某一圆弧上或两点均不在任一圆弧上.进而考察OH的分布情况为此对区域进行如下合并:由区域456这三个区域合并而成的大区域记为Gamma1由区域632这三个区域合并而成的大区域记为Gamma2由区域214这三个区域合并而成的大区域记为Gamma3.假设OH均不在任一圆弧上注意到如下等价关系angBOC<angBIC2angBAC<90deg+12angBACangBAC<60deg180deg-angBAC>90deg+12angBACangBHC>angBIC故知当O在区域Gamma1内时H在区域Gamma1外同时易知当O在区域Gamma1外时H在区域Gamma1内.总之OH两点不同在Gamma1内也不同在Gamma1外.同理OH与Gamma2及OH与Gamma3也有类似如上的位置关系.根据上述考察结果及f(P)的定义可得(i)当OH同在某一圆弧上时f(O)+f(H)=0.(ii)当OH均不在任一圆弧上时若f(O)=1则f(H)ne214(因O在Gamma3内)f(H)ne123(因O在Gamma1外)f(H)ne145(因O在Gamma2外)唯有f(H)=6f(O)+f(H)=7若f(O)=2则f(H)ne123f(H)ne214f(H)ne236唯有f(H)=5f(O)+f(H)=7若f(O)=j(j=3456)同理唯有f(H)=7-jf(O)+f(H)=7.综合(i)(ii)得 f(O)+f(H)=0或7.2405 △ABC的三边长abc相应的旁切圆半径为rarbrc三中线长为m2am2bm2c.求证:m2a+m2b+m2cgerarb+rbrc+rcra(安徽省太和县第二小学 任迪慧236635)证明 由常见公式(其中Delta表示三角形面积)ra=Deltap-arb=Deltap-brc=Deltap-c得rarb=Delta2p-()ap-()b=p p-()c同理rbrc=p p-()arcra=p p-()b从而rarb+rbrc+rcra=p2易证 34a2+b2+c()2gep2m2a+m2b+m2c=34a2+b2+c()2于是m2a+m2b+m2cgerarb+rbrc+rcra.2018年2月号问题(来稿请注明出处mdashmdashmdash编者)2406 在直角三角形△ABC中angACB=90deg△ABC的内切圆O分别与边BCCAAB相切于DEFAD与内切圆O相交于点P连接BPCP.若angBPC=90deg求证:AE+AP=PD.(山东省滕州市第一中学颜子皓277500)2407 若a、b、c>0lambdage-12则有 a3a2+lambdaab+b2+b3b2+lambdabc+c2+c3c2+lambdaca+a2ge1lambda+2(a+b+c).(浙江省温州市洞头区第二中学 陈展 325701)2408 如图AC是⊙O的直径BD是⊙O的弦ACperpBD垂足为E.F在DA的延长线上G在BA的延长线上且BF∥DGGF的延长线与DB的延长线相交于I.H在线段IF上且H、B、E、F四点共圆IC的延长线与GD的延长线相交于K.求证:IKperpGK.(河南省南阳市宛城区新店二中 向中军 473113)2409 设△ABC中的三边长分别为abc外接圆和内切圆半径分别为Rr求证:Rgeabca+b+槡cge槡31a+1b+1cge2r.(1)(河南质量工程职业学院 李永利 467000)2410 如图O为△ABC内一点角ABC所对的边为abc延长AOBOCO交△ABC的三边和外接圆分别为DEFA1B1C1求证:AA1DA1+BB1EB1+CC1FC1ge(a+b)2c2(b+c)2a2(c+a)2b2.(安徽省安庆市岳西县汤池中学 苏岳祥 杨续亮 246620)敬告:本刊2017年精装合订本已装订完成每套100元(含挂号费)欢迎邮购.汇款地址:北京师范大学数学通报编辑部邮编:100875收款人:数学通报编辑部.  刊号:ISSN 0583-1458CN11-2254/O1  全国各地邮局订购代号:2-501  全年定价:120.00元每期定价:10.00元数学问题解答2018年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)2406 在直角三角形△ABC中angACB=90deg△ABC的内切圆O分别与边BCCAAB相切于DEF连接AD与内切圆O相交于点P连接BPCP.若angBPC=90deg求证:AE+AP=PD.(山东省滕州市第一中学颜子皓277500)证明 设AP=1BD=BF=xCE=CD=yAE=AF=m(m>1)AF2=APmiddotADAD=m2PD=AD-AP=m2-1BP2=12+(m+x)2-2(m+x)middot1middotcosangBADcosangBAD=(m+x)2+m4-x22 m+()xmiddotm2所以BP2=x2+2(m2-1)mx同理CP2=y2+2(m2-1)my因为CP2+BP2=(y+x)2所以x2+y2+2(m2-1)m(x+y)=(y+x)2 =y2+x2+2xy所以m2-1m(x+y)=xy所以(m2-1)(x+y)=mxy①又cosangADC+cosangADB =y2+AD2-AC22ymiddotAD+x2+AD2-AB22xmiddotAD=0所以(x+y)(m4-m2)=4mxy    ②由①②得m4-m2=4(m2-1)即m4-5m2+4=0即(m2-4)(m2-1)=0又m>1所以m2=4m=2所以AD=4AE=2得PD=4-1=3所以PD=AE+AP.2407 若a、b、c>0lambdage-12则有a3a2+lambdaab+b2+b3b2+lambdabc+c2+c3c2+lambdaca+a2 ge1lambda+2(a+b+c).(浙江省温州市洞头区第二中学陈展325701)证明 记原不等式为(1) sumcyca3a2+lambdaab+b2ge1lambda+2(a+b+c)sumcyc(a3a2+lambdaab+b2-2a-blambda+2)ge0sumcyclambdaa3+(1-2lambda)a2b+(lambda-2)ab2+b3(lambda+2)(a2+lambdaab+b2)ge0sumcyc(a-b)2(b+lambdaa)(lambda+2)(a2+lambdaab+b2)ge0其中分母恒大于0.若lambdage0上式显然成立也就是(1)式成立.若-12lelambda<0下面分情况讨论.①若abbccaisin(0-1lambda]则有b+lambdaage0c+lambdabge0a+lambdacge0.上式成立.②若abbcca中至少有一个大于-1lambda不防设agebgec只可能是ab>-1lambda或bc>-1lambda.i)若a>-1lambdab则a>-1lambdac362018年 第57卷 第3期        数学通报则有a3a2+lambdaab+b2>(1-lambda)alambda+2(lambda+2)a3>(1-lambda)a3+(1-lambda)lambdaa2b+(1-lambda)ab2(2lambda+1)a3+(lambda-1)lambdaa2b+(lambda-1)ab2>0(2lambda+1)a2+(lambda-1)lambdaab+(lambda-1)b2>0(lambda-1)lambdaa2b+(lambda-1)ab2>0(lambda-1)lambdaa2b>(1-lambda)ab2a>-1lambdab显然成立.又b3b2+lambdabc+c2geblambda+2lambdab3+2b3geb3+lambdab2c+bc2(lambda+1)b3-lambdab2c-bc2ge0b[(lambda+1)b+c](b-c)ge0也显然成立.得sumcyca3a2+lambdaab+b2>(1-lambda)alambda+2+blambda+2=alambda+2+blambda+2+-lambdaalambda+2>a+b+clambda+2所以(1)式成立.ii)若b>-1lambdac同理b3b2+lambdabc+c2>(1-lambda)blambda+2a3a2+lambdaab+b2gealambda+2所以(1)式也成立.综上可知(1)式成立.2408 如图AC是⊙O的直径BD是⊙O的弦ACperpBD垂足为E.F在DA的延长线上G在BA的延长线上且BF∥DGGF的延长线与DB的延长线相交于I.H在线段IF上且H、B、E、F四点共圆IC的延长线与GD的延长线相交于K.求证:IKperpGK.(河南省南阳市宛城区新店二中 向中军 473113)证明 连结BC、BH、CG、CH、EH、EF.AC是直径ACperpBD所以AB=ADangABC=angBEC=90deg有AB2=AEmiddotAC.由BF∥DG有△ABF∽△AGD故ABAG=AFAD=AFABAB2=AGmiddotAF所以AEmiddotAC=AGmiddotAFAEAG=AFAC.又angBAE=angDAEangBAF=angGAD故angEAF=angGAC所以△AEF∽△AGC故angAEF=angAGCangFEB=angBCG.由H、B、E、F四点共圆有angFEB=angIHB故angBCG=angIHB所以H、B、C、G四点共圆所以angGHC=angABC=90degangIHC=90deg=angBEC故H、I、C、E四点共圆故angICH=angIEH=angIFB.由BF∥DG有angIFB=angIGD故angIGD=angICH故G、H、C、K四点共圆故angK+angGHC=180deg故angK=90degIKperpGK.2409 设△ABC中的三边长分别为abc外接圆和内切圆半径分别为Rr求证:Rgeabca+b+槡cge槡31a+1b+1cge2r.(1)(河南质量工程职业学院 李永利 467000)证明 1.先证Rgeabca+b+槡c.(2)设△ABC的半周长为p由abc=4Rrpa+b+c=2p和Rge2rpge槡3 3r可得abca+b+槡c=4Rrp2槡p=2槡RrleR槡2=R.故(2)式成立.2.其次证明 abca+b+槡cge槡31a+1b+1c(3)abca+b+槡cge槡3abcab+bc+ca46数学通报        2018年 第57卷 第3期(ab+bc+ca)2ge3abc(a+b+c)(注:ab+bc+ca=p2+4Rr+r2abc=4Rrpa+b+c=2p)(p2+4Rr+r2)2ge24Rrp2p4+2(4Rr+r2)p2+(4Rr+r2)2ge24Rrp2p2middotp2+(4Rr+r2)2ge(16Rr-2r2)p2.由Gerretsen不等式p2ge16Rr-5r2可知只需证(16Rr-5r2)p2+(4Rr+r2)2ge(16Rr-2r2)p2(4Rr+r2)2ge3r2 p2(4R+r)2ge3p2.由上式和Gerretsen不等式p2le4R2+4Rr+3r2可知只需证明(4R+r)2ge3(4R2+4Rr+3r2)4R2-4Rr-8r2ge0R2-Rr-2r2ge0(R+r)(R-2r)ge0.而由Euler不等式Rge2r可知上式显然成立从而(3)式成立.3.最后证明槡31a+1b+1cge2r.(4)槡3abcab+bc+cage2r槡3abcge2r(ab+bc+ca)槡3middot4Rrpge2r(p2+4Rr+r2)槡2 3Rpgep2+4Rr+r212R2 p2ge(p2+4Rr+r2)212R2 p2gep2middotp2+(8Rr+2r2)p2+(4Rr+r2)2.由上式和Gerretsen不等式p2le4R2+4Rr+3r2可知只需证明12R2 p2ge(4R2+4Rr+3r2)p2+(8Rr+2r2)p2+(4Rr+r2)2(8R2-12Rr-5r2)p2ge(4Rr+r2)2.由上式和Gerretsen不等式p2ge16Rr-5r2可知只需证明(8R2-12Rr-5r2)(16Rr-5r2)ge(4Rr+r2)2(8R2-12Rr-5r2)(16R-5r)ger(4R+r)2128R3-232R2r-20Rr2+25r3ge16R2r+8Rr2+r3128R3-248R2r-28Rr2+24r3ge032R3-62R2r-7Rr2+6r3ge0(32R2+2Rr-3r2)(R-2r)ge0.而由Euler不等式Rge2r可知上式成立从而(4)式成立.由(2)(3)(4)式可知(1)式成立.2410 如图O为△ABC内一点角ABC所对的边为abc延长AOBOCO交△ABC的三边和外接圆分别为DEFA1B1C1求证:AA1DA1+BB1EB1+CC1FC1ge(a+b)2c2+(b+c)2a2+(c+a)2b2(安徽省安庆市岳西县汤池中学苏岳祥 杨续亮 246620)证明 如图设angDAC=alpha在△ADC中由正弦定理可得ADsin C=CDsinalpha所以AD=CDsin Csinalpha在△A1DC中由正弦定理可得A1DsinangDCA1=CDsinangDA1C而angDCA1=angDAB=angDAC-alpha=A-alphaangBA1C=angABC=B所以A1D=CDsin(A-alpha)sin B所以ADDA1=sin Bsin Csinalphasin(A-alpha) =2sin Bsin Ccos(A-2alpha)-cos Age2sin Bsin C1-cos A.由正余弦定理可得2sin Bsin C1-cos A=sin Bsin Csin2A2=4sin Bsin Ccos2A2sin2 A=2sin Bsin C(1+cos A)sin2 A=2bc(1+b2+c2-a22bc)a2=(b+c)2a2-1即ADDA1ge(b+c)2a2-1所以AA1DA1ge(b+c)2a2.同理可证BB1EB1ge(c+a)2b2CC1FC1ge(a+b)2c2以上三式相加可得AA1DA1+BB1EB1+CC1FC1 ge(a+b)2c2+(b+c)2a2+(c+a)2b2.2018年3月号问题(来稿请注明出处mdashmdashmdash编者)2411 设xy为正整数x2+y2-2017xy>0且不是完全平方数求x2+y2-2017xy的最小值.(四川省成都七中方廷刚610041)2412 在锐角△ABC中O为外心H为垂心I为内心求证OHIHge槡2.(安徽省安庆市岳西县汤池中学 杨续亮 246620)2413 设AB和CD为圆O的两弦AB的延长线与CD的延长线交于点EAD与CB交于点F以EF为直径的圆Oprime与圆O交于点P和Q证明:圆O和圆Oprime在交点P或Q处的切线互相垂直.(河南省辉县市一中 贺基军 453600)2414 已知abc>0a+b+c=3求证:1+ab1+a+1+bc1+b+1+ca1+cle3.(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平712000)2415 已知abisinR+a+b=1求1a+4b2的最小值.(四川省西充中学 李光俊 637200)(上接第62页)评论为集合论方面ldquo最有趣的著作之一rdquo.1998年他和孟晓青合著《数理逻辑和范畴论应用》获1999年第10届全国优秀图书三等奖.2002年他为学校百年校庆编著《傅种孙与现代数学》一书.王世强教授心地善良待人宽厚有求必应不计个人得失是ldquo学为人师行为世范rdquo的楷模.他被评为全国优秀教育工作者(1989)全国教育系统劳动模范(1993)北京市优秀共产党员(1987)北京市优秀教师(19891993)等奖项是北京市第七届人民代表大会代表(1977).他60多年如一日以对我国数学教育事业的高度热情贡献了毕生的精力作出了不可磨灭的贡献是一位卓有成就的数学家.他的逝世是我国数学教育界的重大损失.让我们继承王世强教授的遗志化悲痛为力量为发展我国的数学教育事业做出新的、更大的贡献.王世强教授永垂不朽!(北京师范大学数学科学学院 李仲来供稿)  刊号:ISSN 0583-1458CN11-2254/O1  全国各地邮局订购代号:2-501  全年定价:120.00元每期定价:10.00元年第卷第期数学通报数学问题解答年月号问题解答(解答由问题提供人给出)设zY为正整数zymdashxy且不是完全平方数求Xymdashxy的最小值.(四川省成都七中方廷刚)解记zymdashxy一志其中是不是完全平方数.首先证明愚ge.设(z。Y。)是方程zYmdashxy=k①的使得X。Y。最小的一组正整数解.不妨设z。gey。.由条件z。是一元二次方程zmdashy。z胡一点一的一根设方程另一根为z则②由前式知XisinZ由愚不是完全平方数知zne.若zo则z:丝鳗le叠:z。故zmiddot蛳zoyo且(zlYo)也是方程①的正整数解与z。Y。最小相矛盾.故只能X。则由②知X。gey。且Ykle一.于是忌一Xomiddot(zo一yo)Yge(yo)middotYge另一方面令z了xy=得(zy)mdash(xy)取{篇可解得(zy)=()或().于是所求最小值为.在锐角AABC中为外心H为垂心I为内心求证雨OHge厄(安徽省安庆市岳西县汤池中学杨续亮)证明在锐角AABC中作两条高AE、BD交于点H为外心I为内心连接ABOHIAIH过I作AB的垂线交AB于点M.设锐角AABC的外接圆半径为R内切圆半径为r在RtAAHD中AH一盘ABCOSAn乙rsquoRsinCCOSAsinC=RCOSA.LAOB=C么BAo=罢一C么EAc一要一C所以么OAH=lA一么EAc一么BAOl一卜(詈c)(号q)I=IBCl在△OAH中由余弦定理可知OH=OAAHmdashAmiddotAHcos么OAH所以OH一RRCOSARCOSACOS(BC)=RmdashRCOSA(cos(BC)一COSA)=RmdashRCOSA(cos(BC)COS(BC))一RmdashRCOSAcosBcosC.即c。s№s鼬sc一%笋又s△加cmdashi口sinc=豢=丢r(口c)y愚O一一一娟靓一十Azz●●●J●、●I万方数据数学通报年第卷第期根琚止抠足理日J得RsinAsinBsinC=Rr(sinAsinBsinC)又由三角恒等式sinAsinBsinC=c。iAc。虿Bc。虿C因此有r=Rsin今sin虿Bsin虿C又在△AMI中m一揣一去sln虿=Rsin可Bsin可C而LIAH=lA一么EAc一么BA工ImdashlA一今一(号一c)|一虿IBmdashcl在△mH中由余弦定理可知IH=AAHmdashAImiddotAHcos么IAH所以IH=AAHmdashAImiddotAHcos么IAH一RsiniBsinCRc。sARsin虿Bsin虿CcosAcos(孚)=Rsin虿BsinCRc。sA一Rsin导middotsin虿Cc。sA(c。s虿Bc。s虿Csin导sin导)一Rsin百BsinCRc。sA一RsinB.sincc。sA一Rsin虿Bsin虿Cc。sA一Rzsinz昙sinzC(一c。sArsquoRCOSA(COSAmdashsinBsinC)=Rsin导sinC(COSA)一RCOSA(COS(BC)sinBsinC)=RSin会sin导Sin导一RCOSACOSBCOSC一rmdashRCOSACOSBcosC.即c。s觚s胁sc一告笋因此有%笋一等等所DHmdashrH一Rmdash.:由欧拉定理工一RmdashRr可得Rger所以OHmdashIH一Rmdashr一(Rr)(R一r)ge因lltOHgeIH即雨OH列z得证.设AB和CD为圆的两弦AB的延长线与CD的延长线交于点EAD与CB交于点F以EF为直径的圆与圆交于点P和Q证明:圆和圆在交点P或Q处的切线互相垂直.(河南省辉县市一中贺基军)证明如图自点E引圆的切线EM和EN切点为MN连接MN.设AD与MN交于点F。CB与MN交于点F连接AMBMCMDM及ANBNCNDN.记圆的半径为R.rsquorsquo∥搴ge./癸翰因M丽F,=丽SAAMFl一垒丝:垒!!!:!!里兰丝垒生ANmiddotAFlmiddotsin么NAFlAMsin么MAFl一AmdashNrsquo五五丽rsquo又DM=Rsin么MAFlDN=Rsin么NAFl故M丽F一丽AMmiddot丽DM同理得丽MFz一两CMmiddot丽BM./kAEMco/kMEB得A面M一丽EM①②万方数据年第卷第期数学通报由/\AEN∽/\NEB得籍一裂.根据以上两个等式及EMmdashEN得AMmdashANj湎一丽rsquo即箫一器③同理得器一器.④根据①②③④得蒜一黑从而有益一盎即MFl一MF这表明F。F:两点重合进而可知ADMNCB三线共点点F在MN上.连接POP及OMOE其中OE为MN的中垂线垂足为G.E这三点或共线或不共线总有一EOEmdashEmiddotOEmiddotcos/EO一EOE一FEmiddotOEmiddotCOS/FEG一EtOE一OEmiddotGE一E上OE一ME=E肝一POP.因此P上OP从而可知圆在交点P处的切线为PO圆在交点P处的切线为PO二者互相垂直.同理上述两圆在另一交点Q处的切线互相垂直.已知abcaC=求证:掣祟訾le.alsquob。c、ldquo(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平)证明所证不等式等价于、mdash:(ab)(b)(c)leⅡ(。)(*)因为y(ab)(b)(c)一sum(ab)(bck)一sum(ab)(k)sum(ab)(c)一sum瞳出sum口sum乜sumababcII(n)一sum口sumcabc所以不等式(*)等价于abcsumnsumablesumnsum阮等价于abcsumable(sumn)sum口sum等价于sumasum口bgesumab.不妨设Cmdashmin{ab,c)amdashfzbmdashCyzgeYge.于是P一sum口sumab一sumab一sum(cz)sum(cz)(cy)一sum(fz)(fy).一sum(cz)sum(fz)(fy)sum(fz)(cy)mdashcE(zmdashj)xyzxy一xyy.记Qmdashzxy一xyy当Y一时Qmdashzge当Y时Qmdashy(手)(孑)一s(手)middot一yf(t其中t一兰ge且厂(f)一ttmdashty(tge)求导得厂(£)一tt一mdash(t一华)(计华)mge。当£Eo』墅二兰)时有厂(f)o当£isin(掣infin)时有厂(£)o.所以f(t)ge厶㈤一学。从而P一sumnsumamdashsumabgeo获证.已知abERnb一求土百的最aD。小值.(四川I省西充中学李光俊)万方数据一丢嘉A(nmdash)一(丢A口)(紊A)一A一(丢An)(砉寺丢)一A当且仅当{专一:。即{:一孝时上式等号成立.当且仅当箬一丢即一芸时上式等号成立middot由m爿得去去叫吉吾孔因为fo所以£一rsquo生芸即缸:mdash%F缸=c华一学缸一(卑)。一石所以丢》斛泞一A一屿丛.已知:z、儿均为正整数、满足了土(zyz)一(z)一且z求zISSNmdash黝刊号:黑警轰筹四边形ABCD的边AD、BC相交于点PAB与CD不平行△ABP、△CDP的外心分别为o、垂心分别为H、H。H、zHz的中点分别为E、E。过E。、E:分别作CD、AB的垂线.证明:这两条垂线与H。H。三线共点.(江西省高安市石脑二中王典辉)已知:口isinR奎i=I口:一Age箸墨j=l(江苏省常熟市中学查正开)在AABC中Rr分别是△ABC的外接圆半径和内切圆半径么BAC的平分线AD与AABC的外接圆相交于点DAD与BC相交于点E则Rge百Auge百ADc。s堡neger.D(天津水运高级技工学校黄兆麟)设AABC中的三边长分别为abc外接圆和内切圆半径分别为R.则》浮ge等写笋gea丽b手cge()(河南质量工程职业学院李永利)全国各地邮局订购代号:mdash全年定价:每期定价:.元.元南㈤百万方数据数学问题解答2018年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)2416 已知:x、y、z均为正整数满足11x=1y+1z(xyz)=1(x11)=1且x>11求x的值.(浙江省慈溪市慈溪实验中学 华漫天 315300)解 由于(xyz)=1所以x、y、z中至少有两个数互质(1)若(yz)=1由11x=1y+1z得x=11yzy+z不妨令t=y+z则x=11y(t-y)t=11y-11y2t由(yz)=1知(yt)=1而t>y故t=11且y<11得x=11y-y2由于x>11故y=23456789则x=18242830.(2)若(xy)=1或(xz)=1不妨考虑(xy)=1同样令t=y+z得tx=11y(t-y)则y|tx于是y|t不妨令t=ky代入化简得kx=11y(k-1).于是y|k令k=kprimey得kprimex=11(kprimey-1)即x=11y-11kprime因此kprime=1或者11当kprime=1时得x=11y-11由于(x11)=1故不符当kprime=11时得x=11y-1其中y是大于1的所有整数此时易知z=11y2-y.(3)若(xy)=1且(xz)=1易得x=1不符.综上x的所有解是x=1824283011n-1(其中n是大于1的所有整数).2417 四边形ABCD的边AD、BC相交于点PAB与CD不平行△ABP、△CDP的外心分别为O1、O2垂心分别为H1、H2O1H1、O2H2的中点分别为E1、E2过E1、E2分别作CD、AB的垂线.证明:这两条垂线与H1H2三线共点.(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)证明 如图1设M1、M2分别为PH1、PH2的中点过E1作CD的垂线交PH1于X1交H1H2于Y1过E2作AB的垂线交PH2于X2交H1H2于Y2.图1在△E1X1M1和△E2X2M2中因为X1M1perpAB、X2E2perpAB所以X1M1∥X2E2同理可知E1X1∥M2X2.可得angE1X1M1与angE2X2M2互补.又因为E1M1∥O1P、E1X1∥PH2所以angM1E1X1=angH2PO1=angCPH2-angBPO1=(90deg-angPCD)-(90deg-angPAB)=angPAB-angPCD.同理angM2E2X2=angO2PH1=angO2PD-angH1PA=(90deg-angPCD)-(90deg-angPAB)=angPAB-angPCD.因此得angM1E1X1=angM2E2X2.362018年 第57卷 第5期        数学通报于是由正弦定理有X1M1M1E1=sinangM1E1X1sinangE1X1M1=sinangM2E2X2sinangE2X2M2=X2M2M2E2.由熟知的定理:三角形任意一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍.可得PM1等于O1到AB的距离.PM1=O1AcosangAPB=O1PcosangAPB=2 M1E1cos

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